资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，两根竹竿和都斜靠在墙上，测得，则两竹竿的长度之比等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，用一个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）
A．π cm B．2π cm C．3π cm D．5π cm
3．如图，正六边形内接于圆，圆半径为2，则六边形的边心距的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
4．如图，将绕着点按顺时针方向旋转，点落在位置，点落在位置，若，则的度数是 （ ）
A． B． C． D．
5．如图，在⊙O中，点A、B、C在圆上，∠AOB＝100°，则∠C＝（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
6．从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为、，则关于的一元二次方程有实数解的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图为二次函数的图象，则下列说法：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12 m的住房墙，另外三边用25 m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门，花圃面积为80 m2，设与墙垂直的一边长为x m，则可以列出关于x的方程是( )
A．x(26－2x)＝80 B．x(24－2x)＝80
C．(x－1)(26－2x)＝80 D．x(25－2x)＝80
9．一元二次方程3x2﹣x﹣2＝0的二次项系数是3，它的一次项系数是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．0
10．某商场举行投资促销活动，对于“抽到一等奖的概率为”，下列说法正确的是（ ）
A．抽一次不可能抽到一等奖
B．抽次也可能没有抽到一等奖
C．抽次奖必有一次抽到一等奖
D．抽了次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖
11．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．2π C．4 D．4π
12．数据0，-1，-2，2，1，这组数据的中位数是( )
A．-2 B．2 C．0.5 D．0
二、填空题（每题4分，共24分）
13．一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字 －1，1, 1．随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p，再随机摸出另一个小球其数字记为q，则满足关于x的方程有实数根的概率是_________．
14．若二次函数的图象经过点（3,6），则
15．二次函数的图象与y轴的交点坐标是________．
16．如图，设点P在函数y=的图象上，PC⊥x轴于点C，交函数y= 的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交函数y=的图象于点B，则四边形PAOB的面积为_____．
17．在一个不透明的袋子中，装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同。搅匀后从中随机一次摸出两个球，则摸到的两个球都是白球的概率是____．
18．关于的方程的一个根为2，则______.
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，过AC上一点D作DE⊥AB于E，已知AB=10cm，AC=8cm，BE=6cm，求DE．
20．（8分）如图，是线段上--动点，以为直径作半圆，过点作交半圆于点，连接.已知，设两点间的距离为，的面积为.(当点与点或点重合时，的值为)请根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行探究. (注: 本题所有数值均保留一位小数)
通过画图、测量、计算，得到了与的几组值，如下表:
补全表格中的数值: ； ； .
根据表中数值，继续描出中剩余的三个点，画出该函数的图象并写出这个函数的一条性质;
结合函数图象，直接写出当的面积等于时，的长度约为___ _.
21．（8分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度；
（3）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．
22．（10分）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
．
23．（10分）对于二次函数y＝x2﹣3x+2和一次函数y＝﹣2x+4，把y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线L．现有点A（2，0）和抛物线L上的点B（﹣1，n），请完成下列任务：
（尝试）
（1）当t＝2时，抛物线y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）的顶点坐标为 ；
（2）判断点A是否在抛物线L上；
（3）求n的值；
（发现）
通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线L总过定点，坐标为 ．
（应用）
二次函数y＝﹣3x2+5x+2是二次函数y＝x2﹣3x+2和一次函数y＝﹣2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．
24．（10分）如图，已知矩形的边，，点、分别是、边上的动点.
（1）连接、，以为直径的交于点.
①若点恰好是的中点，则与的数量关系是______；
②若，求的长；
（2）已知，，是以为弦的圆.
①若圆心恰好在边的延长线上，求的半径：
②若与矩形的一边相切，求的半径.
