2025届陕西省汉中市高一数学第二学期期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

2025届陕西省汉中市高一数学第二学期期末教学质量检测模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若，则（ ）
A． B． C．或 D．
2．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，a2+a4+a6＝12，则S7＝（　　）
A．20 B．28 C．36 D．4
3． 数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)，那么在此数列中(　　)
A．a7＝a8最大 B．a8＝a9最大
C．有唯一项a8最大 D．有唯一项a7最大
4．已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
5．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
6．已知分别是的内角的的对边，若，则的形状为（　）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
7．已知数列{an}为等差数列，Sn是它的前n项和．若＝2，S3＝12，则S4＝(　　)
A．10 B．16 C．20 D．24
8．圆周运动是一种常见的周期性变化现象，可表述为：质点在以某点为圆心半径为r的圆周上的运动叫“圆周运动”，如图所示，圆O上的点以点A为起点沿逆时针方向旋转到点P，若连接OA、OP，形成一个角，当角，则（ ）

A． B． C． D．1
9．已知直线与直线互相平行，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知,,从射出的光线经过直线反射后再射到直线上,最后经直线反射后又回到点,则光线所经过的路程可以用对称性转化为一条线段,这条线段的长为( )
A． B．3 C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在中，，则______．
12．若数列满足，，，则该数列的通项公式______．
13．每年五月最受七中学子期待的学生活动莫过于学生节，在每届学生节活动中，着七中校服的布偶“七中熊”尤其受同学和老师欢迎.已知学生会将在学生节当天售卖“七中熊”，并且会将所获得利润全部捐献于公益组织.为了让更多同学知晓，学生会宣传部需要前期在学校张贴海报宣传，成本为250元，并且当学生会向厂家订制只“七中熊”时，需另投入成本，（元），.通过市场分析， 学生会订制的“七中熊”能全部售完.若学生节当天，每只“七中熊”售价为70元，则当销量为______只时，学生会向公益组织所捐献的金额会最大.
14．______．
15．_______________.
16．已知一圆台的底面圆的半径分别为2和5，母线长为5，则圆台的高为_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，其图象的一个对称中心是，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意，当时，都有，求实数的最大值；
（3）若对任意实数在上与直线的交点个数不少于6个且不多于10个，求实数的取值范围.
18．平面内给定三个向量＝(3,2)，＝(－1,2)，＝(4,1)．
(1)求满足的实数m，n；
(2)若，求实数k；
19．已知函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴．
（1）求函数的解析式；
（2）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，若角满足，求的取值范围；
（3）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数记作，已知常数，，且函数在内恰有个零点，求常数与的值．
20．在中，已知，，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：
顶点C的坐标； 
直线MN的方程．
21．已知数列的前项和为，，.
（1）证明：数列是等比数列，并求其通项公式；
（2）令，若对恒成立，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
利用诱导公式变形，再化弦为切求解．
【详解】
由诱导公式化简得，
又，所以原式.
故选D
本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及诱导公式的应用，也考查了化弦为切的思想，属于基础题．
2、B
【解析】
由等差数列的性质计算．
【详解】
由题意，，∴．
故选B．
本题考查等差数列的性质，灵活运用等差数列的性质可以很快速地求解等差数列的问题．
在等差数列中，正整数满足，则，特别地若，则；．
3、A
【解析】
，
所以，
令，解得n≤7，
即n≤7时递增，n＞7递减，所以a1＜a2＜a3＜…＜a7＝a8＞a9＞….
所以a7＝a8最大．
本题选择A选项.
4、B
【解析】
由题意，得到，结合基本不等式，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，正实数a，b满足，
则，
当且仅当，即等号成立，
所以的最小值为9.
故选：B.
本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能，属于据此话题.
5、B
【解析】
根据零点存在性定理即可求解.
【详解】
由函数，
则，，
故函数的零点在区间上.
故选：B
本题考查了利用零点存在性定理判断零点所在的区间，需熟记定理内容，属于基础题.
6、A
【解析】
由已知结合正弦定理可得利用三角形的内角和及诱导公式可得，整理可得从而有结合三角形的性质可求
【详解】
解：是的一个内角，，

