资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列结论正确的是（ ）
A．垂直于弦的弦是直径 B．圆心角等于圆周角的2倍
C．平分弦的直径垂直该弦 D．圆内接四边形的对角互补
2．某药品原价为100元，连续两次降价后，售价为64元，则的值为（ ）
A．10 B．20 C．23 D．36
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＜0＜b）的图像与x轴只有一个交点，下列结论：①x＜0时，y随x增大而增大；②a＋b＋c＜0；③关于x的方程ax2＋bx＋c＋2＝0有两个不相等的实数根．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
4．如图，在△ABC中，DE∥BC，若＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在白色区域的概率等于（ ）
A． B． C． D．无法确定
6．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的顶点A在y轴上，顶点D，F在x轴上，点C在DE边上，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点B、C和边EF的中点M．若S正方形ABCD＝2，则正方形DEFG的面积为（ ）
A． B． C．4 D．
7．如图，抛物线的对称轴为直线，则下列结论中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．在中，是边上的点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．将抛物线先向左平移一个单位，再向上平移两个单位，两次平移后得到的抛物线解析式为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，半径为的中，弦，所对的圆心角分别是，，若，，则弦的长等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．在平面坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，作正方形，正方形的面积为______，延长交轴于点，作正方形，……按这样的规律进行下去，正方形的面积为______.
12．将边长为的正方形绕点按顺时针方向旋转到的位置（如图），使得点落在对角线上，与相交于点，则＝_________.（结果保留根号）
13．同一个圆中内接正三角形、内接正四边形、内接正六边形的边长之比为___________.
14．已知点E是线段AB的黄金分割点,且，若AB=2则BE=__________.
15．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为 .
16．经过点（1，﹣4）的反比例函数的解析式是_____．
17．若二次函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是 _____．
18．如图，某景区想在一个长，宽的矩形湖面上种植荷花，为了便于游客观赏，准备沿平行于湖面两边的纵、横方向各修建一座小桥（桥下不种植荷花）．已知修建的纵向小桥的宽度是横向小桥宽度的2倍，荷花的种植面积为，如果横向小桥的宽为，那么可列出关于的方程为__________．（方程不用整理）
三、解答题(共66分)
19．（10分）为了解决农民工子女就近入学问题，我市第一小学计划2012年秋季学期扩大办学规模．学校决定开支八万元全部用于购买课桌凳、办公桌椅和电脑，要求购买的课桌凳与办公桌椅的数量比为20:1，购买电脑的资金不低于16000元，但不超过24000元．已知一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元，用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办公桌椅．（课桌凳和办公桌椅均成套购进）
（1）一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为多少元？
（2）求出课桌凳和办公桌椅的购买方案．
20．（6分）如图，在中，对角线AC与BD相交于点O，，，．求证：四边形ABCD是菱形．
21．（6分）如图，ABCD是边长为1的正方形，在它的左側补一个矩形ABFE，使得新矩形CEFD与矩形ABEF相似，求BE的长．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P从点A出发，沿折线AB﹣BO向终点O运动，在AB上以每秒5个单位长度的速度运动，在BO上以每秒3个单位长度的速度运动;点Q从点O出发，沿OA方向以每秒个单位长度的速度运动.P，Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止.过点P作PE⊥AO于点E，以PE，EQ为邻边作矩形PEQF，设矩形PEQF与△ABO重叠部分图形的面积为S,点P运动的时间为t秒.
(1)连结PQ，当PQ与△ABO的一边平行时，求t的值;
(2)求S与t之间的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围.
23．（8分）从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线 与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
如图1，在中，是的完美分割线，且， 则的度数是
如图2，在中，为角平分线，，求证: 为的完美分割线．
如图2，中，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求完美分割线的长．
24．（8分）为了解某县建档立卡贫困户对精准扶贫政策落实的满意度，现从全县建档立卡贫困户中随机抽取了部分贫困户进行了调查（把调查结果分为四个等级：A级：非常满意；B级：满意；C级：基本满意；D级：不满意），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据统计图中的信息解决下列问题：
（1）本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数______.
（2）图1中，∠α的度数是______，并把图2条形统计图补充完整.