25．（12分）已知关于x的一元二次方程．
（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设方程两根分别为、，且2、2分别是边长为5的菱形的两条对角线，求m的值．
26．如图，已知二次函数与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点．
（1）写出两点的坐标；
（2）二次函数，顶点为．
①直接写出二次函数与二次函数有关图象的两条相同的性质；
②是否存在实数，使为等边三角形？如存在，请求出的值；如不存在，请说明理由；
③若直线与抛物线交于两点，问线段的长度是否发生变化？如果不会，请求出的长度；如果会，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题．
【详解】根据题意：
在Rt△ABC中，，则，
在Rt△ACD中，，则，
∴．
故选：D．
本题考查了解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
2、C
【解析】试题分析：根据定滑轮的性质得到重物上升的即为转过的弧长，利用弧长公式得：l==3πcm，则重物上升了3πcm，故选C.
考点：旋转的性质．
3、D
【分析】连接OB、OC，证明△OBC是等边三角形，得出即可求解．
【详解】解：连接OB、OC，如图所示：
则∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=2，
∵OM⊥BC，
∴△OBM为30°、60°、90°的直角三角形，
∴，
故选：D．
本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出BM是解决问题的关键．
4、C
【解析】由旋转可知∠BAC=∠A’，∠A’CA=20°，据此可进行解答.
【详解】解：由旋转可知∠BAC=∠A’，∠A’CA=20°，由AC⊥A’B’可得∠BAC=∠A’=90°-20°=70°，
故选择C.
本题考查了旋转的性质.
5、B
【分析】利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求得圆周角的度数即可；
【详解】解：∵，
∴∠C＝∠AOB，
∵∠AOB＝100°，
∴∠C＝50°；
故选：B．
本题主要考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键.
6、C
【分析】先根据一元二次方程有实数根求出ac≤4，继而画树状图进行求解即可.
【详解】由题意，△=42-4ac≥0，
∴ac≤4，
画树状图如下：
a、c的积共有12种等可能的结果，其中积不大于4的有6种结果数，
所以a、c的积不大于4(也就是一元二次方程有实数根)的概率为，
故选C.
本题考查了一元二次方程根的判别式，列表法或树状图法求概率，得到ac≤4是解题的关键.
7、D
【分析】根据抛物线的开口向下可知a<0，由此可判断①；根据抛物线的对称轴可判断②；根据x=1时y的值可判断③；根据抛物线与x轴交点的个数可判断④；根据x=-2时，y的值可判断⑤.
【详解】抛物线开口向下，∴a<0，故①错误；
∵抛物线与x轴两交点坐标为（-1，0）、（3，0），
∴抛物线的对称轴为x==1，∴2a+b=0，故②正确；
观察可知当x=1时，函数有最大值，a+b+c>0，故③正确；
∵抛物线与x轴有两交点坐标，
∴△>0，故④正确；
观察图形可知当x=-2时，函数值为负数，即4a-2b+c<0，故⑤正确，
故选D.
本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
8、A
【分析】设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26-2x）m，根据题意可列出方程．
【详解】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26-2x）m，
根据题意得：x（26-2x）=1．
故选A．
本题考核知识点：列一元二次方程解应用题.解题关键点：找出相等关系，列方程．
9、A
【解析】根据一元二次方程一次项系数的定义即可得出答案.
【详解】由一元二次方程一次项系数的定义可知一次项系数为﹣1，故选：A．
本题考查的是一元二次方程的基础知识，比较简单，需要熟练掌握.
10、B
【解析】根据大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，可得答案．
【详解】A. “抽到一等奖的概率为”，抽一次也可能抽到一等奖，故错误；
B. “抽到一等奖的概率为”，抽10次也可能抽不到一等奖，故正确；
C. “抽到一等奖的概率为”，抽10次也可能抽不到一等奖，故错误；
D. “抽到一等奖的概率为”，抽第10次的结果跟前面的结果没有关系，再抽一次也不一定抽到一等奖，故错误；
故选B.
关键是理解概率是反映事件的可能性大小的量.概率小的有可能发生,概率大的有可能不发生.概率等于所求情况数与总情况数之比.
