四川省成都市郫都四中2025届数学高一下期末预测试题含解析.doc

四川省成都市郫都四中2025届数学高一下期末预测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有的点（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
2．用3种不同颜色给2个矩形随机涂色，每个矩形涂且只涂种颜色,则2个矩形颜色不同的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．以下有四个说法：
①若、为互斥事件，则；
②在中，，则；
③和的最大公约数是；
④周长为的扇形，其面积的最大值为；
其中说法正确的个数是（ ）
A． B．
C． D．
4．关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
5．若{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9＝(　　)
A．39 B．20 C．19.5 D．33
6．变量满足，目标函数，则的最小值是（ ）
A． B．0 C．1 D．-1
7．如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）

A． B． C． D．
8．曲线与曲线的（）
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
9．《九章算术》中有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，问若聘该女子做工半月（15日），一共能织布几尺（ ）
A．75 B．85 C．105 D．120
10． “”是“直线与直线互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设数列（）是等差数列，若和是方程的两根，则数列的前2019项的和________
12．在直角坐标系中，直线与直线都经过点，若，则直线的一般方程是_____.
13．已知向量，，则在方向上的投影为______.
14．和2的等差中项的值是______.
15．计算：__________．
16．随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30），…，[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示.从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取12人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为______.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列的前项和为，点在直线上.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18．的内角，，的对边分别为，，，设.
（1）求；
（2）若，求.
19．已知方程；
（1）若，求的值；
（2）若方程有实数解，求实数的取值范围；
（3）若方程在区间上有两个相异的解、，求的最大值.
20．已知圆与圆：关于直线对称．
（1）求圆的标准方程；
（2）已知点，若与直线垂直的直线与圆交于不同两点、，且是钝角，求直线在轴上的截距的取值范围．
21．在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，三点满足.
（1）求值；
（2）已知若的最小值为，求的最大值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
把系数2提取出来，即即可得结论．
【详解】
，因此要把图象向右平移个单位．
故选D．
本题考查三角函数的图象平移变换．要注意平移变换是加减平移单位，即向右平移个单位得图象的解析式为而不是．
2、C
【解析】
由古典概型及概率计算公式得2个矩形颜色不同的概率为，得解．
【详解】
用3种不同颜色给2个矩形随机涂色，每个矩形涂且只涂1种颜色，共种不同涂法，
则2个矩形颜色不同共种不同涂法，
即2个矩形颜色不同的概率为，
故选：．

本题考查了古典概型及概率计算公式，属于基础题．
3、C
【解析】
设、为对立事件可得出命题①的正误；利用大边对大角定理和余弦函数在上的单调性可判断出命题②的正误；列出和各自的约数，可找出两个数的最大公约数，从而可判断出命题③的正误；设扇形的半径为，再利用基本不等式可得出扇形面积的最大值，从而判断出命题④的正误.
【详解】
对于命题①，若、为对立事件，则、互斥，则，命题①错误；
对于命题②，由大边对大角定理知，，且，函数在上单调递减，所以，，命题②正确；
对于命题③，的约数有、、、、、，的约数有、、、、、、、，则和的最大公约数是，命题③正确；
对于命题④，设扇形的半径为，则扇形的弧长为，
扇形的面积为，由基本不等式得，
当且仅当，即当时，等号成立，所以，扇形面积的最大值为，命题④错误.故选C.
本题考查命题真假的判断，涉及互斥事件的概率、三角形边角关系、公约数以及扇形面积的最值，判断时要结合这些知识点的基本概念来理解，考查推理能力，属于中等题.
4、D
【解析】
由不等式与方程的关系可得且，则等价于，再结合二次不等式的解法求解即可.
【详解】
解：由关于x的不等式的解集是，
由不等式与方程的关系可得且，
则等价于等价于，
解得，
即关于x的不等式的解集是，
故选：D.
本题考查了不等式与方程的关系，重点考查了二次不等式的解法，属基础题.
5、D
【解析】
根据等差数列的通项公式，纵向观察三个式子的项的脚标关系，可巧解.
【详解】
由等差数列得：
所以
同理：
故选D.
本题考查等差数列通项公式，关键纵向观察出脚标的特殊关系更妙，属于中档题.
6、D
【解析】
先画出满足条件的平面区域，将变形为：，平移直线得直线过点时，取得最小值，求出即可．
【详解】
解：画出满足条件的平面区域，如图示：

由得：，
平移直线，显然直线过点时，最小，
由，解得：
∴最小值，
故选：D．
本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．
7、D
【解析】

