北京市门头沟区2025年数学高一第二学期期末学业水平测试试题含解析.doc

北京市门头沟区2025年数学高一第二学期期末学业水平测试试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知向量，的夹角为，且，，则与的夹角等于
A． B． C． D．
2．不等式 的解集为( )
A．(-4，1) B．(-1，4)
C．(-∞，-4)∪(1，+∞) D．(-∞，-1)∪(4,+∞）
3．若，且，则xy的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则向量与向量的夹角是（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆与直线切于点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知两条不重合的直线和，两个不重合的平面和，下列四个说法：
①若，，，则；
②若，，则；
③若，，，，则；
④若，，，，则．
其中所有正确的序号为（ ）
A．②④ B．③④ C．④ D．①③
7．已知 ，则三个数、、 由小到大的顺序是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知a＞0，x，y满足约束条件,若z=2x+y的最小值为1，则a=
A． B． C．1 D．2
9．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ）
A． B．2 C．3 D．
10．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的值等于 (　　)

A．－3 B．－10 C．0 D．－2
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．等差数列中，，则其前12项之和的值为______
12．已知球的表面积为4，则该球的体积为________．
13．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是 ．
14．已知向量、满足||＝2，且与的夹角等于，则||的最大值为_____．
15．已知，均为锐角，，，则______.
16．已知函数在时取得最小值，则________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，为两非零有理数列（即对任意的，，均为有理数），为一个无理数列（即对任意的，为无理数）．
（1）已知，并且对任意的恒成立，试求的通项公式；
（2）若为有理数列，试证明：对任意的，恒成立的充要条件为；
（3）已知，，试计算．
18．设函数的定义域为R，当时，，且对任意实数m、n，有成立，数列满足，且.
（1）求的值；
（2）若不等式对一切都成立，求实数k的最大值.
19．在平面直角坐标系中，直线截以原点为圆心的圆所得的弦长为．
（1）求圆的方程；
（2）若直线与圆切于第一象限，且与坐标轴交于点，当长最小时，求直线的方程；
（3）设是圆上任意两点，点关于轴的对称点，若直线分别交轴于点和，问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
20．已知向量.
（1）若，且，求实数的值；
（2）若，且与的夹角为，求实数的值.
21．某企业生产的某种产品，生产总成本（元）与产量（吨）（）函数关系为，且函数是上的连续函数
（1）求的值；
（2）当产量为多少吨时，平均生产成本最低？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
根据条件即可求出，从而可求出，，，然后可设与的夹角为，从而可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角．
【详解】
，；
，，；
设与的夹角为，则；
又，，故选．
本题主要考查向量数量积的定义运用，向量的模的求法，以及利用数量积求向量夹角．
2、A
【解析】
将原不等式化简并因式分解，由此求得不等式的解集.
【详解】
原不等式等价于，即，解得.
故选A.
本小题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
3、D
【解析】
利用基本不等式可直接求得结果.
【详解】
（当且仅当时取等号） 的最大值为
故选：
本题考查利用基本不等式求解积的最大值的问题，属于基础题.
4、C
【解析】
试题分析：根据已知可得：，所以，所以夹角为，故选择C
考点：向量的运算
5、A
【解析】
利用点与圆心连线的直线与所求直线垂直，求出斜率，即可求过点与圆C相切的直线方程；
【详解】
圆可化为： ，显然过点的直线不与圆相切，则点与圆心连线的直线斜率为 ，则所求直线斜率为 ，代入点斜式可得 ，整理得。
故选A.
本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
6、C
【解析】
根据线面平行，面面平行，线面垂直，面面垂直的性质定理，判定定理等有关结论，逐项判断出各项的真假，即可求出．
【详解】
对①，若，，，则或和相交，所以①错误；
对②，若，，则或，所以②错误；
对③，根据面面平行的判定定理可知，只有，，，，且和相交，则，所以③错误；
对④，根据面面垂直的性质定理可知，④正确．
故选：C．
本题主要考查有关线面平行，面面平行，线面垂直，面面垂直的命题的判断，意在考查线面平行，面面平行，线面垂直，面面垂直的性质定理，判定定理等有关结论的理解和应用，属于基础题．
7、C
【解析】
比较三个数、、与的大小关系，再利用指数函数的单调性可得出、的大小，可得出这三个数的大小关系.
【详解】
，，，，且，函数为减函数，
所以，，即，，因此，，故选C.
本题考查指数幂的大小关系，常用的方法有如下几种：
（1）底数相同，指数不同，利用同底数的指数函数的单调性来比较大小；
（2）指数相同，底数不同，利用同指数的幂函数的单调性来比较大小；
（3）底数和指数都不相同时，可以利用中间值法来比较大小.
8、B
【解析】
画出不等式组表示的平面区域如图所示：

