倍长中线与截长补短.提高班.教师版.doc

2
倍长中线
与截长补短

满分晋级

三角形9级
全等三角形的经典模型（二）
三角形8级
全等三角形的经典模型（一）

三角形7级
倍长中线与截长补短

秋季班第四讲
秋季班第三讲
秋季班第二讲

漫画释义
倍长中线与截长补短

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题型一：倍长中线

思路导航

定 义
示例剖析

倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．
其目的是构造一对对顶的全等三角形；
其本质是转移边和角．

其中，延长使得，则．
例题精讲

【例1】 已知中，平分，且，求证：．
【解析】 延长到，使，连接．
则，
∴，，
∵平分，∴，
∴，∴，
∴．

【教师备选】教师可借用例1对等腰三角形三线合一性质的逆命题进行简单归纳：
已知角平分线+中线证等腰三角形，如例1；
已知角平分线+高证等腰三角形，如拓展1；
已知中线+高证等腰三角形，如拓展2．

【拓展1】已知△ABC中，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，求证：AB=AC．
【解析】∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD
∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°
∴△ABD ≌△ACD (SAS)
∴AB=AC．
【拓展2】已知△ABC中，AD⊥BC，且，求证：AB=AC．
【解析】∵AD⊥BC，且
∴AD所在直线是线段BC的垂直平分线
根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等
故AB=AC．
典题精练

【例2】 ⑴如图，已知中，，是边上的中线，延长到，使．给出下列结论：①AD=2AC；②CD=2CE；③∠ACE=∠BCD；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是 ．
【解析】 ①正确．∵，，∴AD=2AC．
②、④正确．
延长到，使，连接．
∵是的中线，∴．
在和中

∴
∴，
∴
在和中

∴
∴，∠FCB=∠DCB
即CD=2CE，CB平分∠DCE．
③错误．∵∠FCB=∠DCB，而CE是AB边上中线而不是∠ACB的角平分线故∠ACE和∠BCD不一定相等．
⑵如图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，给出下列结论：①BD=DE=EC；②AB+AE＞2AD；③AD+AC＞2AE；④AB+AC＞AD+AE，则以上结论正确的是 ．

【解析】 点D、E为边BC的三等分点，∴BD=DE=CE延长AD至点M，AE至点N，使得DM=AD，EN=AE，连接EM、CN，则可证明△ABD≌△MED，进而可得AB+AE＞2AD，再证明△ADE≌△NCE，进而可得AD+AC＞2AE，将两式相加可得到AB+AE+AD+AC＞2AD+2AE，即AB+AC＞AD+AE．
∴①②③④均正确．

【例3】 如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，，求证：．

【解析】 延长到，使，连接
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴，
∴，∴．

【例4】 在正方形ABCD中，PQ⊥BD于P，M为QD的中点，试探究MP与MC的关系．

【解析】 延长PM至点N，使PM=MN，连结CP、CN、DN．
易证△PMQ≌△NMD，
∴PB=PQ=DN，∠PQD=∠NDM
∴PQ∥DN，又∵∠BPQ=∠BDN= 90°
∴∠PBQ=∠BDC=∠NDC=45°
再证△BPC ≌△DNC (SAS)
易证△PCN为等腰直角三角形，
又∵PM=MN，∴PM⊥MC,且PM=CM．

题型二：截长补短

思路导航

定 义
示例剖析

截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段

在线段上截取

补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等

延长，使得
例题精讲

【例5】 在中，的平分线交于，，，求的大小．
（希望杯培训题）

【解析】 在上截取，连接．
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，∴
∴，
典题精练

【例6】 如图，在中，，的平分线交于点．
求证：．
【解析】方法一：（截长）在上截取，连接．
在和中
，，
∴
∴，
又∵
∴，∴
∴．

方法二：（补短）延长到点使得，连接．
在和中，，，
∴，∴
又∵
∴∴，
∴．

方法三：（补短）延长到点使得，连接
则有，
又∵，
∴
∴

∴，
∴
∴AB+BD=AC
若题目条件或求证结论中含有“”的条件，需要添加辅助线时多考虑“截长补短”.
建议教师此题把3种解法都讲一下，方便学生更加深刻理解这种辅助线添加方法.