连结，∵，
∴是异面直线与所成角（或所成角的补角），
∵在直三棱柱中，，，，
∴，，，，
∴，
∴异面直线与所成角的余弦值为，故选D.
8、D
【解析】
首先将后面的曲线化简为标准形式，分别求两个曲线的几何性质，比较后得出选项.
【详解】
首先化简为标准方程，，由方程形式可知，曲线的长轴长是8，短轴长是6，焦距是，离心率 ，，的长轴长是，短轴长是，焦距是，离心率，所以离心率相等.
故选D.
本题考查了椭圆的几何性质，属于基础题型.
9、D
【解析】
设第一天织尺，第二天起每天比前一天多织尺，由已知得，，故选D.
【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系.
10、A
【解析】
对分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出.
【详解】
由题意，当时，两条直线分别化为：，，此时两条直线相互垂直；
当时，两条直线分别化为：，，此时两条直线不垂直，舍去；
当且时，由两条直线相互垂直，则，即，
解得或；
综上可得：或，两条直线相互垂直，
所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件.
故选：A.
本题考查了简易逻辑的判定方法、两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、2019
【解析】
根据二次方程根与系数的关系得出，再利用等差数列下标和的性质得到，然后利用等差数列求和公式可得出答案.
【详解】
由二次方程根与系数的关系可得，
由等差数列的性质得出，
因此，等差数列的前项的和为，
故答案为.
本题考查等差数列的性质与等差数列求和公式的应用，涉及二次方程根与系数的关系，解题的关键在于等差数列性质的应用，属于中等题.
12、
【解析】
点代入的方程求出k，再由求出直线的斜率，即可写出直线的点斜式方程.
【详解】
将点代入直线得，，解得，
又，，于是的方程为，整理得.
故答案为：
本题考查直线的方程，属于基础题.
13、
【解析】
由平面向量投影的定义可得出在方向上的投影为，从而可计算出结果.
【详解】
设平面向量与的夹角为，则在方向上的投影为.
故答案为：.
本题考查平面向量投影的计算，熟悉平面向量投影的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
14、
【解析】
根据等差中项性质求解即可
【详解】
设等差中项为，则，解得
故答案为：
本题考查等差中项的求解，属于基础题
15、
【解析】
分子分母同除以，即可求出结果.
【详解】
因为.
故答案为
本题主要考查“”型的极限计算，熟记常用做法即可，属于基础题型.
16、3
【解析】
根据频率分布直方图，求得不小于40岁的人的频率及人数，再利用分层抽样的方法，即可求解，得到答案．
【详解】
根据频率分布直方图，得样本中不小于40岁的人的频率是0.015×10+0.005×10=0.2，
所以不小于40岁的人的频数是100×0.2=20；
从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取12人，
在[50，60）年龄段抽取的人数为．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质，以及频率分布直方图中概率的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
（1）先由题意得到，求出，再由，作出，得到数列为等比数列，进而可求出其通项公式；
（2）先由（1）得到，再由错位相减法，即可求出结果.
【详解】
解：（1）由题可得.
当时，，即.
由题设，，两式相减得.
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，故.
（2）由（1）可得，所以，
.
两边同乘以得.
上式右边错位相减得.
所以.
化简得.
本题主要考查求数列的通项公式，以及数列的前项和，熟记等比数列的通项公式与求和公式，以及错位相减法求数列的和即可，属于常考题型.
18、 (1) (2)
【解析】
（1）由正弦定理得，再利用余弦定理的到.
（2）将代入等式，化简得到答案.
【详解】
解：（1）由
结合正弦定理得；
∴
又，∴.
（2）由,∴
∴,
∴∴
又∴
解得：，.
本题考查了正弦定理，余弦定理，和差公式，意在考查学生的计算能力.
19、（1）或； （2）； （3）；
【解析】
试题分析：(1)时，由已知得到;(2)方程有实数解即a在的值域上，（3）根据二次函数的性质列不等式组得出tana的范围，利用根与系数的关系得出α+β的最值.
试题解析：
（1），
或；
（2）

（3）因为方程在区间上有两个相异的解、，所以
20、（1）；（2）
【解析】
（1）根据两圆对称，直径一样，只需圆心对称即可得圆C的标准方程；（2）设直线l的方程为y＝﹣x+m与圆C联立方程组，利用韦达定理，设而不求的思想即可求解b范围，即截距的取值范围．
【详解】
（1）圆的圆心坐标为，半径为2
设圆的圆心坐标为，由题意可知

解得：
由对称性质可得，圆的半径为2，所以圆的标准方程为：
（2）设直线的方程为，联立得：，
设直线与圆的交点，，
由，得，
（1）
因为为钝角，所以，且直线不过点
即满足，且
又，，
所以（2）
由（1）式（2）式可得，满足，即，
因为，所以直线在轴上的截距的取值范围是
本题考查直线与圆的位置关系，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．
21、（1）（2）1
【解析】
（1）由，得，化简得，即可得到答案；
（2）化简函数，对实数分类讨论求得函数的最小值，得到关于的分段函数，进而求得函数的最大值.
【详解】
（1）由题意知三点满足，
可得，所以，即
即，则，所以.
（2）由题意，函数

因为，所以，
当时，取得最小值，
当时，当时，取得最小值，
当时，当时，取得最小值，
综上所述，，可得函数的最大值为1，
即的最大值为1.
本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积的坐标性质，以及三角函数和二次函数的性质的综合应用，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.