资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，将边长为6的正六边形铁丝框ABCDEF（面积记为S1）变形为以点D为圆心，CD为半径的扇形（面积记为S2），则S1与S2的关系为（ ）
A．S1＝S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．S1＞S2
2．如图，一只箱子沿着斜面向上运动，箱高AB＝1.3cm，当BC＝2.6m时，点B离地面的距离BE＝1m，则此时点A离地面的距离是（ ）
A．2.2m B．2m C．1.8m D．1.6m
3．下列事件中，必然发生的是 （ ）
A．某射击运动射击一次，命中靶心 B．通常情况下，水加热到100℃时沸腾
C．掷一次骰子，向上的一面是6点 D．抛一枚硬币，落地后正面朝上
4．小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根是x=-1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（ ）
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是x=-1 D．有两个相等的实数根
5．如图：已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE∥OA，∠D＝50°，则∠C的度数是（ ）
A．25° B．40° C．30° D．50°
6．已知△ABC∽△A'B'C，AB＝8，A'B'＝6，则△ABC与△A'B'C的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( )
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
8．若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率是( )
A． B． C． D．
9．某次数学纠错比赛共有道题目，每道题都答对得分，答错或不答得分，全班名同学参加了此次竞赛，他们的得分情况如下表所示：
成绩（分）
人数
则全班名同学的成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．， B．， C．，70 D．，
10．一元二次方程x2﹣3x+5=0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根
11．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE＝AF，AC与EF相交于点G，下列结论：①AC垂直平分EF；②BE+DF＝EF；③当∠DAF＝15°时，△AEF为等边三角形；④当∠EAF＝60°时，S△ABE＝S△CEF，其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④
12．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D为圆周上一点，若的度数为50°，则∠ADC的度数为 （ ）
A．20° B．25° C．30° D．50°
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知和时，多项式的值相等，则m的值等于 ______ ．
14．如图，已知等边的边长为，，分别为，上的两个动点，且，连接，交于点，则的最小值_______．
15．直角三角形三角形两直角边长为3和4，三角形内一点到各边距离相等，那么这个距离为________．
16．如图，一张桌子上重叠摆放了若干枚一元硬币，从三个不同方向看它得到的平面图形如图所示，那么桌上共有_______枚硬币．
17．如图，直线a // b // c，点B是线段AC的中点，若DE=2，则DF的长度为_________．
18．小亮在投篮训练中，对多次投篮的数据进行记录．得到如下频数表：
投篮次数
20
40
60
80
120
160
200
投中次数
15
33
49
63
97
128
160
投中的频率
0.75
0.83
0.82
0.79
0.81
0.8
0.8
估计小亮投一次篮，投中的概率是______．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在中，，，点在的内部，经过，两点，交于点，连接并延长交于点，以，为邻边作．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若点是的中点，的半径为2，求的长．
20．（8分）计划开设以下课外活动项目：A 一版画、B 一机器人、C 一航模、D 一园艺种植．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查（每位学生 必须选且只能选一个项目），并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人；扇形统计图中，选“D一园艺种植”的学生人数所占圆心角的度数是 °；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）若该校学生总数为 1500 人，试估计该校学生中最喜欢“机器人”和最喜欢“航模”项目的总 人数
21．（8分）某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）如果商店销售这种商品，每天要获得1500元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？（3）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？