【例7】 已知：在中，，，求证：．

【解析】 方法一：在上取一点，使，如图1，
在和中，，，．
∴．
∴，．
又∵
∴，
∴
∴．

方法二：延长到点，使，如图2，
∴．
∵，∴．
在和中，，，．
∴．
∴．
∵
∴．

【探究对象】
截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系，常见做辅助线方法有：
截长法：
⑴过某一点作长边的垂线；
⑵在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
补短法：
⑴延长短边。
⑵通过旋转等方式使两短边拼合到一起，证与长边相等。

【变式一】正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAF=45°，求证：EF=DE+BF．

【解析】 延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG
由四边形ABCD是正方形得：ADG=ABF=90°，AD=AB
又∵DG=BF
∴△ADG ≌△ABF（SAS）
∴GAD=FAB，∴AG=AF
由四边形ABCD是正方形得
DAB=90°=DAF+FAB=DAF+GAD=GAF
∴GAE=GAFEAF=90°45°=45°
∴GAE=FAE=45°
又∵AG=AF，AE=AE
∴△EAG ≌△EAF（SAS）
∴EF=GE=GD+DE=BF+DE

【变式二】正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，EAF=45°，
请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？

【解析】 数量关系为：EF=BFDE．理由如下：
在BC上截取BG，使得BG=DF，连接AG
由四边形ABCD是正方形得
ADE=ABG=90°，AD=AB
又DE=BG
∴△ADE ≌△ABG（SAS）
∴EAD=GAB，AE=AG
由四边形ABCD是正方形得
DAB=90°=DAG+GAB=DAG+EAD=GAE
∴GAF=GAEEAF=90°45°=45°
∴GAF=EAF=45°
又∵AG=AE，AF=AF
∴△EAF ≌△GAF（SAS）
∴EF=GF=BFBG=BFDE

【变式三】正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，EAF=45°，请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？

【解析】 数量关系为：EF=DEBF.理由如下：
在DC上截取DG，使得DG=BF，连接AG
由四边形ABCD是正方形得
ADG=ABF=90°，AD=AB
又∵DG=BF
∴△ADG ≌△ABF（SAS）
∴GAD=FAB，AG=AF
由四边形ABCD是正方形得
DAB=90°=DAG+GAB=BAF+GAB=GAF
∴GAE=GAFEAF=90°45°=45°
∴GAE=FAE=45°
又∵AG=AF，AE=AE
∴△EAG ≌△EAF（SAS）
∴EF=EG=EDGD=DEBF

【变式四】正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上EDF=60°，DB=DC，BDC=120°，请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系？

【解析】 数量关系为：EF=BE+FC，理由如下
延长AC到点G，使得CG=BE，连接DG
由△ABC是正三角形得：ABC=ACB=60°
又∵DB=DC，BDC=120°，∴DBC=DCB=30°
∴DBE=ABC+DBC=60°+30°=90°，ACD=ACB+DCB=60°+30°=90°
∴GCD=180°ACD=90°
∴DBE=DCG=90°
又∵DB=DC，BE=CG，∴△DBE ≌△DCG（SAS）
∴EDB=GDC， DE=DG
又∵DBC=120°=EDB+EDC=GDC+EDC=EDG
∴GDF=EDGEDF=12060°=60°
∴GDF=EDF=60°
又∵DG=DE，DF=DF
∴△GDF ≌△EDF（SAS）
∴EF=GF=CG+FC=BE+FC

【变式五】正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAD=15°，FAB=30°，AD=，求△AEF的面积．

【解析】 延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG，过E作EHAG
前面如变式一所证，
△ADG ≌△ABF，△EAG ≌△EAF
GAD=FAB=30°，S△EAG=S△EAF
在Rt△ADG中，GAD=30°，AD=
∴AGD=60°，AG=2
设EH=x
在Rt△EGH中和Rt△EHA中
∵AGD=60°，HAE=45°
∴HG=，AH=x
AG=2=HG+AH=，
∴EH=x=3
S△EAG=S△EAF =EHAG=．

【例8】 已知：正方形中，∠MAN=45°，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．
⑴如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，有BM+DN=MN．当∠MAN绕点A旋转到时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；
⑵当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明． （2012密云一模）

【解析】 ⑴图1中的结论仍然成立，即 ．
证明：如图2，在MB的延长线上截取BE=DN，连结AE ．
易证 （SAS）．
∴AE=AN；∠EAB=∠NAD．

∴
∴
∴．又AM为公共边，
∴． ∴ME=MN．
∴
即 ．
⑵猜想：线段BM、DN和MN之间的等量关系为： ．
证明：如图3，在DN延长线上截取DE=MB，连结A E ．
易证 （SAS）．
∴AM=AE；∠MAB=∠EAD．
易证 （SAS）．
∴ ．∵，
∴．