（3）某县建档立卡贫困户有10000户，如果全部参加这次满意度调查，请估计非常满意的人数约为多少户？
（4）调查人员想从5户建档立卡贫困户（分别记为）中随机选取两户，调查他们对精准扶贫政策落实的满意度，请用列表或画树状图的方法求出选中贫困户的概率.
25．（10分）放寒假，小明的爸爸把油箱注满油后准备驾驶汽车到距家300的学校接小明，在接到小明后立即按原路返回，已知小明爸爸汽车油箱的容积为70，请回答下列问题：
（1）写出油箱注满油后，汽车能够行使的总路程与平均耗油量之间的函数关系式；
（2）小明的爸爸以平均每千米耗油0.1的速度驾驶汽车到达学校，在返回时由于下雨，小明的爸爸降低了车速，此时每千米的耗油量增加了一倍，如果小明的爸爸始终以此速度行使，油箱里的油是否够回到家？如果不够用，请通过计算说明至少还需加多少油？
26．（10分）某同学报名参加校运动会，有以下5个项目可供选择：径赛项目：100m，200m，分别用、、表示；田赛项目：跳远，跳高分别用、表示．
该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为______；
该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】分别根据垂径定理、圆周角定理及圆内接四边形的性质对各选项进行逐一分析即可.
【详解】解：A，垂直于弦的弦不一定是直径,故本选项错误;B，在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，故本选项错误;C，平分弦的直径垂直该弦(非直径),故本选项错误;D，符合圆内接四边形的性质故本选项正确.故选：D.
本题主要考查了垂径定理、圆周角定理以及圆内接四边形的基本性质.
2、B
【解析】根据题意可列出一元二次方程100（1-）²=64，即可解出此题.
【详解】依题意列出方程100（1-）²=64，
解得a=20，（a=180,舍去）
故选B.
此题主要考察一元二次方程的应用，依题意列出方程是解题的关键.
3、C
【分析】①根据对称轴及增减性进行判断；
②根据函数在x=1处的函数值判断；
③利用抛物线与直线y=-2有两个交点进行判断．
【详解】解：∵a＜0＜b，∴二次函数的对称轴为x=>0，在y轴右边，且开口向下，
∴x＜0时，y随x增大而增大；
故①正确；
根据二次函数的系数，可得图像大致如下，
由于对称轴x=的值未知，
∴当x=1时，y=a+b+c的值无法判断，
故②不正确；
由图像可知，y=＝ax2＋bx＋c≤0，
∴二次函数与直线y=-2有两个不同的交点，
∴方程ax2＋bx＋c=-2有两个不相等的实数根.
故③正确.
故选C.
本题考查了二次函数的图像的性质，二次函数的图像与系数的关系，二次函数与方程的关系，借助图像解决问题是关键.
4、A
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
【详解】解：∵＝，
∴，
∵DE∥BC，
∴，
故选：A．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5、C
【分析】根据概率P（A）＝事件A可能出现的结果数：所有可能出现的结果数可得答案．
【详解】以自由转动的转盘，被分成了6个相同的扇形，白色区域有4个，因此＝，
故选：C．
此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知几何概率的求解方法.
6、B
【分析】作BH⊥y轴于H，连接EG交x轴于N，进一步证明△AOD和△ABH都是等腰直角三角形，然后再求出反比例函数解析式为y＝，从而进一步求解即可.
【详解】作BH⊥y轴于H，连接EG交x轴于N，如图，
∵正方形ABCD和正方形DEFG的顶点A在y轴上，顶点D、F在x轴上，点C在DE边上，
∴∠EDF＝45°，
∴∠ADO＝45°，
∴∠DAO＝∠BAH＝45°，
∴△AOD和△ABH都是等腰直角三角形，
∵S正方形ABCD＝2，
∴AB＝AD＝，
∴OD＝OA＝AH＝BH＝×＝1，
∴B点坐标为（1，2），
把B（1，2）代入y＝得k＝1×2＝2，
∴反比例函数解析式为y＝，
设DN＝a，则EN＝NF＝a，
∴E（a+1，a），F（2a+1，0），
∵M点为EF的中点，
∴M点的坐标为（，），
∵点M在反比例函数y＝的图象上，
∴×=2，
整理得3a2+2a﹣8＝0，解得a1＝，a2＝﹣2（舍去），
∴正方形DEFG的面积＝2∙EN∙DF＝2∙＝．
故选：B．
本题主要考查了正方形的性质与反比例函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
7、C
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】A、由抛物线的开口向下知，与轴的交点在轴的正半轴上，可得，因此，故本选项正确，不符合题意；
B、由抛物线与轴有两个交点，可得，故本选项正确，不符合题意；
C、由对称轴为，得，即，故本选项错误，符合题意；
D、由对称轴为及抛物线过，可得抛物线与轴的另外一个交点是，所以，故本选项正确，不符合题意．
故选C．
本题考查了二次函数图象与系数的关系．会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
8、C
【分析】先利用比例性质得到AD：AB=3：4，再证明△ADE∽△ABC，然后利用相似比可计算出AC的长．
【详解】解：解：∵AD=9，BD=3，
∴AD：AB=9：12=3：4，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，
∵AE=6，
∴AC=8，
故选C.
