1、第三章能力检测满分150分考试时间120分钟一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设M2a(a2)7，N(a2)(a3)，则有()AMN BMNCMN DMN【答案】A【解析】MN(2a24a7)(a25a6)a2a120，MN.2下列结论成立的是()A若acbc，则ab B若ab，则a2b2C若ab，cd，则acbd D若ab，cd，则adbc【答案】D【解析】对于A，当c0时，不成立；对于B，取a1，b2，不成立；对于C，取a2，b1，c0，d3，不成立；对于D，cd，dc，又ab，adbc，因此成立故选D3不等式0的解
2、集为()Ax|x2或x3Bx|x2或1x3Cx|2x1或x3Dx|2x1或1x3【答案】C【解析】原不等式可化为(x2)(x1)(x3)0，则该不等式的解集为x|2x1或x34(2017年四川自贡模拟)设集合Ax|x23x0，Bx|x24，则AB()A(2,0)B(2,3)C(0,2)D(2,3)【答案】D【解析】Ax|x23x0x|0x3，Bx|x24x|x2或x2，则ABx|2x3故选D.5若不等式x2ax10对于一切x成立，则a的取值范围是()A(，2 BC D2，)【答案】C【解析】x2ax10对于一切x成立a对于一切x成立ax对于一切x成立yx在区间上是增函数，x2.a.故选C6(2
3、017年上海校级联考)已知函数f(x)x(p为常数且p0)，若f(x)在(1，)上的最小值为4，则实数p的值为()A B C2 D4【答案】B【解析】由题意得x10，f(x)x1121，当且仅当(x1)2p即x1时取等号f(x)在(1，)上的最小值为4，214，解得p.7若关于x的不等式2x28x4a0在1x4内有解，则实数a的取值范围是()A(，4 B4，)C12，) D(，12【答案】A【解析】y2x28x4(1x4)在x4时，取最大值4，当a4时，2x28x4a在1,4内有解8某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲种产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙种产品要用A原料1吨，B原料
4、3吨该工厂每天生产甲、乙两种产品的总量不少于2吨且每天消耗的A原料不能超过10吨，B原料不能超过9吨如果设每天甲种产品的产量为x吨，乙种产品的产量为y吨，则在坐标系xOy中，满足上述条件的x，y的可行域用阴影部分表示正确的是()ABCD【答案】A【解析】由题可知故选A9(2016年广东佛山模拟)若ab0，cd0，则一定有()A B D【答案】B【解析】cd0，0，0.而ab0，0，.故选B10下列函数中，最小值是4的函数是()AyxBysin x(0x)Cyex4exDylog3xlogx81【答案】C【解析】当x0时，yx4，排除A；0x，0sin x1，ysin x4，排除B；ex0，ye
5、x4ex4，等号在ex即ex2时成立；若0x1，则log3x0，logx810，排除D故选C11关于x的不等式px2qxr0的解集是x|x(0)，那么另一个关于x的不等式rx2qxp0的解集应该是()A BC D【答案】D【解析】因为关于x的不等式px2qxr0的解集是x|x，所以和可看作方程px2qxr0的两个根且p0，则，.因为0，p0，所以r0.所以rx2qxp0，即x2x10，即x2()x10，解得x.故选D12已知实数x，y满足则x2y的取值范围为()A12，) B0,3C0,12 D3,12【答案】C【解析】作出不等式组表示的平面区域如图，作直线l0：x2y0，平移l0可见当经过可
6、行域内的点A，B时，zx2y分别取得最大值与最小值，zmax12，zmin0，故选C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分将正确答案填在题中横线上)13若关于x的不等式ax26xa20的解集是(1，m)，则m_.【答案】2【解析】由题意知a0且1是方程ax26xa20的一个根，a2.不等式为2x26x40，即x23x20.1x2.m2.14(2016年湖南郴州二模)记不等式组所表示的平面区域为D.若直线ya(x1)与D有公共点，则a的取值范围是_【答案】【解析】满足约束条件的平面区域如图所示因为ya(x1)过定点(1,0)，所以当ya(x1)过点B(0,4)时，得到a4；当ya(x
7、1)过点A(1，1)时，得到a.又因为直线ya(x1)与平面区域D有公共点，所以a4.15已知二次不等式ax22xb0的解集为且ab，则的最小值为_【答案】2【解析】二次不等式ax22xb0的解集为，a0且对应方程有两个相等的实根.由根与系数的关系得，即ab1，故(ab).ab，ab0.由基本不等式可得(ab)22，当且仅当ab时取等号，故的最小值为2.16某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a，b满足不等式组设这所学校今年计划招聘教师最多x名，则x_.【答案】13【解析】由题意得xab，如图所示，画出约束条件所表示的可行域，作直线l：ba0，平移直线l，再由a，bN，可知当a6，b7时
8、，x取最大值，xab13.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)设x1，x2是关于x的一元二次方程x22kx1k20的两个实根，求xx的最小值【解析】由题意，得x1x22k，x1x21k2.4k24(1k2)0，k2.xx(x1x2)22x1x24k22(1k2)6k22621.xx的最小值为1.18(本小题满分12分)(1)比较(x5)(x7)与(x6)2两个代数式值的大小，并说明理由；(2)解关于x的不等式56x2axa20.【解析】(1)(x5)(x7)(x6)2(x212x35)(x212x36)10，(x5)(x7)(
9、x6)2.(2)56x2axa20，(7xa)(8xa)0，即0.当a0时，不等式化为x20，解得x.当a0时，不等式的解集为.当a0时，不等式的解集为.19(本小题满分12分)已知函数f(x)x2(lg a2)xlg b满足f(1)2且对于任意xR，恒有f(x)2x成立(1)求实数a，b的值；(2)解不等式f(x)x5.【解析】(1)由f(1)2知lg blg a10，所以10.又f(x)2x恒成立，即f(x)2x0恒成立，则有x2xlg alg b0恒成立，故(lg a)24lg b0，所以(lg b1)24lg b0，即(lg b1)20.故lg b1，即b10，a100.(2)由(1)
10、知f(x)x24x1，f(x)x5，即x24x1x5，所以x23x40，解得4x1，因此不等式的解集为x|4x120(本小题满分12分)某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润(出厂价投入成本)年销售量(1)写出本年度预计的年利润y(万元)与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？【
11、解析】(1)依题意得y1.2(10.75x)1(1x)1 000(10.6x)(0x1)，整理，得y60x220x200(0x1)本年度年利润与投入成本增加的比例的关系式为y60x220x200(0x1)(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，当且仅当即解得0x，为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足0x.21(本小题满分12分)已知函数f(x)ax2bxa2.(1)若关于x的不等式f(x)0的解集是(1,3)，求实数a，b的值；(2)若b2，a0，解关于x的不等式f(x)0.【解析】(1)不等式f(x)0的解集是(1,3)，1,3是方程ax2bxa20的两根且a
12、0.解得(2)当b2时，f(x)ax22xa2(x1)(axa2)，a0，(x1)0.若1，即a1，解集为x|x1若1，即0a1，解集为.若1，即a1，解集为.22(本小题满分12分)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元该公司该如何合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润，最大利润是多少元？【解析】设派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，获得的利润为z元，z450x350y.由题意，x，y满足关系式作出相应的平面区域如图阴影部分所示z450x350y50(9x7y)，由得交点(7,5)，当x7，y5时，450x350y有最大值4 900.答：该公司派用甲型卡车7辆，乙型卡车5辆，获得的利润最大，最大利润为4 900元
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