2024-2025学年甘肃省兰化一中高一数学第二学期期末综合测试试题含解析.doc

2024-2025学年甘肃省兰化一中高一数学第二学期期末综合测试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，且，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
3．若直线x＋（1＋m）y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是（ ）
A．1 B．－2 C．1或－2 D．
4．某高中三个年级共有3000名学生，现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三年级的全体学生中抽取一个容量为30的样本进行视力健康检查，若抽到的高一年级学生人数与高二年级学生人数之比为3∶2，抽到高三年级学生10人，则该校高二年级学生人数为（ ）
A．600 B．800 C．1000 D．1200
5．某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．已知，，且，则实数等于（ ）
A．-1 B．-9 C．3 D．9
7．已知等差数列中，若，则（ ）
A．-21 B．-15 C．-12 D．-17
8．下列说法不正确的是（ ）
A．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；
B．同一平面的两条垂线一定共面；
C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；
D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.
9．已知数列的通项公式，前n项和为，若，则的最大值是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
10．已知圆锥的母线长为8，底面圆周长为，则它的体积是( )
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在中，角，，的对边分别为，，，若，则________.
12．已知指数函数上的最大值与最小值之和为10，则=____________。
13．已知，则的最小值为__________．
14．已知数列的通项公式，则____________．
15．函数的图像可由函数的图像至少向右平移________个单位长度得到．
16．若复数满足（为虚数单位），则__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图所示，是一个矩形花坛，其中米，米．现将矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求：在上，在上，对角线过点，且矩形的面积小于150平方米．

（1）设长为米，矩形的面积为平方米，试用解析式将表示成的函数，并确定函数的定义域；
（2）当的长度是多少时，矩形的面积最小？并求最小面积．
18．（1）求证：
（2）请利用（1）的结论证明：
（3）请你把（2）的结论推到更一般的情形，使之成为推广后的特例，并加以证明：
（4）化简：.
19．已知的三个顶点，，，其外接圆为圆．
（1）求圆的方程；
（2）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（3）对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围．
20．在锐角中，角,,所对的边分别为，，.已知,.
（1）求的值；
（2）若,求的面积.
21．已知等比数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列为递增数列，数列满足，求数列的前n项和.
（3）在条件（2）下，若不等式对任意正整数n都成立，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
根据同角三角函数的基本关系及两角和差的正弦公式计算可得.
【详解】
解：因为，

．
因为，
所以．
因为，，所以．
所以

．
故选：
本题考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式，属于中档题.
2、D
【解析】
首先根据三角函数的定义，求得，之后应用三角函数的诱导公式，化简求得结果.
【详解】
由已知得，则.
故选D
该题考查的是有关三角函数的化简求值问题，涉及到的知识点有三角函数的定义，诱导公式，属于简单题目.
3、A
【解析】
分类讨论直线的斜率情况，然后根据两直线平行的充要条件求解即可得到所求．
【详解】
①当时，两直线分别为和，此时两直线相交，不合题意．
②当时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得，解得．
综上可得．
故选A．
本题考查两直线平行的等价条件，解题的关键是将问题转化为对直线斜率存在性的讨论．也可利用以下结论求解：若，则
且或且．
4、B
【解析】
根据题意可设抽到高一和高二年级学生人数分别为和，则，继而算出抽到的各年级人数，再根据分层抽样的原理可以推得该校高二年级的人数．
【详解】
根据题意可设抽到高一和高二年级学生人数分别为和，则
，
即，
所以高一年级和高二年级抽到的人数分别是12人和8人，
则该校高二年级学生人数为人．
故选：．
本题考查分层抽样的方法，属于容易题．
5、B
【解析】
算出基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，利用古典概型的概率的计算公式可求概率.
【详解】
设为“恰好抽到2幅不同种类”
某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，
现从中随机抽取2幅进行展览，基本事件总数，
恰好抽到2幅不同种类包含的基本事件个数，
则恰好抽到2幅不同种类的概率为．
故选B．
计算出所有的基本事件的总数及随机事件中含有的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算即可.计数时应该利用排列组合的方法.
6、C
【解析】
由可知,再利用坐标公式求解.
【详解】
因为,,且,
所以,即,解得,
故选:C.
本题考查向量的坐标运算,解题关键是明确.
7、A
【解析】
根据等差数列的前n项和公式得：，故选A.
8、D
【解析】
一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；
这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就明确了
9、B
【解析】
将的通项公式分解因式，判断正负分界处，进而推断的最大最小值得到答案.
【详解】
数列的通项公式
当时，当或是
最大值为或
最小值为或
的最大值为
故答案为B
本题考查了前n项和为的最值问题，将其转化为通项公式的正负问题是解题的关键.
10、D
【解析】
圆锥的底面周长，求出底面半径，然后求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．
【详解】
∵圆锥的底面周长为
∴圆锥的底面半径
双∵圆锥的母线长
∴圆锥的高为
∴圆锥的体积为
故选D.
本题是基础题，考查计算能力，圆锥的高的求法，熟练掌握公式是解题的关键．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
利用余弦定理与不等式结合的思想求解，，的关系．即可求解的值．
【详解】
解：根据①
余弦定理②
由①②可得：
化简：