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．
9、A
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．
【详解】抛物线先向左平移1个单位得到解析式：，再向上平移2个单位得到抛物线的解析式为：．
故选：．
此题考查了抛物线的平移变换以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
10、A
【解析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，易得AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=BF=1，从而求解．
解：作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，如图，
∵∠BAC+∠EAD=120°，而∠BAC+∠BAF=120°，
∴∠DAE=∠BAF，∴弧DE＝弧BF，∴DE=BF=6，
∵AH⊥BC，∴CH=BH，
∵CA=AF，∴AH为△CBF的中位线，∴AH=BF=1．
∴，
∴BC＝2BH＝2．
故选A．
“点睛”本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、11.25
【分析】推出AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA，求出∠ADO=∠BAA1，证△DOA∽△ABA1，再求出AB，BA1，面积即可求出；求出第2个正方形的边长；再求出第3个正方形边长；依此类推得出第2019个正方形的边长，求出面积即可．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA，
∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA1=90°，
∴∠ADO=∠BAA1，
∵∠DOA=∠ABA1，
∴△DOA∽△ABA1，
∴，
∵AB=AD= ，
∴BA1=，
∴第2个正方形A1B1C1C的边长A1C=A1B+BC=，
第2个正方形A1B1C1C的面积()2=11.25
同理第3个正方形的边长是=（）2，
第4个正方形的边长是（）3，，
第2019个正方形的边长是（）2018，
面积是[（）2018]2=5×（）2018×2=
故答案为：(1)11.25；(2)
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，依次求出正方形的边长是解题的关键．
12、
【分析】先根据正方形的性质得到CD=1，∠CDA=90°，再利用旋转的性质得CF=，根据正方形的性质得∠CFE=45°，则可判断△DFH为等腰直角三角形，从而计算CF-CD即可．
【详解】∵四边形ABCD为正方形，
∴CD=1，∠CDA=90°，
∵边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，
∴CF=，∠CFDE=45°，
∴△DFH为等腰直角三角形，
∴DH=DF=CF-CD=-1．
故答案为-1．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
13、
【分析】首先根据题意画出图形，设出圆的半径，分别求出圆中内接正三角形、内接正四边形、内接正六边形的边长，即可得出答案.
【详解】
设圆的半径为r，
如图①，
过点O作于点C
则
如图②，
如图③，
为等边三角形
∴同一个圆中内接正三角形、内接正四边形、内接正六边形的边长之比为
故答案为
本题主要考查圆的半径与内接正三角形，正方形和正六边形的边长之间的关系，能够画出图形是解题的关键.
14、
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比；
【详解】解：∵点E是线段AB的黄金分割点，且BE>AE，
∴BE=AB，
而AB=2，
∴BE=；
故答案为：；
本题主要考查了黄金分割，掌握黄金分割是解题的关键.
15、2
【解析】解：当点P与B重合时，BA′取最大值是3，
当点Q与D重合时（如图），
由勾股定理得A′C=4，此时BA′取最小值为1．
则点A′在BC边上移动的最大距离为3-1=2．
16、﹣
【分析】直接利用反比例函数的性质得出解析式．
【详解】∵反比例函数经过点（1，﹣4），
∴xy＝﹣4，
∴反比例函数的解析式是：y＝﹣．
故答案为：y＝﹣．
本题考查的是反比例函数的性质，是近几年中考的热点问题，要熟练掌握.
