2024-2025学年山东临沂市数学高一第二学期期末联考模拟试题含解析.doc

2024-2025学年山东临沂市数学高一第二学期期末联考模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，，，，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知圆锥的母线长为8，底面圆周长为，则它的体积是( )
A． B． C． D．
3．无论 取何实数，直线恒过一定点，则该定点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，正四面体，是棱上的动点，设（），分别记与，所成角为，，则（ ）

A． B． C．当时， D．当时，
6．直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
7．现有1瓶矿泉水，编号从1至1．若从中抽取6瓶检验，用系统抽样方法确定所抽的编号为（ ）
A．3，13，23，33，43，53 B．2，14，26，38，42，56
C．5，8，31，36，48，54 D．5，10，15，20，25，30
8．设为两条不同的直线，为三个不重合平面，则下列结论正确的是( )
A．若，，则 B．若， 则
C．若，，则 D．若，，则
9．已知样本数据为3，1，3，2，3，2，则这个样本的中位数与众数分别为（ ）
A．2，3 B．3，3 C．2.5，3 D．2.5，2
10．( ).
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．求的值为________．
12．一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔的南偏西距塔64海里的处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的处,则这只船的航行速度为__________海里/小时．
13．已知点和在直线的两侧，则a的取值范围是__________.
14．已知数列：，，，，，，，，，，，，，，，，，则__________．
15．已知，，若，则____
16．已知角的终边上一点P的坐标为，则____.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知圆：．
（Ⅰ）求过点的圆的切线方程；
（Ⅱ）设圆与轴相交于，两点，点为圆上异于，的任意一点，直线，分别与直线交于，两点．
（ⅰ）当点的坐标为时，求以为直径的圆的圆心坐标及半径；
（ⅱ）当点在圆上运动时，以为直径的圆被轴截得的弦长是否为定值？请说明理由．
18．某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段 后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：

（1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；
（3）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任取个，求至多有人在分数段内的概率．
19．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．
（1）求边c的值；
（2）求的面积
20．设数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
21．已知公差不为零的等差数列的前项和为，，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
试题分析：相除得，又，所以.选B.
【考点定位】指数运算与对数运算.
2、D
【解析】
圆锥的底面周长，求出底面半径，然后求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．
【详解】
∵圆锥的底面周长为
∴圆锥的底面半径
双∵圆锥的母线长
∴圆锥的高为
∴圆锥的体积为
故选D.
本题是基础题，考查计算能力，圆锥的高的求法，熟练掌握公式是解题的关键．
3、A
【解析】
通过整理直线的形式，可求得所过的定点.
【详解】
直线可整理为，
当 ，解得，
无论为何值，直线总过定点.
故选A.
本题考查了直线过定点问题，属于基础题型.
4、B
【解析】
算出基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，利用古典概型的概率的计算公式可求概率.
【详解】
设为“恰好抽到2幅不同种类”
某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，
现从中随机抽取2幅进行展览，基本事件总数，
恰好抽到2幅不同种类包含的基本事件个数，
则恰好抽到2幅不同种类的概率为．
故选B．
计算出所有的基本事件的总数及随机事件中含有的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算即可.计数时应该利用排列组合的方法.
5、D
【解析】
作交于时，为正三角形，，是与成的角，根据等腰三角形的性质，作交于，同理可得，当时，，故选D．
6、A
【解析】
一般式直线方程的斜率为．
【详解】
直线的斜率为.
故选A
此题考察一般直线方程的斜率，属于较易基础题目
7、A
【解析】
根据系统抽样原则，可知编号成公差为的等差数列，观察选项得到结果.
【详解】
根据系统抽样原则，可知所抽取编号应成公差为的等差数列
选项编号公差为；选项编号不成等差；选项编号公差为；可知错误
选项编号满足公差为的等差数列，正确
本题正确选项：
本题考查抽样方法中的系统抽样，关键是明确系统抽样的原则和特点，属于基础题.
8、D
【解析】
根据空间中线线、线面、面面位置关系，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
A选项，若，，则可能平行、相交或异面；故A错；
B选项，若， ，则或，故B错；
C选项，若，，因为为三个不重合平面，所以或，故C错；
D选项，若，，则，故D正确；
故选D
本主要考查命题真假的判定，熟记空间中线线、线面、面面位置关系，即可得出结果.
9、C
【解析】
将样本数据从小到大排列即可求得中位数，再找出出现次数最多的数即为众数.
【详解】
将样本数据从小到大排列：1，2，2，3，3，3，中位数为，众数为3.
故选：C.
本题考查了中位数和众数的概念，属于基础题.
10、D
【解析】
运用诱导公式进行化简，最后逆用两角和的正弦公式求值即可.
【详解】
,
故本题选D.
本题考查了正弦的诱导公式，考查了逆用两角和的正弦公式，考查了特殊角的正弦值.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、44.5
【解析】
通过诱导公式，得出，依此类推，得出原式的值．
【详解】
，
，
同理，
，故答案为44.5.
本题主要考查了三角函数中的诱导公式的运用，得出是解题的关键，属于基础题．
12、
【解析】
由 ，行驶了4小时，这只船的航行速度为 海里/小时．
【点睛】本题为解直角三角形应用题，利用直角三角形边角关系表示出两点间的距离，在用辅助角公式变形求值，最后利用速度公式求出结果.
13、
【解析】
试题分析：若点A（3，1）和点B（4，6）分别在直线3x-2y+a=0两侧，则将点代入直线中是异号，则[3×3-2×1+a]×[3×4-2×6+a]＜0，即（a+7）a＜0，解得-7＜a＜0，故填写-7<a<0
考点：本试题主要考查了二元一次不等式与平面区域的运用．
点评：解决该试题的关键是根据A、B在直线两侧，则A、B坐标代入直线方程所得符号相反构造不等式．
14、
【解析】
根据数列的规律和可知的取值为，则分母为；又为分母为的项中的第项，则分子为，从而得到结果.
【详解】