由正弦定理可得，

又，，即为钝角，故选A．
本题主要考查了正弦定理，三角形的内角和及诱导公式，两角和的正弦公式，属于基础试题．
7、C
【解析】
根据等差数列的前n项和公式，即可求出.
【详解】
因为S3＝3＋d＝6＋3d＝12，解得d＝2，所以S4＝4＋ d＝20.
本题主要考查了等差数列的前n项和公式，属于中档题.
8、A
【解析】
运用求任意角的三角函数值的步骤：化正、脱周、变锐角和求值，可得所求值.
【详解】
.
故选：A.
本题考查任意角三角函数值的求法，属于基础题.
9、A
【解析】
根据两直线平性的必要条件可得，求解并进行验证即可。
【详解】
直线与直线互相平行；
，即，解得：；
当时，直线分别为和，平行，满足条件
当时，直线分别为和，平行，满足条件；
所以；
故答案选A
本题考查两直线平行的性质，解题时注意平行不包括重合的情况，属于基础题。
10、A
【解析】
根据题意，画出示意图，求出点的坐标，进而利用两点之间距离公式求解.
【详解】
根据题意，作图如下：

已知直线AB的方程为：，则：
点P关于直线AB的对称点为，则：
，解得点，同理
可得点P关于直线OB的对称点为：
故光线的路程为.
故选：A.
本题考查点关于直线的对称点的求解、斜率的求解、以及两点之间的距离，属基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由已知求得，进一步求得，即可求出．
【详解】
由，
得，
即，，
则，
，，则．
本题主要考查应用两角和的正切公式作三角函数的恒等变换与化简求值．
12、
【解析】
判断数列是等比数列，然后求出通项公式．
【详解】
数列中，，，
可得数列是等比数列，等比为3，
．
故答案为：．
本题考查等比数列的判断以及通项公式的求法，考查计算能力．
13、200
【解析】
由题意求得学生会向公益组织所捐献的金额的函数解析式，再由对勾函数的性质求得取最大值时的值即可.
【详解】
由题意，设学生会向公益组织所捐献的金额为，
，
由对勾函数的性质知，在时取得最小值，
所以时，取得最大值.
故答案为：200
本题主要考查利用函数解决实际问题和对勾函数的性质，属于基础题.
14、
【解析】

,

,故答案为.
考点：三角函数诱导公式、切割化弦思想.
15、2
【解析】
利用裂项求和法将化简为，再求极限即可.
【详解】
令.

