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第三章能力检测
满分150分．考试时间120分钟．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则有( )
A．M＞N B．M≥N
C．M＜N D．M≤N
【答案】A
【解析】M－N＝(2a2－4a＋7)－(a2－5a＋6)＝a2＋a＋1＝2＋＞0，∴M＞N.
2．下列结论成立的是( )
A．若ac＞bc，则a＞b
B．若a＞b，则a2＞b2
C．若a＞b，c＜d，则a＋c＞b＋d
D．若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c
【答案】D
【解析】对于A，当c＜0时，不成立；对于B，取a＝－1，b＝－2，不成立；对于C，取a＝2，b＝1，c＝0，d＝3，不成立；对于D，∵c＞d，∴－d＞－c，又a＞b，∴a－d＞b－c，因此成立．故选D．
3．不等式＞0的解集为( )
A．{x|x＜－2或x＞3} B．{x|x＜－2或1＜x＜3}
C．{x|－2＜x＜1或x＞3} D．{x|－2＜x＜1或1＜x＜3}
【答案】C
【解析】原不等式可化为(x＋2)(x－1)(x－3)＞0，则该不等式的解集为{x|－2＜x＜1或x＞3}．
4．(2017年四川自贡模拟)设集合A＝{x|x2－3x＜0}，B＝{x|x2＞4}，则A∩B＝( )
A．(－2,0) B．(－2,3)
C．(0,2) D．(2,3)
【答案】D
【解析】A＝{x|x2－3x＜0}＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|x2＞4}＝{x|x＞2或x＜－2}，则A∩B＝{x|2＜x＜3}．故选D.
5．若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈成立，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．
C． D．[2，＋∞)
【答案】C
【解析】x2＋ax＋1≥0对于一切x∈成立⇔a≥对于一切x∈成立⇔a≥－x－对于一切x∈成立．∵y＝－x－在区间上是增函数，∴－x－≤－－2＝－.∴a≥－.故选C．
6．(2017年上海校级联考)已知函数f(x)＝x＋(p为常数且p>0)，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为( )
A． B．
C．2 D．4
【答案】B
【解析】由题意得x－1>0，f(x)＝x－1＋＋1≥2＋1，当且仅当(x－1)2＝p即x＝＋1时取等号．∵f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，∴2＋1＝4，解得p＝.
7．若关于x的不等式2x2－8x－4－a≥0在1≤x≤4内有解，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－4] B．[－4，＋∞)
C．[－12，＋∞) D．(－∞，－12]
【答案】A
【解析】∵y＝2x2－8x－4(1≤x≤4)在x＝4时，取最大值－4，∴当a≤－4时，2x2－8x－4≥a在[1,4]内有解．
8．某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲种产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙种产品要用A原料1吨，B原料3吨．该工厂每天生产甲、乙两种产品的总量不少于2吨且每天消耗的A原料不能超过10吨，B原料不能超过9吨．如果设每天甲种产品的产量为x吨，乙种产品的产量为y吨，则在坐标系xOy中，满足上述条件的x，y的可行域用阴影部分表示正确的是( )
A B
C D
【答案】A
【解析】由题可知故选A．
9．(2016年广东佛山模拟)若a>b>0，c＜d＜0，则一定有( )
A．> B．<
C．> D．<
【答案】B
【解析】∵c＜d＜0，∴＜＜0，∴－＞－＞0.而a＞b＞0，∴－＞－＞0，∴＜.故选B．
10．下列函数中，最小值是4的函数是( )
A．y＝x＋
B．y＝sin x＋(0＜x＜π)
C．y＝ex＋4e－x
D．y＝log3x＋logx81
【答案】C
【解析】当x＜0时，y＝x＋≤－4，排除A；∵0＜x＜π，∴0＜sin x≤1，y＝sin x＋＞4，排除B；ex＞0，y＝ex＋4e－x≥4，等号在ex＝即ex＝2时成立；若0＜x＜1，则log3x＜0，logx81＜0，排除D．故选C．
11．关于x的不等式px2＋qx＋r＞0的解集是{x|α＜x＜β}(β＞α＞0)，那么另一个关于x的不等式rx2－qx＋p＞0的解集应该是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为关于x的不等式px2＋qx＋r＞0的解集是{x|α＜x＜β}，所以α和β可看作方程px2＋qx＋r＝0的两个根且p＜0，则α＋β＝－，α·β＝.因为0＜α＜β，p＜0，所以r＜0.所以rx2－qx＋p＞0，即x2－x＋1＜0，即α·βx2＋(α＋β)x＋1＜0，解得－＜x＜－.故选D．
12．已知实数x，y满足则x＋2y的取值范围为( )
A．[12，＋∞) B．[0,3]
C．[0,12] D．[3,12]
【答案】C
【解析】作出不等式组表示的平面区域如图，作直线l0：x＋2y＝0，平移l0可见当经过可行域内的点A，B时，z＝x＋2y分别取得最大值与最小值，∴zmax＝12，zmin＝0，故选C．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上)
13．若关于x的不等式ax2－6x＋a2＜0的解集是(1，m)，则m＝________.