22．（10分）知识改变世界，科技改变生活，导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.周末，小强一家到两处景区游玩，他们从家处出发，向正西行驶160到达处，测得处在处的北偏西15°方向上，出发时测得处在处的北偏西60°方向上
（1）填空： 度；
（2）求处到处的距离即的长度（结果保留根号）
23．（10分）如图，的直径，半径，为上一动点（不包括两点），，垂足分别为．
（1）求的长．
（2）若点为的中点，
①求劣弧的长度，
②者点为直径上一动点，直接写出的最小值．
24．（10分）在平面直角坐标系中有，为原点，，，将此三角形绕点顺时针旋转得到，抛物线过三点．
（1）求此抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）直线与抛物线交于两点，若，求的值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在一点使得为直角三角形．
25．（12分）已知△ABC和△A′B′C′的顶点坐标如下表：
（1）将下表补充完整，并在下面的坐标系中，画出△A′B′C′；
（ ， ）
（ ， ）
（2）观察△ABC与△A′B′C′，写出有关这两个三角形关系的一个正确结论．
26．如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）
（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．
（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：1.414，1.732）
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】由正六边形的长得到的长，根据扇形面积公式=×弧长×半径，可得结果．
【详解】由题意：的长度==24，
∴S2=×弧长×半径=×24×6=72，
∵正六边形ABCDEF的边长为6，
∴为等边三角形，∠ODE=60°，OD=DE=6，
过O作OG⊥DE于G，如图：
∴，
∴，
∴S1＞S2，
故选：D．
本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、扇形面积公式；熟练掌握正六边形的性质，求出弧长是解决问题的关键．
2、A
【分析】先根据勾股定理求出CE，再利用相似三角形的判定与性质进而求出DF、AF的长即可得出AD的长．
【详解】解：由题意可得：AD∥EB，则∠CFD＝∠AFB＝∠CBE，△CDF∽△CEB，
∵∠ABF＝∠CEB＝90°，∠AFB＝∠CBE，
∴△CBE∽△AFB，
∴＝＝，
∵BC＝2.6m，BE＝1m，
∴EC＝2.4（m），
即＝＝，
解得：FB＝，AF＝，
∵△CDF∽△CEB，
∴＝，
即
解得：DF＝，
故AD＝AF+DF＝+＝2.2（m），
答：此时点A离地面的距离为2.2m．
故选：A．
本题考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质，利用勾股定理，正确利用相似三角形的性质得出FD的长是解题的关键．
3、B
【解析】A、某射击运动射击一次，命中靶心，随机事件；B、通常加热到100℃时，水沸腾，是必然事件．C、掷一次骰子，向上的一面是6点，随机事件；D抛一枚硬币，落地后正面朝上，随机事件；故选B．
4、A
【分析】直接把已知数据代入进而得出c的值，再解方程求出答案．
【详解】解：∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根是x=-1，
∴（-1）2-4+c=0，
解得：c=3，
∵所抄的c比原方程的c值小2．
故原方程中c=5，
即方程为：x2+4x+5=0
则b2-4ac=16-4×1×5=-4＜0，
则原方程的根的情况是不存在实数根．
故选：A．
此题主要考查了方程解的定义和根的判别式，利用有根必代的原则正确得出c的值是解题关键．
5、A
【分析】根据DE∥OA证得∠AOD＝50°即可得到答案.
【详解】解：∵DE∥OA，∠D＝50°，
∴∠AOD＝∠D＝50°，
∴∠C＝∠AOD＝25°．
故选：A．
此题考查平行线的性质，同弧所对的圆周角与圆心角的关系，利用平行线证得∠AOD＝50°是解题的关键.
6、C
【分析】直接利用相似三角形的性质周长比等于相似比，进而得出答案．
【详解】解：∵△ABC∽△A'B'C，AB＝8，A'B'＝6，
∴△ABC与△A'B'C的周长之比为：8：6＝4：1．
故选：C．
本题主要考查了相似三角形的性质，正确得出相似比是解题关键．
7、D
【详解】解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3
∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，∴AB=1，
∴AP的长不能大于1．
∴
故选D．
8、C
【解析】试题解析：这五种图形中，平行四边形、菱形和正六边形是中心对称图形，
所以这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率=．
故选C．
考点：1.概率公式；2.中心对称图形．
9、A
【分析】根据中位数的定义把这组数据从小到大排列，求出最中间2个数的平均数；根据众数的定义找出出现次数最多的数即可．
【详解】把这组数据从小到大排列，最中间2个数的平均数是(70+80)÷2=75；
则中位数是75；
70出现了13次，出现的次数最多，则众数是70；
故选：A．
本题考查了众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数，注意众数不止一个．
10、A
【解析】Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×5=9-20=-11<0，所以原方程没有实数根，故选 A.
