2017年高考理科数学全国2卷(附答案).doc

12B-SX-0000008
学校：____________________ _______年_______班 姓名：____________________ 学号：________
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绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学 全国II卷
（全卷共10页）
(适用地区：甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、辽宁、宁夏、新疆、陕西、重庆、西藏)
注意事项：

1．
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．
考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。
一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
1. =
A．1+2i B．1–2i C．2+i D．2–i
2. 设集合A={1,2,4}，B={x2–4x+m=0}，若A∩B={1}，则B =
A．{1,–3} B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5}
3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏

4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A．90π B．63π
C．42π D．36π

5. 设x、y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是
A．–15 B．–9 C．1 D．9
6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有
A．12种 B．18种 C． 24种 D．36种
7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩

8. 执行右面的程序框图，如果输入的a=–1，则输出的S=
A．2
B．3
C．4
D．5

9. 若双曲线C：–=1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x–2)2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为( )
A．2 B． C． D．

10. 已知直三棱柱ABC–A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1， 则异面直
线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
11. 若x=–2是函数f(x)=(x2+ax–1)ex–1的极值点，则f(x)的极小值为( )
A．–1 B．–2e–3 C．5e–3 D．1
12. 已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则__________．
14. 函数（）的最大值是_____________．
15. 等差数列的前项和为，，，则_____________．
16. 已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则__________________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）的内角的对边分别为 ,已知．

(1)求
(2)若 , 面积为2,求

18.（12分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）其频率分布直方图如下：

（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率；
（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法

新养殖法

（3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

19.（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，E是PD的中点.
（1）证明：直线平面PAB
（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角M-AB-D的余弦值

20.（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足.
(1) 求点P的轨迹方程；
(2) 设点Q在直线x=-3上，且.证明：过点P且垂直于OQ的
直线l过C的左焦点F.

21.（12分）已知函数且.
（1）求a；
（2）证明：存在唯一的极大值点，且.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．

23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知，证明：
（1）；
（2）．

2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学 全国Ⅱ卷 答案
一、选择题
1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D
7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B
二、填空题
13. 1.96 14. 1 15. 16. 6
三、解答题
17.解：
（1）由题设及，故

上式两边平方，整理得
解得
（2）由，故
又
由余弦定理及得

所以b=2
18.解：
（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于”，表示事件“新养殖法的箱产量不低于”
由题意知
旧养殖法的箱产量低于的频率为

故的估计值为0.62
新养殖法的箱产量不低于的频率为

故的估计值为0.66
因此，事件A的概率估计值为
（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表

箱产量
箱产量
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66

由于
故有的把握认为箱产量与养殖方法有关．
（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于的直方图面积为
，
箱产量低于的直方图面积为

故新养殖法箱产量的中位数的估计值为
．

19.解：

（1）取中点，连结，．
因为为的中点，所以,,由得，又
所以．四边形为平行四边形，．
又，，故
（2）

由已知得,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则
则，，，，
,则

因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而是底面ABCD的法向量，所以
，
即（x-1）²+y²-z²=0
又M在棱PC上，设

由①，②得

所以M，从而
设是平面ABM的法向量，则

所以可取m=（0，-，2）.于是
因此二面角M-AB-D的余弦值为
20.解
（1）设P（x,y）,M（x0,y0）,设N（x0,0）,
由得
因为M（x0,y0）在C上，所以
因此点P的轨迹方程为
（2）由题意知F（-1,0）.设Q（-3，t）,P(m,n),则
，

由得，又由（1）知，故
3+3m-tn=0
所以，即又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
21.解：
（1）的定义域为
设，则等价于
因为
若a=1，则.当0＜x＜1时，单调递减；当x＞1时，＞0，单调递增.所以x=1是的极小值点，故
综上，a=1
（2）由（1）知
设
当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增
又，所以在有唯一零点x0，在有唯一零点1，且当时，；当时，，当时，.
因为，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点
由
由得
因为x=x0是f(x)在（0,1）的最大值点，由得

所以
22.解：
（1）设P的极坐标为，M的极坐标为，由题设知

由得的极坐标方程
因此的直角坐标方程为
（2）设点B的极坐标为,由题设知
,于是△OAB面积

当时，S取得最大值
所以△OAB面积的最大值为
23.解：
（1）

（2）因为

所以，因此a+b≤2.

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