当时，；当时，
的分母为：
又 的分子为：
本题正确结果：
本题考查根据数列的规律求解数列中的项，关键是能够根据分子的变化特点确定的取值.
15、
【解析】
由，，得的坐标，根据得，由向量数量积的坐标表示即可得结果.
【详解】
∵，，∴
又∵，∴，
即，
所以，解得，故答案为.
本题主要考查了向量的坐标运算，两向量垂直与数量积的关系，属于基础题.
16、
【解析】
由已知先求，再由三角函数的定义可得即可得解．
【详解】
解：由题意可得点到原点的距离
，，
由三角函数的定义可得，，，
此时；
故答案为．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）或；（Ⅱ）（ⅰ）圆心为，半径；（ⅱ）见解析
【解析】
（Ⅰ）先判断在圆外， 所以圆过点的切线有两条．再由斜率是否存在分别讨论．（Ⅱ）（ⅰ）设直线PA和PB把其与直线交于，两点表示出来，写出圆的方程化简即可．（ⅱ）先求出以为直径的圆被轴截得的弦长，在设出PA和PB的直线方程，分别求出与直线的交点，求出圆心，再根据勾股定理易求解．
【详解】
（Ⅰ）因为点在圆外， 所以圆过点的切线有两条．
当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足条件．
当直线的斜率存在时，可设为，即．
由圆心到切线的距离，解得． 此时切线方程为．
综上，圆的切线方程为或．
（Ⅱ）因为圆与轴相交于，两点，所以，．
（ⅰ）当点坐标为时，直线的斜率为，直线的方程为．
直线与直线的交点坐标为 ，
同理直线的斜率为，直线的方程为．
直线与直线的交点坐标为． 所以以为直径的圆的圆心为，半径．
（ⅱ）以为直径的圆被轴截得的弦长为定值．
设点，则．
直线的斜率为，直线的方程为．
直线与直线的交点坐标为．
同理直线的斜率为，直线的方程为．
直线与直线的交点坐标为．
所以圆的圆心，半径为．
方法一：圆被轴截得的弦长为
．
所以以为直径的圆被轴截得的弦长为定值．
方法二：圆的方程为．
令，解得．
所以．
所以圆与轴的交点坐标分别为，．
所以以为直径的圆被轴截得的弦长为定值．
此题考查解析几何中关于圆的题目，一般做法是设而不求，将需要的信息表示出来再化简求值，属于一般性题目．
18、 (1) 0.3，直方图见解析；(2)121；(3) .
【解析】
（1）频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，而频率的和等于1，可求出分数在内的频率，即可求出矩形的高，画出图象即可；（2）同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相差再求出它们的和即可求出本次考试的平均分；（3）先计算、分数段的人数，然后按照比例进行抽取，设从样本中任取2人，至多有1人在分数段为事件，然后列出基本事件空间包含的基本事件，以及事件包含的基本事件，最后将包含事件的个数求出题目比值即可.
【详解】
(1)分数在[120,130)内的频率为：1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3，，补全后的直方图如下：

(2)平均分为：95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121.
(3)由题意，[110,120)分数段的人数为：60×0.15＝9人，[120,130)分数段的人数为：60×0.3＝18人．
∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，
∴需在[110,120)分数段内抽取2人，并分别记为m，n；
在[120,130)分数段内抽取4人并分别记为a，b，c，d；
设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120,130)内”为事件A，则基本事件有：(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，(n，d)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)共15种．
事件A包含的基本事件有：(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，(n，d)共9种，∴.
19、（1）（2）3
【解析】
（1）由可得,利用正弦定理可得,即可求解；
（2）先利用余弦定理求得,即可求得,再利用三角形面积公式求解即可
【详解】
解:（1）因为,
所以,即,
则
（2）由（1）,则,
所以,
所以
本题考查利用正弦定理边角互化,考查利用余弦定理求角,考查三角形面积公式的应用
20、（1）；（1）.
【解析】
（1）在中，将代得： ，由两式作商得：，问题得解．
（1）利用（1）中结果求得，分组求和，再利用等差数列前项和公式及乘公比错位相减法分别求和即可得解．
【详解】
（1）由n＝1得，
因为，
当n≥1时，，
由两式作商得：（n＞1且n∈N*），
又因为符合上式，
所以（n∈N*）．
（1）设，
则bn＝n＋n·1n，
所以Sn＝b1＋b1＋…＋bn＝（1＋1＋…＋n）＋
设Tn＝1＋1·11＋3·13＋…+（n－1）·1n－1＋n·1n，①
所以1Tn＝11＋1·13＋…（n－1）·1n－1＋（n－1）·1n＋n·1n＋1，②
①－②得：－Tn＝1＋11＋13＋…＋1n－n·1n＋1，
所以Tn＝（n－1）·1n＋1＋1．
所以，
即．
本题主要考查了赋值法及方程思想，还考查了分组求和法及乘公比错位相减法求和，考查计算能力及转化能力，属于中档题．
21、 (1)；（2）．
【解析】
试题分析：（1）利用等差等比基本公式，计算数列的通项公式；（2）利用裂项相消法求和.
试题解析：
(1)设公差为，因为，，成等数列，
所以，即，
解得，或(舍去)，
所以.
(2)由(1)知，
所以，
，
所以.