2024-2025学年山西省忻州高级中学高一下数学期末预测试题含解析.doc

2024-2025学年山西省忻州高级中学高一下数学期末预测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是(　　)
A． B．
C． D．
2．生活中有这样一个实际问题：如果一杯糖水不够甜，可以选择加糖的方式，使得糖水变得更甜．若，则下列数学模型中最能刻画“糖水变得更甜”的是（　）
A． B．
C． D．
3．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A．16 B．20 C．24 D．28
4．函数的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
5．若，则下列不等式成立的是　　
A． B． C． D．
6．当前，我省正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张问题．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为（ ）
A．30 B．40 C．20 D．36
7．设，则下列不等式恒成立的是
A． B．
C． D．
8．已知，则角的终边所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则是异面直线
D．若，，，则
10．在等差数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．△ABC中，，，则=_____．
12．如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，则的长等于______．

13．如图，在四面体A－BCD中，已知棱AC的长为 ，其余各棱长都为1，则二面角A－CD－B的平面角的余弦值为________.

14．已知等差数列，若，则______.
15．如图，在直角梯形中，//是线段上一动点，是线段上一动点，则的最大值为________．

16．已知函数，（常数、），若当且仅当时，函数取得最大值1，则实数的数值为______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设数列的前项和为，已知．
（1）求，的值；
（2）求证：数列是等比数列．
18．如图,在△ABC中,AB=8,AC=3,∠BAC=60°,以点A为圆心,r=2为半径作一个圆,设PQ为圆A的一条直径.

(1)请用表示,用表示;
(2)记∠BAP=θ,求的最大值.
19．已知向量垂直于向量，向量垂直于向量.
（1）求向量与的夹角；
（2）设，且向量满足，求的最小值；
（3）在（2）的条件下，随机选取一个向量，求的概率.
20．在中，已知角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
21．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到下表数据：
单价（元）

销量（件）

且，，
（1）已知与具有线性相关关系，求出关于回归直线方程；
（2）解释回归直线方程中的含义并预测当单价为元时其销量为多少？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
关于的不等式,即的解集是，∴不等式,可化为，解得，∴所求不等式的解集是,故选C.
2、B
【解析】
由题意可得糖水甜可用浓度体现，设糖的量为，糖水的量设为，添加糖的量为，对照选项，即可得到结论．
【详解】
由题意，若，设糖的量为，糖水的量设为，添加糖的量为，
选项A，C不能说明糖水变得更甜，
糖水甜可用浓度体现，而，能体现糖水变甜；
选项D等价于，不成立，
故选：B．
本题主要考查了不等式在实际生活中的运用，考查不等式的等价变形，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
3、B
【解析】
根据三视图可还原几何体，根据长度关系依次计算出各个侧面和上下底面的面积，加和得到表面积.
【详解】
有三视图可得几何体的直观图如下图所示：

其中：，，，
则：，，
，，

几何体表面积：
本题正确选项：
本题考查几何体表面积的求解问题，关键是能够根据三视图准确还原几何体，从而根据长度关系可依次计算出各个面的面积.
4、C
【解析】
，设是奇函数，其图象关于原点对称，而函数的图象可由的图象向右平移一个单位，向下平移两个单位得到，所以函数的图象关于点对称，故选C.
5、C
【解析】
利用的单调性直接判断即可。
【详解】
因为在上递增，
又，所以成立。
故选：C
本题主要考查了幂函数的单调性，属于基础题。
6、A
【解析】
先求出每个个体被抽到的概率,再由乙社区的低收入家庭数量乘以每个个体被抽到的概率,即可求解
【详解】
每个个体被抽到的概率为,
乙社区由270户低收入家庭,故应从乙中抽取低收入家庭的户数为,
故选:A
本题考查分层抽样的应用,属于基础题
7、C
【解析】
利用不等式的性质，合理推理，即可求解，得到答案.
【详解】
因为，所以，所以A项不正确；
因为，所以，，则，所以B不正确；
因为，则，所以，
又因为，则，所以等号不成立，所以C正确；
由，所以，所以D错误.
本题主要考查了不等式的性质的应用，其中解答中熟记不等式的性质，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8、D
【解析】
由可知：则
的终边所在的象限为第四象限
故选
9、A
【解析】
利用线面垂直的判定，线面平行的判定，线线的位置关系及面面平行的性质逐一判断即可.
【详解】
对于A，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故A正确.
对于B，若，，则或，故B错误.
对于C，若，，则位置关系为平行或相交或异面，故C错误.
对于D，若，，，则位置关系为平行或异面，故D错误.
故选：A
本题主要考查了线面垂直的性质，线面平行的判定和面面平行的性质，属于简单题.
10、B
【解析】
利用等差中项的性质得出关于的等式，可解出的值.
【详解】
由等差中项的性质可得，
由于，即，即，解得，
故选：B.
本题考查等差中项性质的应用，解题时充分利用等差中项的性质进行计算，可简化计算，考查运算能力，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
试题分析：三角形中，,由，得又,所以有正弦定理得即即A为锐角，由得，因此
考点：正余弦定理
12、1
【解析】
由已知中二面角α﹣l﹣β等于110°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，由，结合向量数量积的运算，即可求出CD的长．
【详解】
∵A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，
又∵二面角α﹣l﹣β的平面角θ等于110°，且AB＝AC＝BD＝1，
∴，60°，
∴