11、B
【解析】根据阴影部分的面积是（扇形CBB'的面积﹣△CA'B'的面积）+（△ABC的面积﹣扇形CAA'的面积），代入数值解答即可．
【详解】∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴BC＝ ，∠ACB＝∠A'CB'＝45°，
∴阴影部分的面积＝＝2π，
故选B．
本题考查了扇形面积公式的应用，观察图形得到阴影部分的面积是（扇形CBB'的面积﹣△CA'B'的面积）+（△ABC的面积﹣扇形CAA'的面积）是解决问题的关键.
12、D
【分析】将数据从小到大重新排列，中间的数即是这组数据的中位数.
【详解】将数据重新排列得：-2，-1，0，1，2，
∴这组数据的中位数是0，
故选：D.
此题考查数据的中位数，将一组数据从小到大重新排列，数据是奇数个时，中间的一个数是这组数据的中位数；数据是偶数个时，中间两个数的平均数是这组数据的中位数.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】由题意通过列表求出p、q的所有可能，再由根的判别式就可以求出满足条件的概率.
【详解】解：由题意，列表为：
∵通过列表可以得出共有6种情况，其中能使关于x的方程有实数根的有3种情况，
∴P满足关于x的方程有实数根为.
故答案为：.
本题考查列表法或树状图求概率的运用，根的判别式的运用，解答时运用列表求出所有可能的情况是关键．
14、.
【详解】试题分析：根据点在抛物线上点的坐标满足方程的关系，由二次函数的图象经过点（3,6）得：．
15、
【分析】求出自变量x为1时的函数值即可得到二次函数的图象与y轴的交点坐标．
【详解】把代入得：，
∴该二次函数的图象与y轴的交点坐标为，
故答案为．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，在y轴上的点的横坐标为1．
16、4
【解析】
＝6－1－1
＝4
本题考察了反比例函数的几何意义及割补法求图形的面积．通过观察可知，所求四边形的面积等于矩形OCPD的面积减去△OBD和△OCA的面积，而矩形OCPD的面积可通过的比例系数求得；△OBD和△OCA的面积可通过的比例系数求得，从而用矩形OCPD的面积减去△OBD和△OCA的面积即可求得答案．
17、.
【分析】用列表法或画树状图法分析所有等可能的结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【详解】解：画树状图如下：
∵一共有6种情况，两个球都是白球有2种，
∴P（两个球都是白球），
故答案为：．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18、1
【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于k的方程，从而求得k的值．
【详解】把x＝2代入方程得：4k−2−2＝0，解得k＝1
故答案为:1．
本题主要考查了方程的根的定义，是一个基础的题目．
三、解答题（共78分）
19、3cm
【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再根据题意证明△ABC∽△ADE，得到，代入即可求解．
【详解】解：∵∠C=90°，AB=10，AC=8
∴BC==6
∵BE=6
∴AE=4
∵DE⊥AB
∴∠C=90°=∠AED
又∠A=∠A
∴△ABC∽△ADE
∴
∴cm．
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定方法．
20、（1）3.1，9.3，7.3；（2）见解析；（3）或.
【分析】D
（1）如图1，当x=1.5时，点C在C处，x=2.0时，点C在C1处，此时，D 'C'=DC，则，同理可求b、c；
（2）依据表格数据描点即可；
（3）从图象可以得出答案.
【详解】解：如图当x=1.5时，点C在C处，x=2.0时，点C在C1处
∴D 'C'=DC
∴
同理可得：b=9.3，c=7.3
∴ ( 允许合理的误差存在)
如图
由函数图像可知，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小;当时，的最大值为.
由函数图像可知，或
本题考查的是二次函数综合应用，确定未知点数据、再描点、准确画出函数图像是解答本题的关键.