【答案】2
【解析】由题意知a＞0且1是方程ax2－6x＋a2＝0的一个根，∴a＝2.∴不等式为2x2－6x＋4＜0，即x2－3x＋2＜0.∴1＜x＜2.∴m＝2.
14．(2016年湖南郴州二模)记不等式组所表示的平面区域为D.若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】满足约束条件的平面区域如图所示．因为y＝a(x＋1)过定点(－1,0)，所以当y＝a(x＋1)过点B(0,4)时，得到a＝4；当y＝a(x＋1)过点A(1，1)时，得到a＝.又因为直线y＝a(x＋1)与平面区域D有公共点，所以≤a≤4.
15．已知二次不等式ax2＋2x＋b＞0的解集为且a＞b，则的最小值为________．
【答案】2
【解析】∵二次不等式ax2＋2x＋b＞0的解集为，∴a＞0且对应方程有两个相等的实根－.由根与系数的关系得－·＝，即ab＝1，故＝＝(a－b)＋.∵a＞b，∴a－b＞0.由基本不等式可得(a－b)＋≥2＝2，当且仅当a－b＝时取等号，故的最小值为2.
16．某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a，b满足不等式组设这所学校今年计划招聘教师最多x名，则x＝______.
【答案】13
【解析】由题意得x＝a＋b，如图所示，画出约束条件所表示的可行域，作直线l：b＋a＝0，平移直线l，再由a，b∈N，可知当a＝6，b＝7时，x取最大值，∴x＝a＋b＝13.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2kx＋1－k2＝0的两个实根，求x＋x的最小值．
【解析】由题意，得x1＋x2＝2k，x1x2＝1－k2.
Δ＝4k2－4(1－k2)≥0，∴k2≥.
∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2
＝4k2－2(1－k2)
＝6k2－2≥6×－2＝1.
∴x＋x的最小值为1.
18．(本小题满分12分)(1)比较(x＋5)(x＋7)与(x＋6)2两个代数式值的大小，并说明理由；
(2)解关于x的不等式56x2＋ax－a2＜0.
【解析】(1)∵(x＋5)(x＋7)－(x＋6)2＝(x2＋12x＋35)－(x2＋12x＋36)＝－1＜0，
∴(x＋5)(x＋7)＜(x＋6)2.
(2)∵56x2＋ax－a2＜0，∴(7x＋a)(8x－a)＜0，即＜0.
①当a＝0时，－＝，不等式化为x2＜0，解得x∈∅.
②当a＞0时，－＜，不等式的解集为
.
③当a＜0时，－＞，不等式的解集为
.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋(lg a＋2)x＋lg b满足f(－1)＝－2且对于任意x∈R，恒有f(x)≥2x成立．
(1)求实数a，b的值；
(2)解不等式f(x)＜x＋5.
【解析】(1)由f(－1)＝－2知lg b－lg a＋1＝0，
所以＝10.
又f(x)≥2x恒成立，即f(x)－2x≥0恒成立，
则有x2＋x·lg a＋lg b≥0恒成立，
故Δ＝(lg a)2－4lg b≤0，
所以(lg b＋1)2－4lg b≤0，即(lg b－1)2≤0.
故lg b＝1，即b＝10，a＝100.
(2)由(1)知f(x)＝x2＋4x＋1，f(x)＜x＋5，
即x2＋4x＋1＜x＋5，
所以x2＋3x－4＜0，解得－4＜x＜1，
因此不等式的解集为{x|－4＜x＜1}．
20．(本小题满分12分)某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.
已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．
(1)写出本年度预计的年利润y(万元)与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
【解析】(1)依题意得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0＜x＜1)，
整理，得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1)．
∴本年度年利润与投入成本增加的比例的关系式为
y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1)．
(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，
当且仅当
即解得0＜x＜，
∴为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足0＜x＜.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋bx－a＋2.
(1)若关于x的不等式f(x)＞0的解集是(－1,3)，求实数a，b的值；
(2)若b＝2，a＞0，解关于x的不等式f(x)＞0.
【解析】(1)∵不等式f(x)＞0的解集是(－1,3)，
∴－1,3是方程ax2＋bx－a＋2＝0的两根且a＜0.
∴解得
(2)当b＝2时，f(x)＝ax2＋2x－a＋2＝(x＋1)(ax－a＋2)，∵a＞0，∴(x＋1)＞0.
①若－1＝，即a＝1，解集为{x|x≠－1}．
②若－1＞，即0＜a＜1，解集为
.
③若－1＜，即a＞1，解集为
.
22．(本小题满分12分)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司该如何合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润，最大利润是多少元？
【解析】设派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，获得的利润为z元，z＝450x＋350y.
由题意，x，y满足关系式
作出相应的平面区域如图阴影部分所示．
z＝450x＋350y＝50(9x＋7y)，
由得交点(7,5)，∴当x＝7，y＝5时，450x＋350y有最大值4 900.
答：该公司派用甲型卡车7辆，乙型卡车5辆，获得的利润最大，最大利润为4 900元．
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