.
.
故答案为：
本题主要考查数列求和中的列项求和，同时考查了极限的求法，属于中档题.
16、4
【解析】
根据圆台轴截面等腰梯形计算．
【详解】
，
设圆高为，由圆台轴截面是等腰梯形得：，即，，
故答案为：4.
本题考查求圆台的高，解题关键是掌握圆台的性质，圆台轴截面是等腰梯形．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）根据正弦函数的对称性，可得函数的解析式，再由函数图象的平移变换法则，可得函数的解析式；
（2）将不等式进行转化，得到函数在[0，t]上为增函数，结合函数的单调性进行求解即可；
（3）求出的解析式，结合交点个数转化为周期关系进行求解即可．
【详解】
（1）因为函数，其图象的一个对称中心是，所以有，的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.所以
；
（2）由，构造新函数为，由题意可知：任意，当时，都有，说明函数在上是单调递增函数，而的单调递增区间为：
，而，
所以单调递增区间为：，因此实数的最大值为：；
（3），其最小正周期，
而区间的长度为，
直线的交点个数不少于6个且不多于10个,则，且，
解得：.
本题考查了正弦型函数的对称性和图象变换，考查了正弦型函数的单调性，考查了已知两函数图象的交点个数求参数问题，考查了数学运算能力.
18、（1）； （2）.
【解析】
(1)由及已知得,由此列方程组能求出实数；(2)由 ,可得，由此能求出的值.
【详解】
(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，所以，解得；
(2)∵a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.∴k＝.
本题主要考查相等向量与共线向量的性质，属于简单题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.
19、（1）；（2）；（3），.
【解析】
（1）由函数的周期公式可求出的值，求出函数的对称轴方程，结合直线为一条对称轴结合的范围可得出的值，于此得出函数的解析式；
（2）由得出，再由结合锐角三角函数得出，利用正弦定理以及内角和定理得出，由条件得出，于此可计算出的取值范围；
（3）令，得，换元得出，得出方程，设该方程的两根为、，由韦达定理得出，分（ii）、；（ii），；（iii），三种情况讨论，计算出关于的方程在一个周期区间上的实根个数，结合已知条件得出与的值.
【详解】
（1）由三角函数的周期公式可得，，
令，得，
由于直线为函数的一条对称轴，所以，，
得，由于，，则，
因此，；
（2），由三角形的内角和定理得，.
，且，，.
，
由，得，由锐角三角函数的定义得，，
由正弦定理得，，
，
，且，，，.
，因此，的取值范围是；
（3）将函数的图象向右平移个单位，
得到函数，
再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数为，
，
令，可得，
令，得，，
则关于的二次方程必有两不等实根、，则，则、异号，
（i）当且时，则方程和在区间均有偶数个根，
从而方程在也有偶数个根，不合乎题意；
（ii）当，则，当时，只有一根，有两根，
所以，关于的方程在上有三个根，
由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上只有一个根，在区间上无实解，方程在区间上无实数解，在区间上有两个根，因此，关于的方程在区间上有个根，在区间上有个根，不合乎题意；
（iii）当时，则，当时，只有一根，有两根，
所以，关于的方程在上有三个根，
由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上无实数根，在区间上只有一个实数根，
方程在区间上有两个实数解，在区间上无实数解，
因此，关于的方程在区间上有个根，在区间上有个根，此时，，得.
综上所述：，.
本题考查利用三角函数的性质求三角函数的解析式，以及三角形中的取值范围问题，以及三角函数零点个数问题，同时也涉及了复合函数方程解的个数问题，考查分类讨论思想的应用，综合性较强，属于难题.
20、（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）边AC的中点M在y轴上，由中点公式得，A，C两点的横坐标和的平均数为1，同理，B，C两点的纵坐标和的平均数为1．构造方程易得C点的坐标．
（2）根据C点的坐标，结合中点公式，我们可求出M，N两点的坐标，代入两点式即可求出直线MN的方程．
解：（1）设点C（x，y），
∵边AC的中点M在y轴上得=1，
∵边BC的中点N在x轴上得=1，
解得x=﹣5，y=﹣2．
故所求点C的坐标是（﹣5，﹣2）．
（2）点M的坐标是（1，﹣），
点N的坐标是（1，1），
直线MN的方程是=，
即5x﹣2y﹣5=1．
点评：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
21、（1）证明见解析，（2）
【解析】
（1）当时，结合可求得；当且时，利用可整理得，可证得数列为等比数列；根据等比数列通项公式可求得结果；（2）根据等比数列求和公式求得，代入可得；分别在为奇数和为偶数两种情况下根据恒成立，采用分离变量的方法得到的范围，综合可得结果.
【详解】
（1）当时，，又
当且时，

数列是以为首项，为公比的等比数列
（2）由（1）知：
当为奇数时，，即：恒成立

当为偶数时，，即：

综上所述，若对恒成立，则
本题考查等比数列知识的综合应用，涉及到利用与关系证明数列为等比数列、等比数列通项公式和求和公式的应用、恒成立问题的求解；本题解题关键是能够进行合理分类，分别在两种情况下求解参数的范围，最终取交集得到结果.