当目标函数z=2x+y表示的直线经过点A时，取得最小值，而点A的坐标为（1，），所以
，解得，故选B.
【考点定位】
本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.
9、A
【解析】
利用正弦定理，可直接求出的值.
【详解】
在中，由正弦定理得，所以，
故选：A.
本题考查利用正弦定理求边，要记得正弦定理所适用的基本类型，考查计算能力，属于基础题。
10、A
【解析】
第一次循环，；
第二次循环，；
第三次循环，，
当时，不成立，循环结束，此时，故选A.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
利用等差数列的通项公式、前n项和公式直接求解．
【详解】
∵等差数列{an}中，a3+a10＝25，
∴其前12项之和S126（a3+a10）＝6×25＝1．
故答案为：1．
本题考查等差数列的前n项和的公式，考查等差数列的性质的应用，考查运算求解能力，是基础题．
12、
【解析】
先根据球的表面积公式求出半径，再根据体积公式求解.
【详解】
设球半径为，则，解得，所以
本题考查球的面积、体积计算，属于基础题.
13、5
【解析】
试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，.
法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一.
【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.
14、
【解析】
在中，令，可得，可得点在半径为的圆上，，可得，进而可得的最大值．
【详解】
∵向量、满足||＝1，且与的夹角等于，
如图在中，令，，可得
可得点B在半径为R的圆上，1R4，R＝1．
则||的最大值为1R＝4

本题考查了向量的夹角、模的运算，属于中档题．
15、
【解析】
先求出，，再由，并结合两角和与差的正弦公式求解即可.
【详解】
由题意，可知，则，
又，则，或者，
因为为锐角，所以不成立，即成立，所以.
故.
故答案为：.
本题考查两角和与差的正弦公式的应用，考查同角三角函数基本关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
16、
【解析】
试题分析：因为，所以，当且仅当即，由题意，解得
考点：基本不等式

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
（1）根据不等式可得，把代入即可解出
（2）根据化简，利用为有理数即可解决
（3）根据题意可知，本题需分为奇数和偶数时讨论，通过求出．
【详解】
（1）∵，∴，即，
∴，
∵，∴，∴．
（2）∵，∴，
∴，
∵，，为有理数列，为无理数列，
∴，∴，以上每一步可逆．
（3），∴．
∵，∴，
当时，∴
当时，∴，∴为有理数列，
∵，∴，
∴，
∵，，为有理数列，为无理数列，
∴，∴，
∴
当时，∴
当时，∴，
∴．
本题数列的分类问题，数列通项式的求法、有关数列的综合问题等．本题难度、计算量较大，属于难题．
18、（1） （2）
【解析】
（1）首先令，得：，根据得到，
即是以，的等差数列，再计算即可.
（2）将题意转化为，设，判断其单调性，求出最小值即可得到答案.
【详解】
令，得：，.
所以.
因为，所以.
所以，.
所以是以，的等差数列.
所以，.
（2）因为恒成立.
即恒成立.
设，
知，且，
，即，
故为关于的增函数，.
所以，的最大值为.
本题主要考查数列与函数的综合，利用函数的单调性是解题的关键，属于难题.
19、（1）；（1）；（3）定值为.
【解析】
试题分析：（1）求出点到直线的距离，进而可求圆的半径，即可得到圆的方程；（1）设直线的方程，利用直线与圆相切，及基本不等式，可求长最小时，直线的方程；（3）设，则，求出直线，分别与轴交点，进而可求的值．
试题解析：（1）因为点到直线的距离为，所以圆的半径为，故圆的方程为．
（1）设直线的方程为，即，由直线与圆相切，得，即，，当且仅当时取等号，此时直线的方程为，所以当长最小进，直线的方程为．
（3）设点，则，
直线与轴交点为，则，
直线与轴交点为，则，
所以，故为定值1．
考点：1.直线和圆的方程的应用；1.直线与圆相交的性质．
20、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据平面向量加法和数乘的坐标表示公式、数量积的坐标表示公式，结合两个互相垂直的平面向量数量积为零，进行求解即可；
（2）利用平面向量夹角公式进行求解即可.
【详解】
（1）当时，.
因为，所以；
（2）当时，所以有，因为与的夹角为，
所以有.
本题考查了平面向量运算的坐标表示公式，考查了平面向量夹角公式，考查了数学运算能力.
21、 (1) ； (2) 当产量吨，平均生产成本最低.
【解析】
（1）根据函数连续性的定义，可得在分段处两边的函数值相等，可得a的值；（2）求出平均成本的表达式，结合二次函数和基本不等式，可得平均生产成本的最小值点．
【详解】
（1）设，
由函数是上的连续函数.
即，代入得
（2）设平均生产成本为，
则
当中，，函数连续且在单调递减，单调递增
即当，元
当，，由，当且仅当取等号，即当，元
综上所述，当产量吨，平均生产成本最低.
本题考查的知识点是分段函数的应用，二次函数的图象和性质，基本不等式求最值，属于中档题.