11、C
【解析】①通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，
②设BC=a，CE=y，由勾股定理就可以得出EF与x、y的关系，表示出BE与EF，即可判断BE+DF与EF关系不确定；
③当∠DAF=15°时，可计算出∠EAF=60°，即可判断△EAF为等边三角形，
④当∠EAF=60°时，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和S△ABE，再通过比较大小就可以得出结论．
【详解】①四边形ABCD是正方形，
∴AB═AD，∠B=∠D=90°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF
∵BC=CD，
∴BC-BE=CD-DF，即CE=CF，
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF．（故①正确）．
②设BC=a，CE=y，
∴BE+DF=2（a-y）
EF=y，
∴BE+DF与EF关系不确定，只有当y=（2−）a时成立，（故②错误）．
③当∠DAF=15°时，
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠DAF=∠BAE=15°，
∴∠EAF=90°-2×15°=60°，
又∵AE=AF
∴△AEF为等边三角形．（故③正确）．
④当∠EAF=60°时，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出：
(x+y)2+y2＝(x)2
∴x2=2y（x+y）
∵S△CEF=x2，S△ABE=y(x+y)，
∴S△ABE=S△CEF．（故④正确）．
综上所述，正确的有①③④，
故选C．
本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．
12、B
【分析】利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到∠BOC=50°，利用垂径定理得到，然后根据圆周角定理计算∠ADC的度数．
【详解】∵的度数为50°，
∴∠BOC=50°，
∵半径OC⊥AB，
∴，
∴∠ADC=∠BOC=25°．
故选B．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和圆周角定理．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、或1
【分析】根据和时，多项式的值相等，得出 ，解方程即可．
【详解】解：和时，多项式的值相等，
，
化简整理，得，
，
解得或1．
故答案为或1．
本题考查多项式以及代数式求值，正确理解题意是解题的关键．
14、
【分析】根据题意利用相似三角形判定≌，并求出OC的值即有的最小值从而求解.
【详解】解：如图
∵
∴≌
∴
∴点的路径是一段弧(以点为圆心的圆上)
∴
∴,
∵
∴
∴
所以的最小值
本题结合相似三角形相关性质考查最值问题，利用等边三角形以及勾股定理相关等进行分析求解.
15、1
【解析】连接OA，OB，OC利用小三角形的面积和等于大三角形的面积即可解答
【详解】解：连接OA，OB，OC，则点O到三边的距离就是△AOC，△BOC，△AOB的高线，
设到三边的距离是x，则三个三角形的面积的和是：
AC•x+BC•x+AB•x=AC•BC，
由题意可得:AC=4,BC=3,AB=5
∴×4•x+×3•x+×5•x=×3×4
解得:x=1．
故答案为:1.
本题中点到三边的距离就是直角三角形的内切圆的半径长，内切圆的半径= ．
16、1
【分析】从俯视图中可以看出最底层硬币的个数及形状，从主视图可以看出每一层硬币的层数和个数，从左视图可看出每一行硬币的层数和个数，从而算出总的个数．
【详解】解：三堆硬币的个数相加得：3+4+2=1．
∴桌上共有1枚硬币．
故答案为：1．
考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
17、1
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，从而计算出EF的值,即可得到DF的值．
【详解】解：∵直线a∥b∥c，点B是线段AC的中点，DE=2，
∴，即，
∴=，
∴EF=2，
∵DE=2
∴DF=DE+EF=2+2=1
故答案为：1．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
18、0.1
【分析】由小亮每次投篮的投中的频率继而可估计出这名球员投一次篮投中的概率．
【详解】解：∵0.75≈0.1，0.13≈0.1，0.12≈0.1，0.79≈0.1，…，
∴可以看出小亮投中的频率大都稳定在0.1左右，
∴估计小亮投一次篮投中的概率是0.1，
故答案为：0.1．
本题比较容易，考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率值即概率．概率=所求情况数与总情况数之比．
三、解答题（共78分）
19、（1）是的切线；理由见解析；（2）的长．
【分析】（1）连接，求得，根据圆周角定理得到，根据平行四边形的性质得到，得到，推出，于是得到结论；
（2）连接，由点是的中点，得到，求得，根据弧长公式即可得到结论．
【详解】（1）是的切线；
理由：连接，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
是的切线；
（2）连接，
点是的中点，
，
，
，
的长．
本题考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
20、（1）200；72（2）60（人），图见解析（3）1050人．
