2019届北京市高三数学理模拟试卷.doc

丰台区2018年高三年级第二学期综合练习（二） 2018.5
数学（理科）
第一部分 （选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知，，则
(A) 或
(B)
(C)
(D)
（2）设，为非零向量，则“与方向相同”是“”的
(A) 充分而不必要条件
(B) 必要而不充分条件
(C) 充分必要条件
(D) 既不充分也不必要条件
（3）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的值为
(A)
(B)
(C)
(D)
（4）执行如图所示的程序框图，输出的值为
(A)
(B)
(C)
(D)
（5）在的展开式中，若二项式系数的和为32，则的系数为
(A)
(B)
(C)
(D)
（6）设下列函数的定义域为，则值域为的函数是
(A)
(B)
(C)
(D)
（7）已知满足约束条件若目标函数的最大值是，则
(A)
(B)
(C)
(D)

（8）某游戏开始时，有红色精灵个，蓝色精灵个．游戏规则是：任意点击两个精灵，若两精灵同色，则合并成一个红色精灵，若两精灵异色，则合并成一个蓝色精灵，当只剩一个精灵时，游戏结束．那么游戏结束时，剩下的精灵的颜色
(A) 只与的奇偶性有关
(B) 只与的奇偶性有关
(C) 与，的奇偶性都有关
(D) 与，的奇偶性都无关

第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）已知复数，则 ．
（10）已知等比数列中，，，则数列的前5项和 ．
（11）在极坐标系中，如果直线与圆相切，那么 ．
（12）甲乙两地相距km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不能超过km/h．已知汽车每小时运输成本为元，则全程运输成本与速度的函数关系是 ，当汽车的行驶速度为 km/h时，全程运输成本最小．
（13）若函数(，)的部分图象如图所示，
则____，____．
（14）如图，在矩形中，，，为边的中点．将△沿翻折，得到四棱锥．设线段的中点为，在翻折过程中，有下列三个命题：
① 总有平面；
② 三棱锥体积的最大值为；
③ 存在某个位置，使与所成的角为．
其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）
如图所示，在△中，是边上的一点，且，，，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求的长和△的面积．

（16）（本小题共13分）
某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”．从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A组，从年龄在40岁（含40岁）以上的客户中抽取10位归为B组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“+”表示A组的客户，“⊙”表示B组的客户．

注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值．
（Ⅰ）记A，B两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为，，根据图中数据，试比较，的大小（结论不要求证明）；
（Ⅱ）从A，B两组客户中随机抽取2位，求其中至少有一位是A组的客户的概率；
（III）如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”．从A，B两组客户中，各随机抽取1位，记“驾驶达人”的人数为，求随机变量的分布列及其数学期望．

（17）（本小题共14分）
如图所示，在三棱柱中，是中点，平面，平面与棱交于点，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若与平面所成角的正弦值为，
求的值．

（18）（本小题共13分）
已知函数，，．
（Ⅰ）当时，求的单调区间；
（Ⅱ）求证：有且仅有一个零点．

（19）（本小题共14分）
已知椭圆：的长轴长为，离心率为，过右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆相交于，两点，设点，记直线，的斜率分别为，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若，求的值．

（20）（本小题共13分）
已知数列的前项和为，，，当时， 其中，是数列的前项中的数对的个数，是数列的前项中的数对的个数．
（Ⅰ）若，求，，的值；
（Ⅱ）若为常数，求的取值范围；
（Ⅲ）若数列有最大项，写出的取值范围（结论不要求证明）．

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
丰台区2018年高三年级第二学期统一练习（二）
数 学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
题号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
答案
D
A
B
C
D
D
C
B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）
（10）
（11）
（12）；
（13）；
（14）①②
注：第12，13题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分；
第14题只写对一个得2分，有一个错误不得分．

三、解答题：
（15）（本小题共13分）
解：（Ⅰ）在△中，因为 ，，
所以
． …………………2分
因为 ， ，
所以 ． …………………4分
所以 ． …………………5分
（Ⅱ）在△中，由余弦定理可得
， …………………7分
所以 ，
所以 ， 即 ．
所以 或（舍）．
所以． …………………8分
在△中，由正弦定理得 ，
即 ， …………………10分
所以 ． …………………11分
所以 ．
即． …………………13分

（16）（本小题共13分）
解：（Ⅰ）． …………………3分
（Ⅱ）设“从抽取的位客户中任意抽取位，至少有一位是A组的客户”为事件M，则
． …………………6分
所以从抽取的位客户中任意抽取位至少有一位是A组的客户的概率是．
（III）依题意的可能取值为，，．
则； ；
． …………………10分
所以随机变量的分布列为：

所以随机变量的数学期望． …………………12分
即． …………………13分

（17）（本小题共14分）
（Ⅰ）证明：在三棱柱 中，
侧面 为平行四边形，
所以 ．
又因为 平面，平面，
所以 平面． …………………2分
因为 平面，且平面平面，
所以 ． …………………4分
（Ⅱ）证明：在△中，因为 ，是的中点，
所以．
因为平面，如图建立空间直角坐标系． …………………5分
设，，
在△中 ，，
所以 ，所以 ，，
，．
所以 ，．
…………………7分
所以 ，
所以 ． …………………9分
（Ⅲ）解：因为 ， 所以 ，即．
因为 ，所以 ． …………………10分
设平面的法向量为 ，
因为 ，即，
令 ，则，，
所以 ． …………………12分
因为
所以 ，即 ，
所以 或，即 或． …………………14分

（18）（本小题共13分）
（Ⅰ）解：依题意 ． …………………2分
令 ，， 则 ．
所以在区间上单调递减．
因为 ，所以 ，即 ， …………………4分
所以的单调递减区间是，没有单调递增区间． …………………5分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，且，．
当 时，在上单调递减．
因为 ，，
所以有且仅有一个零点． …………………7分
当 ，即时，，即 ，在上单调递增．
因为 ，，
所以有且仅有一个零点． …………………9分
当 时，，，
所以存在，使得． …………………10分
，，的变化情况如下表：

+
0
-

↗
极大值
↘
所以 在上单调递增，在上单调递减． …………………11分
因为 ，，且，
所以 ，所以有且仅有一个零点．…………………12分
综上所述，有且仅有一个零点． …………………13分

（19）（本小题共14分）
解：（Ⅰ）依题意得 ，所以 ． …………………1分
因为 ，所以 ． …………………2分
所以 ． …………………3分
所以椭圆的方程为 ． …………………4分
（Ⅱ）椭圆的右焦点 ． …………………5分
设直线 ：，设 ，． …………………6分
联立方程组 ，
消得 ，成立． …………………8分
所以 ，． …………………9分
因为 ， …………………10分
所以 ，即 ，…………11分
所以 恒成立． …………………12分
因为 ，所以 ，
即 ， …………………13分
化简为 ，
所以 ． …………………14分

（20）（本小题共13分）
解：（Ⅰ）因为，， 所以 ，所以 …………………1分
因为 ，所以 ． …………………2分
因为 ，所以 ． …………………4分
所以 ，，．
（Ⅱ）当 时，，， …………………5分
当 时，因为 ，所以 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ． …………………7分
当 时，因为 ，所以 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ． …………………9分
所以 时，为常数的必要条件是 ．
当时，，
因为当 时，，都有 ，
所以当 符合题意，同理 和也都符合题意． …………………10分
所以的取值范围是 ．
（Ⅲ）或． …………………13分
（若用其他方法解题，请酌情给分）