思维拓展训练(选讲)

训练1. 已知为的中线，、的平分线分别交于、交于．求证：．

【解析】 延长到，使，连接、．
易证，∴，
又∵、的平分线分别交于、交于，
∴，
利用证明，∴，
在中，，∴．

训练2. 如图，在正方形中，是的中点，是边上的一点，且平分，求证：
【解析】 解一：（截长)作于点
分别证明，
∴
∴
解二：（补短）延长交于点
先证明，∴，，
∵，∴
∴，∴．

训练3. 如图，中，，，平分交于点．求证：．

【解析】 方法一：在上截取点使，连结．

∵平分，∴．
在与中
∵，，
∴，∴
∵， ∴∴．
又∵
∴，∴，∴
∵，∴
方法二：如图，延长到，使，连结．
∵，且，
∴．
∵，∴．
∴．∴．
∵，
∴．又∵
∴．∴．∴．

训练4. 五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，
求证：AD平分∠CDE．

【解析】 延长DE至F，使得EF=BC，连接AC、AF.
∵∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°
∴∠ABC=∠AEF
∵AB=AE，BC=EF，∴ABC≌AEF
∴EF=BC，AC=AF
∵BC+DE=CD，∴CD=DE+EF=DF
∴ADC≌ADF，∴∠ADC=∠ADF
即AD平分∠CDE.

复习巩固

题型一 倍长中线 课后演练

【演练1】 在中，，则边上的中线的长的取值范围是什么？
【解析】中线倍长，

【演练2】 在中，是斜边的中点，、分别在边、上，满足．若，，则线段的长度为_________．

【解析】如图，延长至点，使得，联结、．
由，有
∴，，∴
∴，∴,∴．
又，，∴．

题型二 截长补短 课后演练

【演练3】 如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外)，作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系?(提示：过点作交于点)

【解析】 猜测.过点作交于点，，∴
又∵，
∴，而，
∴，∴．

【演练4】 如图所示，已知中，，，平分，求证：．
【解析】 解法一：如图，过作于．
，，
，
．
又，，
为等腰直角三角形．有，故
．
．
解法二：如图，延长到，使．
，．
又，，公共，
，有．
故．

【演练5】 已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE.

【解析】 延长CB至M，使得BM=DF，连接AM.
∵AB=AD，AD⊥CD，AB⊥BM，BM=DF
∴
∴∠AFD=∠AMB，∠DAF=∠BAM
∵
∴∠AFD=∠BAF=∠EAF+∠BAE
=∠BAE+∠BAM=∠EAM
∴∠AMB=∠EAM
∴AE=EM=BE+BM=BE+DF.
课后测

测试1. 如图所示，已知中，平分，、分别在、上．，．求证：∥．
【解析】 延长到，使，连结，
利用证明，
∴，，
又，∴，
∴，∴，
∵平分，∴，
∴，∴∥．

测试2. 已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．

【解析】 ，
理由是：在上截取，连结，
利用证得≌，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵，，∴，
利用证得≌，∴，∴．
巧问巧答
从前，有个有智慧的国王在大臣们的陪同下，来到御花园散步。国王瞧着前面的水池，忽然心血来潮，灵机一动，出了一个题目考问身边的大臣：“这水池里共有多少桶水？”
      众臣一听，面面相觑，全答不上来。
      国王发旨：“给你们三天考虑，谁回答上来就重赏！”
      大臣们用桶量来量去，怎么也量不出一个确切数据。
      很快三天到了，大臣们仍一筹莫展。就在此时，一个少年走向宫殿，向国王声称自己知道池塘有多少桶水。
      国王命令那些战战兢兢的大臣带少年去看池塘。少年轻松地笑道：“不用看了，这个问题太容易了！”
      国王乐了：“哦，那你就说说吧。”
      少年眨了眨眼说：“这个问题关键取决于桶的大小，如果和水池一样大，那池里就是一桶水；如果桶只有水池的一半大，那池里就有两桶水；如果桶只有水池的三分之一大，那池里就有三桶水；如果……”
      “好，完全正确！”国王重赏了这个少年。
知识本身不会使一个人具有创造力。……创造力的真正关键在于如何活用知识。活用知识和经验来寻找新点子、新创意，就是培养创造性思考所需的态度。

今天我学到了

第十五种品格：创新

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初二秋季·第2讲·提高班·教师版