教科版必修二 第三章万有引力定律同步测试题2025届数学高一下期末复习检测模拟试题含解析.doc

教科版必修二　第三章万有引力定律同步测试题2025届数学高一下期末复习检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
2．中，，则（ ）
A． B． C．或 D．0
3．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:

将三角形数1，3， 6，10记为数列，将可被5整除的三角形数，按从小到大的顺序组成一个新数列，可以推测:（ ）
A．1225 B．1275 C．2017 D．2018
4．若数列{an}前8项的值各异，且an+8=an对任意n∈N*都成立，则下列数列中可取遍{an}前8项值的数列为 （ ）
A．{a2k+1} B．{a3k+1} C．{a4k+1} D．{a6k+1}
5．函数的值域为
A．[1, ] B．[1,2] C．[ ,2] D．[
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则在方向上的投影为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知点G为的重心，若，，则=( )
A． B． C． D．
8．某兴趣小组合作制作了一个手工制品，并将其绘制成如图所示的三视图，其中侧视图中的圆的半径为3，则制作该手工制品表面积为（ ）

A． B． C． D．
9．《趣味数学·屠夫列传》中有如下问题：“戴氏善屠，日益功倍。初日屠五两，今三十日屠讫，问共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？” （ ）
A． B． C． D．
10．已知，若，则的值是（ ）.
A．-1 B．1 C．2 D．-2
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30），…，[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示.从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取12人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为______.

12．已知锐角的外接圆的半径为1，，则的面积的取值范围为_____．
13．在正方体的体对角线与棱所在直线的位置关系是______.
14．如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，则的长等于______．

15．在三棱锥中，，，，作交于，则与平面所成角的正弦值是________.
16．已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥；③l⊥．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，，．

求证：⑴平面；
⑵．
18．某校为了了解甲、乙两班的数学学习情况，从两班各抽出10名学生进行数学水平测试，成绩如下(单位：分)：
甲班：82　84　85　89　79　80　91　89　79　74
乙班：90　76　86　81　84　87　86　82　85　83
(1)求两个样本的平均数；
(2)求两个样本的方差和标准差；
(3)试分析比较两个班的学习情况．
19．已知数列满足若数列满足：
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：是等差数列.
20．已知动点P与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离的比值为2，点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的轨迹方程
（2）过点（﹣1，0）作直线与曲线C交于A，B两点，设点M坐标为（4，0），求△ABM面积的最大值．
21．如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A−PB−C的余弦值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
根据对数运算可求得且，，利用基本不等式可求得最小值.
【详解】
由得：且，
（当且仅当时取等号）
本题正确选项：
本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够利用对数运算得到积的定值，属于基础题.
2、D
【解析】
根据正弦定理把角化为边，可得，然后根据余弦定理，可得，最后使用余弦定理，可得结果.
【详解】
由，所以，即
由，又
所以，则
故，又
故选：D
本题考查正弦定理、余弦定理的应用，属基础题.
3、A
【解析】
通过寻找规律以及数列求和，可得，然后计算，可得结果.
【详解】
根据题意可知：
则
由

…
可得
所以
故选：A
本题考查不完全归纳法的应用，本题难点在于找到，属难题，
4、B
【解析】
数列是周期为8的数列；，
；
故选B
5、D
【解析】
因为函数，平方求出的取值范围，再根据函数的性质求出的值域.
【详解】
函数定义域为： ，
因为，
又，
所以的值域为.
故选D.
本题考查函数的值域，此题也可用三角换元求解.求函数值域常用方法：单调性法，换元法，判别式法，反函数法，几何法，平方法等.
6、A
【解析】
根据正弦定理，将已知条件进行转化化简，结合两角和差的正弦公式可求，根据在方向上的投影为，代入数值，即可求解．
【详解】
因为，所以 ，
即， 即，
因为，所以，所以 ，
所以在方向上的投影为：．
故选：A．
本题主要考查正弦定理和平面向量投影的应用，根据正弦定理结合两角和差的正弦公式是解决本题的关键，属于中档题．
7、B
【解析】
由重心分中线为，可得，又（其中是中点），再由向量的加减法运算可得．
【详解】
设是中点，则，又为的重心，∴．
故选B．
本题考查向量的线性运算，解题关键是掌握三角形重心的性质，即重心分中线为两段．
8、D
【解析】
由三视图可知，得到该几何体是由两个圆锥组成的组合体，根据几何体的表面积公式，即可求解.
【详解】
由三视图可知，该几何体是由两个圆锥组成的组合体，其中圆锥的底面半径为3，高为4，
所以几何体的表面为.
选D.