21、（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）CP的长为3﹣或3﹣3；（3）a的值为1﹣或2+．
【解析】（1）先根据题意得出点B的坐标，再利用待定系数法求解可得；
（2）分点P在点C上方和下方两种情况，先求出∠OBP的度数，再利用三角函数求出OP的长，从而得出答案；
（3）分对称轴x=1在a到a+1范围的右侧、中间和左侧三种情况，结合二次函数的性质求解可得．
【详解】（1）∵点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称，
∴点B的坐标为（3，0），
代入y＝x2+bx+c，得：
，
解得，
所以二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图所示：
由抛物线解析式知C（0，﹣3），
则OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝45°，
若点P在点C上方，则∠OBP＝∠OBC﹣∠PBC＝30°，
∴OP＝OBtan∠OBP＝3×＝，
∴CP＝3﹣；
若点P在点C下方，则∠OBP′＝∠OBC+∠P′BC＝60°，
∴OP′＝OBtan∠OBP′＝3×＝3，
∴CP＝3﹣3；
综上，CP的长为3﹣或3﹣3；
（3）若a+1＜1，即a＜0，
则函数的最小值为（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a，
解得a＝1﹣（正值舍去）；
若a＜1＜a+1，即0＜a＜1，
则函数的最小值为1﹣2﹣3＝2a，
解得：a＝﹣2（舍去）；
若a＞1，
则函数的最小值为a2﹣2a﹣3＝2a，
解得a＝2+（负值舍去）；
综上，a的值为1﹣或2+．
本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、三角函数的运用、二次函数的图象与性质及分类讨论思想的运用．
22、（1）30°；（2）海监船继续向正东方向航行是安全的．
【分析】（1）根据直角的性质和三角形的内角和求解；
（2）过点P作PH⊥AB于点H，根据解直角三角形，求出点P到AB的距离，然后比较即可.
【详解】解：（1）在△APB中，∠PAB=30°，∠ABP=120°
∴∠APB=180°-30°-120°=30°
（2）过点P作PH⊥AB于点H
在Rt△APH中，∠PAH=30°，AH=PH
在Rt△BPH中，∠PBH=30°，BH=PH
∴AB=AH-BH=PH=50
解得PH=25＞25，因此不会进入暗礁区，继续航行仍然安全.
考点：解直角三角形
23、 [尝试]（1）（1，﹣2）；（2）点A在抛物线L上；（3）n=1；[发现]（2，0）,（﹣1，1）；[应用]不是，理由见解析．
【分析】[尝试]
（1）将t的值代入“再生二次函数”中，通过配方可得到顶点的坐标；
（2）将点A的坐标代入抛物线L直接进行验证即可；
（3）已知点B在抛物线L上，将该点坐标代入抛物线L的解析式中直接求解，即可得到n的值．
[发现]
将抛物线L展开，然后将含t值的式子整合到一起，令该式子为0（此时无论t取何值都不会对函数值产生影响），即可求出这个定点的坐标．
[应用]
将[发现]中得到的两个定点坐标代入二次函数y=-3x2+5x+2中进行验证即可．
【详解】解：[尝试]
（1）∵将t＝2代入抛物线L中，得：
y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，
∴此时抛物线的顶点坐标为：（1，﹣2）．
（2）∵将x＝2代入y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得 y＝0，
∴点A（2，0）在抛物线L上．
（3）将x＝﹣1代入抛物线L的解析式中，得：
n＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）＝1．
[发现]
∵将抛物线L的解析式展开，得：
y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）＝t（x﹣2）（x+1）﹣2x+4
当x=2时，y=0，当x=-1时，y=1，与t无关，
∴抛物线L必过定点（2，0）、（﹣1，1）．
[应用]
将x＝2代入y＝﹣3x2+5x+2，y＝0，即点A在抛物线上．
将x＝﹣1代入y＝﹣3x2+5x+2，计算得：y＝﹣1≠1，
即可得抛物线y＝﹣3x2+5x+2不经过点B，
∴二次函数y＝﹣3x2+5x+2不是二次函数y＝x2﹣3x+2和一次函数y＝﹣2x+4的一个“再生二次函数”．
本题考查二次函数的新型定义问题，熟练掌握二次函数的图像与性质，理解“再生二次函数”的定义是解题的关键.
24、（1）①；②1.5；（2）①5；②、，、5.
