17-18版第7章热点探究训练.doc

热点探究训练(四)
A组　基础过关
1．(2017·苏州期中)设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，且a1，a2＋5，a3成等差数列．
(1)求a1，a2的值；
(2)求证：数列{an＋2n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式．
[解]　(1)由已知，得2a1＝a2－3　①，
2(a1＋a2)＝a3－7　②，
又因为a1，a2＋5，a3成等差数列，
所以a1＋a3＝2a2＋10　③，
解①②③，得a1＝1，a2＝54分
(2)由已知，n∈N＋时，2(Sn＋1－Sn)＝an＋2－an＋1－2n＋2＋2n＋1，
即an＋2＝3an＋1＋2n＋1，
即an＋1＝3an＋2n(n≥2)，8分
由(1)得，a2＝3a1＋2，∴an＋1＝3an＋2n(n∈N＋)．
从而有an＋1＋2n＋1＝3an＋2n＋2n＋1＝3an＋3×2n＝3(an＋2n)．
又a1＋2>0，∴an＋2n>0，∴＝3.
∴数列{an＋2n}是等比数列，且公比为3.
∴an＋2n＝(a1＋2)×3n－1＝3n，即an＝3n－2n.14分
2．(2017·泰州中学高三模底考试)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝t(Sn－an＋1)(t为常数，且t≠0，t≠1)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝a＋Sn·an，若数列{bn}为等比数列，求t的值；
(3)在满足条件(2)的情形下，设cn＝4an＋1，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式≥2n－7对任意的n∈N＋恒成立，求实数k的取值范围.
【导学号：62172212】
[解]　(1)当n＝1时，S1＝t(S1－a1＋1)，得a1＝t.
当n≥2时，由Sn＝t(Sn－an＋1)，即
(1－t)Sn＝－tan＋t，①
得(1－t)Sn－1＝－tan－1＋t，②
①－②，得(1－t)an＝－tan＋tan－1，即an＝tan－1，
∴＝t(n≥2)，
∴{an}是等比数列，且公比是t，∴an＝tn.4分
(2)由(1)知，bn＝(tn)2＋·tn，即bn＝，
若数列{bn}为等比数列，则有b＝b1·b3，
而b1＝2t2，b2＝t3(2t＋1)，b3＝t4(2t2＋t＋1)，
故2＝(2t2)·t4(2t2＋t＋1)，解得t＝，
再将t＝代入bn，得bn＝，
由＝，知{bn}为等比数列，∴t＝.8分
(3)由t＝，知an＝n，∴cn＝4n＋1，
∴Tn＝4×＋n＝4＋n－，
由不等式≥2n－7恒成立，得3k≥恒成立，
设dn＝，由dn＋1－dn
＝－＝，
∴当n≤4时，dn＋1>dn，当n≥4时，dn＋1<dn，
而d4＝，d5＝，∴d4<d5，
∴3k≥，∴k≥.14分
B组　能力提升
1．(2017·南通调研一)若数列{an}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{an}为“等比源数列”．
(1)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－1.
①求数列{an}的通项公式；
②试判断数列{an}是否为“等比源数列”，并证明你的结论．
(2)已知数列{an}为等差数列，且a1≠0，an∈Z(n∈N＋)．求证：{an}为“等比源数列”. 【导学号：62172213】
[解]　(1)①由an＋1＝2an－1，得an＋1－1＝2(an－1)，且a1－1＝1，
所以数列{an－1}是首项为1，公比为2的等比数列．
所以an－1＝2n－1.
所以，数列{an}的通项公式为an＝2n－1＋1.4分
②数列{an}不是“等比源数列”．用反证法证明如下：
假设数列{an}是“等比源数列”，则存在三项am，an，ak(m<n<k)按一定次序排列构成等比数列．
因为an＝2n－1＋1，所以am<an<ak.
所以a＝am·ak，得(2n－1＋1)2＝(2m－1＋1)(2k－1＋1)，即22n－m－1＋2n－m＋1－2k－1－2k－m＝1.
又m<n<k，m，n，k∈N＋，
所以2n－m－1≥1，n－m＋1≥1，k－1≥1，k－m≥1.
所以22n－m－1＋2n－m＋1－2k－1－2k－m为偶数，与22n－m－1＋2n－m＋1－2k－1－2k－m＝1矛盾．
所以，数列{an}中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列．
综上可得，数列{an}不是“等比源数列”.10分
(2)不妨设等差数列{an}的公差d≥0.
当d＝0时，等差数列{an}为非零常数数列，数列{an}为“等比源数列”．
当d>0时，因为an∈Z，则d≥1，且d∈Z，所以数列{an}中必有一项an>0.
为了使得{an}为“等比源数列”，
只需要{an}中存在第n项，第k项(m<n<k)，使得a＝amak成立，
即[am＋(n－m)d]2＝am[am＋(k－m)d]，即(n－m)[2am＋(n－m)d]＝am(k－m)成立．
当n＝am＋m，k＝2am＋amd＋m时，上式成立．所以{an}中存在am，an，ak成等比数列．
所以，数列{an}为“等比源数列”.16分
2．(2017·南京模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且2a5－a3＝13，S4＝16.
(1)求数列{an}的前n项和Sn；
(2)设Tn＝(－1)iai，若对一切正整数n，不等式λTn<[an＋1＋(－1)n＋1an]·2n－1恒成立，求实数λ的取值范围；
(3)是否存在正整数m，n(n>m>2)，使得S2，Sm－S2，Sn－Sm成等比数列？若存在，求出所有的m，n；若不存在，说明理由．
[解]　(1)设数列{an}的公差为d.
因为2a5－a3＝13，S4＝16，
所以解得a1＝1，d＝2，
所以an＝2n－1，Sn＝n2.4分
(2)①当n为偶数时，设n＝2k，k∈N＋，
则T2k＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2k－a2k－1)＝2k.
代入不等式λTn<[an＋1＋(－1)n＋1an]·2n－1，得λ·2k<4k，从而λ<.
设f(k)＝，则f(k＋1)－f(k)＝－＝.
因为k∈N＋，所以f(k＋1)－f(k)>0，所以f(k)是递增的，所以f(k)min＝2，
所以λ<2.7分
②当n为奇数时，设n＝2k－1，k∈N＋，
则T2k－1＝T2k－(－1)2ka2k＝2k－(4k－1)＝1－2k.
代入不等式λTn<[an＋1＋(－1)n＋1an]·2n－1，得λ·(1－2k)<(2k－1)4k，
从而λ>－4k.
因为k∈N＋，所以－4k的最大值为－4，所以λ>－4.
综上，λ的取值范围为－4<λ<2.10分
(3)假设存在正整数m，n(n>m>2)，使得S2，Sm－S2，Sn－Sm成等比数列，
则(Sm－S2)2＝S2·(Sn－Sm)，即(m2－4)2＝4(n2－m2)，
所以4n2＝(m2－2)2＋12，即4n2－(m2－2)2＝12，
即(2n－m2＋2)(2n＋m2－2)＝12.
因为n>m>2，所以n≥4，m≥3，所以2n＋m2－2≥15.
因为2n－m2＋2是整数，所以等式(2n－m2＋2)(2n＋m2－2)＝12不成立，
故不存在正整数m，n(n>m>2)，使得S2，Sm－S2，Sn－Sm成等比数列.16分