本题考查了几何体的三视图及表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.
9、D
【解析】
根据题意，得到该屠户每天屠的肉成等比数列，记首项为，公比为，前项和为，由题中熟记，以及等比数列的求和公式，即可得出结果.
【详解】
由题意，该屠户每天屠的肉成等比数列，记首项为，公比为，前项和为，
所以，，
因此.
故选：D
本题主要考查等比数列的应用，熟记等比数列的求和公式即可，属于基础题型.
10、C
【解析】
先求出的坐标，再利用向量平行的坐标表示求出c的值.
【详解】
由题得，
因为，
所以2(c-2)-2×0=0，
所以c=2.
故选C
本题主要考查向量的坐标计算和向量共线的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、3
【解析】
根据频率分布直方图，求得不小于40岁的人的频率及人数，再利用分层抽样的方法，即可求解，得到答案．
【详解】
根据频率分布直方图，得样本中不小于40岁的人的频率是0.015×10+0.005×10=0.2，
所以不小于40岁的人的频数是100×0.2=20；
从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取12人，
在[50，60）年龄段抽取的人数为．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质，以及频率分布直方图中概率的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
12、
【解析】
由已知利用正弦定理可以得到b＝2sinB，c＝2sin（﹣B），利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S△ABC═sin（2B﹣）+，由锐角三角形求B的范围，进而利用正弦函数的图象和性质即可得解．
【详解】
解：∵锐角△ABC的外接圆的半径为1，A＝，
∴由正弦定理可得：，可得：b＝2sinB，c＝2sin（﹣B），
∴S△ABC＝bcsinA
＝×2sinB×2sin（﹣B）×
＝sinB（cosB+sinB）
＝sin（2B﹣）+，
∵B，C为锐角，可得：＜B＜，＜2B﹣＜，可得：sin（2B﹣）∈（，1]，
∴S△ABC＝sin（2B﹣）+∈（1，]．
故答案为：（1，]．
本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
13、异面直线
【解析】
根据异面直线的定义，作出图形，即可求解，得到答案.
【详解】
如图所示，与不在同一平面内，也不相交，所以体对角线与棱是异面直线.

本题主要考查了异面直线的概念及其判定，其中熟记异面直线的定义是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
14、1
【解析】
由已知中二面角α﹣l﹣β等于110°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，由，结合向量数量积的运算，即可求出CD的长．
【详解】
∵A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，
又∵二面角α﹣l﹣β的平面角θ等于110°，且AB＝AC＝BD＝1，
∴，60°，
∴

故答案为1．
本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，其中利用，结合向量数量积的运算，是解答本题的关键．
15、
【解析】
取中点,中点,易得面,再求出到平面的距离,进而求解再得出到平面的距离.从而算得与平面所成角的正弦值即可.
【详解】
如图,取中点,中点,连接.
因为,,所以.
因为,,所以.
在中,余弦定理可得.
在中,余弦定理可得,故.
在中,,且面.
故到面的距离.到面的距离.
又因为,所以,
所以,所以,故到面的距离.
故与平面所成角的正弦值是