【分析】（1）由A类有20人，所占扇形的圆心角为36°，即可求得这次被调查的学生数，再用360°乘以D人数占总人数的比例可得；
（2）首先求得C项目对应人数，即可补全统计图；
（3）总人数乘以样本中B、C人数所占比例可得．
【详解】（1）∵A类有20人，所占扇形的圆心角为36°，
∴这次被调查的学生共有：20÷＝200（人）；
选“D一园艺种植”的学生人数所占圆心角的度数是360°×＝72°，
故答案为：200、72；
（2）C项目对应人数为：200−20−80−40＝60（人）；
补充如图．
（3）1500×＝1050（人），
答：估计该校学生中最喜欢“机器人”和最喜欢“航模”项目的总人数为1050人．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21、 (1)；(2) 每件商品的销售价应定为元或元；(3)售价定为元/件时，每天最大利润元．
【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）根据“每件利润×销售量=总利润”列出一元二次方程，解之可得；
（3）根据以上相等关系列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数性质求解可得．
【详解】(1)设与之间的函数关系式为，
由所给函数图象可知：
，
解得：．
故与的函数关系式为；
(2)根据题意，得：，
整理，得：，
解得：或，
答：每件商品的销售价应定为元或元；
(3)∵，
∴
，
∴当时，，
∴售价定为元/件时，每天最大利润元．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，理解题意确定相等关系，并据此列出函数解析式．
22、（1）45；（2）
【分析】（1）利用三角形内角和定理求解即可；
（2）过点作于点，可得出，在中，，由此可得出答案．
【详解】解：（1）
故答案为：45；
（2）解：过点作于点
在中，
∴（）
在中，
∴（）
答：处到处的距离即的长度是
本题考查的知识点是解直角三角形的应用-方向角问题，属于基础题目，比较容易掌握．
23、（1）（2）①②
【分析】（1）求出圆的半径，再判断出四边形OFDE是矩形，然后根据矩形的对角线相等解答即可；
（2）①根据线段中点的定义得到OE=OC=OD，根据三角形的内角和得到∠DOE=60°，于是得到结论；
②延长CO交⊙O于G，连接DG交AB于P，则PC+PD的最小值等于DG长，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：（1）如图，连接，
∵的直径，
∴圆的半径为.
∵，
∴四边形是矩形，
∴.
（2）①∵点为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴劣弧的长度为.
②.
延长交于点，连接交于点，
则的最小值为.
∵，，
∴，
∴的最小值为.
本题考查了圆周角定理，矩形的判定和性质，轴对称-最短路线问题，正确的作出辅助线是解题的关键．
24、（1）；点；（2）；（3）存在，Q1(1，-1)，Q2(1，2)， Q3(1，4)， Q4(1，-5)．
【分析】（1）用待定系数法可求抛物线的解析式，进行配成顶点式即可写出顶点坐标；
（2）将直线与抛物线联立，通过根与系数关系得到，，再通过得出，通过变形得出代入即可求出的值；
（3）分：， ， 三种情况分别利用勾股定理进行讨论即可．
【详解】（1）∵，，
∵绕点顺时针旋转，得到，
∴点的坐标为：，
将点A,B代入抛物线中得
解得
∴此抛物线的解析式为：
∵；
∴点
（2）直线：与抛物线的对称轴交点的坐标为，
交抛物线于，，
由得：
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
（3）存在，或，，
∴
设点
，
若，则
即
∴或
若，则
即
∴
若，则
即
∴
即Q1(1,-1), Q2(1,2), Q3(1,4), Q4(1,-5).
本题主要考查二次函数与几何综合，掌握二次函数的图象和性质，分情况讨论是解题的关键．
25、（1）详见解析；（2）相似
【分析】（1）利用坐标的变化规律得出答案；
（2）根据所画的图形，利用对应点位置得到线段的长度，即可得到结论.
【详解】解：（1）B′（ 8，6 ），C′（ 10，2 ），
如图所示：△A′B′C′即为所求；
故答案为：8，6；10，2；
（2）根据表格和所画的图形可知，
，
∴.
此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．
26、（1）点B距水平面AE的高度BH为5米.
（2）宣传牌CD高约2.7米.
【分析】（1）过B作DE的垂线，设垂足为G．分别在Rt△ABH中，通过解直角三角形求出BH、AH.
（2）在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE﹣DE即可求出宣传牌的高度.
【详解】解：（1）过B作BG⊥DE于G，
在Rt△ABF中，i=tan∠BAH=，∴∠BAH=30°
∴BH=AB=5（米）.
答：点B距水平面AE的高度BH为5米.
（2）由（1）得：BH=5，AH=5，
∴BG=AH+AE=5+15.
在Rt△BGC中，∠CBG=45°，∴CG=BG=5+15.
在Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，
∴DE=AE=15.
∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+5﹣15=20﹣10≈2.7（米）.
答：宣传牌CD高约2.7米.
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