量子力学3.3一维谐振子.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,3.3 一维谐振子,1,2025/7/23 周三,在经典力学中，当质量为 的粒子，受弹性力 作用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：,其解为,。,这种运动称为简谐振动，作这种运动的粒子称为（线性）谐振子。,经典允许的振动范围,1.经典谐振子,谐振子哈密顿量：,引言,谐振子能量：,2,2025/7/23 周三,量子力学中的线性谐振子是指在势场 中运动的质量为 的粒子,2.量子谐振子,例如双原子分子，两原子间的势 是二者相对距离 的函数，如图所示。,自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。,3,2025/7/23 周三,在 处，有一极小值 。在 附近，势可以展开成泰勒级数：,a,x,V(x),0,V,0,记,若取,，,即平衡位置处于势 点；并记,，x=x-a则,4,2025/7/23 周三,一维谐振子的本征值问题是处理量子力学,问题的最基本的范例。,5,2025/7/23 周三,一、势函数,选线性谐振子的平衡位置为坐标原点,以坐标原点为零势能点,则一维线性谐振子的势能为：,m,是粒子的质量,k,是谐振子的劲度系数,是谐振子的角频率,6,2025/7/23 周三,二、薛定谔方程及解,7,2025/7/23 周三,上述方程可化为,这是个变系数常微分方程。,对方程,其解显然可以写为,因为,8,2025/7/23 周三,（2）,求实际解,9,2025/7/23 周三,10,2025/7/23 周三,n,=0,1,2,此时,11,2025/7/23 周三,是一个实函数。,12,2025/7/23 周三,所以归一化波函数为,13,2025/7/23 周三,14,2025/7/23 周三,15,2025/7/23 周三,线性谐振子波函数,线性谐振子位置概率密度,16,2025/7/23 周三,17,2025/7/23 周三,线性谐振子,n,=11,时的概率密度分布,虚线代表经典结果：,经典谐振子在原点速度最大，停留时间短,粒子出现的概率小；,在两端速度为零，出现的概率最大。,18,2025/7/23 周三,符合玻尔对应原理,量子概率分布过渡到经典概率分布,19,2025/7/23 周三,量子：,在其它范围也能找到粒子。,以基态为例，在,x,=0,处概率最大,3、经典禁区,20,2025/7/23 周三,见右图。,当振子处于最大位移处时，势能=总能量,21,2025/7/23 周三,如下图所示：,22,2025/7/23 周三,23,2025/7/23 周三,24,2025/7/23 周三,