故答案为1．
本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，其中利用，结合向量数量积的运算，是解答本题的关键．
13、
【解析】

如图，取中点，中点，连接，
由题可知，边长均为1，则，
中，，则，得，
所以二面角的平面角即，
在中，，
则，
所以．
点睛：本题采用几何法去找二面角，再进行求解．利用二面角的定义：公共边上任取一点，在两个面内分别作公共边的垂线，两垂线的夹角就是二面角的平面角，找到二面角的平面角，再求出对应三角形的三边，利用余弦定理求解（本题中刚好为直角三角形）．
14、
【解析】
利用等差数列的通项公式直接求解.
【详解】
设等差数列公差为，由，得，
解得.
故答案：.
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
15、2
【解析】
建立平面直角坐标系，得到相应点的坐标及向量的坐标，把，利用向量的数量积转化为的函数，即可求解．
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，
因为，，所以,
因为，，
所以

,
因为，所以当时，取得最大值，最大值为．
故答案为：．

本题主要考查了平面向量的线性运算，以及向量的数量积的运算的应用，其中解答中建立平面直角坐标系，结合向量的线性运算和数量积的运算，得到的函数关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
16、-1
【解析】
先将函数转化成同名三角函数，再结合二次函数性质进行求解即可
【详解】

令，，对称轴为；
当时，时函数值最大，，解得；
当时，对称轴为，函数在时取到最大值，与题设矛盾；
当时，时函数值最大，，解得；
故的数值为：-1
故答案为：-1
本题考查换元法在三角函数中的应用，分类讨论求解函数最值，属于中档题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），（2）见解析
【解析】
（1）依次令,,解出即可。
（2）由知
当时，
两式相减，化简即可得证。
【详解】
解（1）∵，
∴当时，；
当时，，∴；
当时，，∴.
（2）证明：∵，①
∴当时，，②
①-②得，
∴，即.
∴．∵.
∴，∴.
即是以4为首项，2为公比的等比数列．
本题考查公式的应用，属于基础题。
18、（1）；（2）22.
【解析】
利用向量的三角形法则即可求得答案
由，，可得，利用向量的数量积的坐标表示的表达式，利用三角函数知识可求最值
【详解】
(1)=-.
(2)∵∠BAC=60°,设∠BAP=θ,
∴∠CAP=60°+θ,
∵AB=8,AC=3,AP=2,
∴=()·(-)=8-6cos(θ+60°)+16cos θ=3sin θ+13cos θ+8=14sin(θ+φ)+8,
.
∴当sin(θ+φ)=1时,的最大值为22.
本题主要考查了三角函数与平面向量的综合，而辅助角公式是解决三角函数的最值的常用方法，体现了转化的思想在解题中的应用．
19、（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）根据向量的垂直，转化出方程组，求解方程组即可；
（2）将向量赋予坐标，求得向量对应点的轨迹方程，将问题转化为圆外一点，到圆上一点的距离的最值问题，即可求解；
（3）根据余弦定理，解得，以及的临界状态时，对应的圆心角的大小，利用几何概型的概率计算公式，即可求解.
【详解】
（1）因为
故可得，
解得 ①
②
由①-②可得
，解得，
将其代入①可得，即
将其代入②可得
解得，又向量夹角的范围为，
故向量与的夹角为.
（2）不妨设，
由
可得.
不妨设的起始点为坐标原点，终点为C.
因此，点C落在以)为圆心，1为半径的圆上（如图）.

因为，即
由圆的特点可知的最小值为，
即：.
（3）当时，因为，，满足勾股定理，
故容易得.
当时，假设此时点落在如图所示的F点处.如图所示.
因为，由余弦定理容易得
，故.

所以，本题化为，在半圆上任取一点C，点C落在弧CF上的概率.
由几何概型的概率计算可知：
的概率即为圆心角的弧度除以，
即.
本题考查向量垂直时数量积的表示，以及利用解析的手段解决向量问题的能力，还有几何概型的概率计算，涉及圆方程的求解，以及余弦定理.本题属于综合题，值得总结.
20、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用边角互化思想得，由结合两角和的正弦公式可求出的值，于此得出角的大小；
（2）由余弦定理可计算出，再利用三角形的面积公式可得出的面积．
【详解】
（1）∵是的内角，
∴且，
又由正弦定理：得：
，化简得：，
又∵，∴；
（2）∵，，
∴由余弦定理和（1）得 ，
即，可得：，
又∵，故所求的面积为.
本题考查正弦定理边角互化的思想，考查余弦定理以及三角形的面积公式，本题巧妙的地方在于将配凑为，避免利用方程思想求出边的值，考查计算能力，属于中等题．
21、 (1) ； (2) 销量为件.
【解析】
（1）利用最小二乘法的公式求得与的值，即可求出线性回归方程；
（2）的含义是单价每增加1元，该产品的销量将减少7件；在（1）中求得的回归方程中，取求得值，即可得到单价为12元时的销量．
【详解】
（1）由题意得：，
，
，，
关于回归直线方程为；
（2）的含义是单价每增加元，该产品的销量将减少件；
当时，，
即当单价为元时预测其销量为件.
本题主要考查线性回归方程的求法—最小二乘法，以及利用线性回归方程进行预测估计。