，，
，，,，
此时，故得，即，．
故答案为：．
本题主要考查了存在性思想，余弦定理与不等式结合的思想，界限的利用．属于中档题．
12、
【解析】
根据和时的单调性可确定最大值和最小值，进而构造方程求得结果.
【详解】
当时，在上单调递增 ，
，解得：或（舍）
当时，在上单调递减 ，
，解得：（舍）或（舍）
综上所述：
故答案为：
本题考查利用函数最值求解参数值的问题，关键是能够根据指数函数得单调性确定最值点.
13、
【解析】
根据均值不等式即可求出的最小值.
【详解】
因为
所以，
根据均值不等式可得：

当且仅当，即时等号成立.
本题主要考查了均值不等式，属于中档题.
14、
【解析】
将代入即可求解
【详解】
令，可得.
故答案为：
本题考查求数列的项，是基础题
15、
【解析】
试题分析：因为，所以函数的的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到．
【考点】三角函数图像的平移变换、两角差的正弦公式
【误区警示】在进行三角函数图像变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言，即图像变换要看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少．
16、
【解析】
分析：由复数的除法运算可得解.
详解：由，得.
故答案为：.
点睛：本题考查了复数的除法运算，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）,;（2）,.
【解析】
（1）由可得，
，∴．
由，且，解得，
∴函数的定义域为．
（2）令，则，
，
当且仅当时，取最小值，故当的长度为米时，矩形花坛的面积最小，最小面积为96平方米．
考点：1.分式不等式；2.均值不等式.
18、（1）证明见解析，（2）证明见解析，（3），证明见解析（4）
【解析】
（1）右边余切化正切后，利用二倍角的正切公式变形可证；
（2）将（1）的结果变形为，然后将所证等式的右边的正切化为余切即可得证；
（3）根据（1）（2）的规律可得结果；
（4）由（3）的结果可得.
【详解】
（1）证明：因为

，
所以
（2）因为，
所以
，
所以
（3）一般地：，
证明：因为

所以，
以此类推得
（4）

.
本题考查了归纳推理，考查了同角公式，考查了二倍角的正切公式，属于中档题.
19、（1）（2）或（3）
【解析】
试题分析：(1)借助题设条件直接求解；(2)借助题设待定直线的斜率,再运用直线的点斜式方程求解；(3)借助题设建立关于的不等式,运用分析推证的方法进行求解.
试题解析：
（1）的面积为2；
（2）线段的垂直平分线方程为，线段的垂直平分线方程为，
所以外接圆圆心，半径，圆的方程为，
设圆心到直线的距离为，因为直线被圆截得的弦长为2，所以.
当直线垂直于轴时，显然符合题意，即为所求；
当直线不垂直于轴时，设直线方程为，则，解得，
综上，直线的方程为或.
（3）直线的方程为，设，，
因为点是线段的中点，所以，又，都在半径为的圆上，所以
因为关于，的方程组有解，即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，所以，
又，所以对成立.
而在上的值域为，所以且.
又线段与圆无公共点，所以对成立，即.
故圆的半径的取值范围为.
考点：直线与圆的位置关系等有关知识的综合运用．
20、（1）2；（2）3.
【解析】
（1）利用正弦定理可得，消元后可得关于的三角方程，从该方程可得的值.
（2）利用同角的三角函数的基本关系式结合（1）中的结果可得，再根据题设条件得到后再利用正弦定理可求的值，从而得到所求的面积.
【详解】
(1)在由正弦定理得，①，
因为,所以，
又因为，所以，整理得到，
故.
(2)在锐角中，因为，所以，
将代入①得.
在由正弦定理得，
所以.
在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.另外，三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道两角及一边，用正弦定理.另外，如果知道两个角的三角函数值，则必定可以求第三角的三角函数值，此时涉及到的公式有同角的三角函数的基本关系式和两角和差的三角公式、倍角公式等.
21、（1）当时： ；当时：
（2）（3）
【解析】
（1）直接利用等比数列公式得到答案.
（2）利用错位相减法得到答案.
（3）将不等式转化为，根据双勾函数求数列的最大值得到答案.
【详解】
（1）
当时：
当时：
（2）数列为递增数列，，

两式相加，化简得到

（3）

设
原式 （为奇数）
根据双勾函数知：或时有最大值.
时，原式 时，原式
故
本题考查了等比数列的通项公式，错位相减法求前N项和，恒成立问题，将恒成立问题转化为利用双勾函数求数列的最大值是解题的关键，此题综合性强，计算量大，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.