故答案为：
本题主要考查了空间中线面垂直的性质与运用,同时也考查了余弦定理在三角形中求线段与角度正余弦值的方法,需要根据题意找到点到面的距离求解,再求出线面的夹角.属于难题.
16、如果l⊥α，m∥α，则l⊥m或如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.
【解析】
将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.
【详解】
将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：
（1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m. 正确；
（2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.正确；
（3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α.不正确，有可能l与α斜交、l∥α.
本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)见证明；(2)见证明
【解析】
（1）由中位线定理即可说明，由此证明平面；
（2）首先证明平面，由线面垂直的性质即可证明
【详解】
证明：⑴因为在中，点，分别是，的中点
所以
又因平面,平面
从而平面
⑵因为点是的中点，且
所以
又因,平面,平面
,故平面
因为平面
所以
本题考查线面平行、线面垂直的判定以及线面垂直的性质，属于基础题．
18、（1），；（2），，；（3）乙班的总体学习情况比甲班好
【解析】
试题分析：每组样本数据有10个，求样本的平均数利用平均数公式，10个数的平均数等于这10个数的和除以10；比较平均分的大小可以看出两个班学生平均水平的高低，求样本的方差只需使用方差公式，求这10个数与平均数的差的平方方和再除以10；比较两组数据方差的大小就可得出两组数据的标准差的大小，标准差较小者成绩较稳定 。
试题解析：
(1)＝×(82＋1＋85＋89＋79＋80＋91＋89＋79＋74)＝83. 2，
＝×(90＋76＋86＋81＋1＋87＋86＋82＋85＋83)＝1．
(2)＝×[(82－83. 2)2＋(1－83. 2)2＋(85－83. 2)2＋(89－83. 2)2＋(79－83. 2)2＋(80－83. 2)2＋(91－83. 2)2＋(89－83. 2)2＋(79－83. 2)2＋(74－83. 2)2]＝26. 36，
＝ [(90－1)2＋(76－1)2＋(86－1)2＋(81－1)2＋(1－1)2＋(87－1)2＋(86－1)2＋(82－1)2＋(85－1)2＋(83－1)2]＝13. 2，
则s甲＝≈5. 13，s乙＝≈3. 2．
(3)由于，则甲班比乙班平均水平低．由于，则甲班没有乙班稳定．
所以乙班的总体学习情况比甲班好
【点睛】怎样求样本的平均数，n个数的平均数等于这n个数的和除以n；比较平均数的大小可以看出两个样本平均水平的高低，怎样求样本的方差，就是求这n个数与平均数的差的平方方和再除以n；比较两组数据方差的大小就可得出两组数据的标准差的大小，标准差较小者成绩较稳定 。
19、 (1) (1)证明见解析
【解析】
数列满足，变形为，利用等比数列的通项公式即可得出数列满足：，时，，可得，化为：，可得：，相减化简即可证明．
【详解】
（1）数列满足，
，
数列是等比数列，首项为1，公比为1．
，
．
证明：数列满足：，
时，，解得．
时，，
可得，
化为：，
可得：，
相减可得：，
化为：，
是等差数列．
本题主要考查了等差数列与等比数列的定义通项公式、指数运算性质、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20、（1）；（2）2
【解析】
（1）设点，运用两点的距离公式，化简整理可得所求轨迹方程；
（2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线方程为，求得到直线的距离，以及弦长公式，和三角形的面积公式，运用换元法和二次函数的最值可得所求．
【详解】
（1）设点，,即，
，即，
曲线的方程为．
（2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线方程为，
由（1）可知，点是圆的圆心，
点到直线的距离为，由得，即，
又，
所以，
令，所以，，
则，
所以，
当，即，此时，符合题意，
即时取等号，所以面积的最大值为.
本题主要考查了轨迹方程的求法，直线和圆的位置关系，以及弦长公式和点到直线的距离公式的运用，考查推理与运算能力，试题综合性强，属于中档题．
21、（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD．
由于AB//CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD．
又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．
（2）在平面内作，垂足为，
由（1）可知，平面，故，可得平面.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.

由（1）及已知可得，，，.
所以，，，.
设是平面的法向量，则
即
可取.
设是平面的法向量，则
即可取.
则，
所以二面角的余弦值为.
高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：
①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；
②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；
③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.