【解析】（1）①根据直径所对的圆周角是直角判断△APQ为等腰三角形，结合等腰三角形的两底角相等和圆周角定理证明；②证明△PBQ∽△QBA，由对应边成比例求解；
（2）①画出图形，由勾股定理列方程求解；②分与矩形的四边分别相切，画出图形，利用切线性质，由勾股定理列方程求解.
【详解】解：（1）①如图，PQ是直径，E在圆上，
∴∠PEQ=90°，
∴PE⊥AQ,
∵AE=EQ,
∴PA=PQ,
∴∠PAQ=∠PQA,
∴∠QPB=∠PAQ+∠PQA=2∠AQP,
∵∠QPB=2∠AQP.
\
②解：如图，∵BE=BQ=3，
∴∠BEQ=∠BQE,
∵∠BEQ=∠BPQ,
∵∠PBQ=∠QBA,
∴△PBQ∽△QBA,
∴ ,
∴,
∴BP=1.5;
（2）①如图， BP=3，BQ=1，设半径OP=r,
在Rt△OPB中，根据勾股定理得，PB2+OB2=OP2
∴32+(r-1)2=r2，
∴r=5,
∴的半径是5.
②如图，与矩形的一边相切有4种情况，
如图1，当与矩形ABCD边BC相切于点Q，过O作OK⊥AB于K,则四边形OKBQ为矩形，
设OP=OQ=r,则PK=3x,
由勾股定理得，r2=12+(3-r)2,
解得，r=,
∴半径为.
如图2，当与矩形ABCD边AD相切于点N，延长NO交BC于L,则OL⊥BC,过P作PS⊥NL于S，
设OS=x，则ON=OP=OQ=3+x，设PS=BL=y,
由勾股定理得， ，
解得 （舍去），，
∴ON=,
∴半径为.
如图3，当与矩形ABCD边CD相切于点M，延长MO交AB于R,则OR⊥AB,过O作OH⊥BC于H，
设OH=BR=x，设HQ=y, 则OM=OP=OQ=4-1-y=3-y，
由勾股定理得， ，
解得 （舍去），，
∴OM=,
∴半径为.
如图4，当与矩形ABCD边AB相切于点P，过O作OG⊥BC于G,则四边形AFCG为矩形，
设OF=CG=x，，则OP=OQ=x+4,
由勾股定理得(x+4)2=32+(x+3)2,
解得，x=1,
∴OP=5,
∴半径为5.
综上所述，若与矩形的一边相切，为的半径，，，5.
本题考查圆的相关性质，涉及圆周角定理，垂径定理，切线的性质等，综合性较强，利用分类思想画出对应图形，化繁为简是解答此题的关键.
25、（1）；（2）
【分析】（1）由根的判别式即可求解；
（2）根据菱形对角线互相垂直且平分，由勾股定理得，又由一元二次方程根与系数的关系，所以有，据此列出关于m的方程求解．
【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴
解得：
∴当时，方程有两个不相等的实数根；
（2）由题意得：
∴
解得：或
∵2、2分别是边长为5的菱形的两条对角线
∴，即
∴
本题考查一元二次方程根的判别式、结合菱形的性质考查勾股定理和韦达定理，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
26、（1）；（2）①对称轴都为直线或顶点的横坐标为2；都经过两点；②存在实数，使为等边三角形，；③线段的长度不会发生变化，值为1．
【分析】（1）令，求出解集即可；
（2）①根据二次函数与有关图象的两条相同的性质求解即可；②根据，可得到结果；③根据已知条件列式，求出定值即可证明．
【详解】解：（1）令，
∴，
∴，，
∵点在点的左边，
∴；
（2）①二次函数与有关图象的两条相同的性质：
（I）对称轴都为直线或顶点的横坐标为2；
（II）都经过两点；
②存在实数，使为等边三角形．
∵，
∴顶点，
∵，∴，
要使为等边三角形，必满足，
∴；
③线段的长度不会发生变化．
∵直线与抛物线交于两点，
∴，
∵，∴，∴，，
∴，
∴线段的长度不会发生变化．
本题主要考查了二次函数综合，结合一次函数、等边三角形的性质求解是关键．
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