17、m≤1且m≠1．
【分析】由抛物线与x轴有公共点可知△≥1，再由二次项系数不等于1，建立不等式即可求出m的取值范围.
【详解】解：y＝mx2+2x+1是二次函数，
∴m≠1，
由题意可知：△≥1，
∴4﹣4m≥1，
∴m≤1
∴m≤1且m≠1
故答案为m≤1且m≠1．
本题考查二次函数图像与x轴的交点问题，熟练掌握交点个数与△的关系是解题的关键.
18、
【分析】横向小桥的宽为，则纵向小桥的宽为，根据荷花的种植面积列出一元二次方程.
【详解】解：设横向小桥的宽为，则纵向小桥的宽为
根据题意，
本题关键是在图中，将小桥平移到长方形最边侧，将荷花池整合在一起计算.
三、解答题(共66分)
19、（1）分别为120元、200元（2）有三种购买方案，见解析
【解析】（1）设一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为x元、y元，得
，解得．
∴一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为120元、200元．
（2）设购买办公桌椅m套，则购买课桌凳20m套，由题意有
1600≤80000－120×20m－200×m≤24000，
解得，．
∵m为整数，∴m=22、23、24，有三种购买方案：
方案一
方案二
方案三
课桌凳（套）
440
460
480
办公桌椅（套）
22
23
24
（1）根据一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元以及用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办
公桌椅，得出等式方程求出即可．
（2）利用购买电脑的资金不低于16000元，但不超过24000元，得出不等式组求出即可．
20、见解析
【分析】根据平行四边形的性质得到AO和BO，再根据AB，利用勾股定理的逆定理得到∠AOB=90°，从而判定菱形．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=16，BD=12，
∴AO=8，BO=6，
∵AB=10，
∴AO2+BO2=AB2，
∴∠AOB=90°，即AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
本题考查了菱形的判定，勾股定理的逆定理，解题的关键是证明∠AOB=90°．
21、
【分析】设BE=x，BC=1，CE=x+1，然后根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】解：设BE=x，则BC=1，CE=x+1，
∵矩形CEFD与矩形ABEF相似，
∴或，代入数据，
∴或，
解得：，(舍去)，或不存在，
∴BE的长为，
故答案为．
本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．
22、（1）当与的一边平行时，或；
（2）
【分析】（1）先根据一次函数确定点、的坐标，再由、，可得、，由此构建方程即可解决问题；
（2）根据点在线段上、点在线段上的位置不同、自变量的范围不同，进行分类讨论，得出与的分段函数．
【详解】解：（1）∵在中，令，则；令，则
∴，
∴，
①当时，，则
∴
∴
②当时，，则
∴
∴
∴综上所述，当与的一边平行时，或．
（2）①当0≤t≤时，重叠部分是矩形PEQF，如图：
∴
∴
∴
∴，，
∴；
②当＜t≤2时，如图，重叠部分是四边形PEQM，
∴，，，，
易得
∴，
∴；
③当2＜t≤3时，重叠部分是五边形MNPOQ，如图：
∴
∴，
∴，
∴，，，
∴；
④当3＜t＜4时，重叠部分是矩形POQF，如图：
∵，，
∴，
∴综上所述， ．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及矩形和梯形的面积求法等知识，利用分类讨论的思想方法是解题的关键．
23、（1）88°；（2）详见解析；（3）
【分析】（1）是的完美分割线，且，得∠ACD=44°，∠BCD=44°，进而即可求解；
（2）由，得，由平分，，得为等腰三角形，结合，即可得到结论；
（3）由是的完美分割线，得从而得，设，列出方程，求出x的值，再根据，即可得到答．
【详解】(1) ∵是的完美分割线，且，
∴，∠A=∠ACD=44°，
∴∠A=∠BCD=44°，
∴．
故答案是：88°；
，
，
不是等腰三角形，
平分，
，
，
为等腰三角形．
，，
，
是的完美分割线．
∵是以为底边的等腰三角形，
∴，
∵是的完美分割线，
∴
，
设，则，
，
，
．
本题主要考查等腰三角形的性质与相似三角形的判定和性质定理，掌握相似三角形的性质定理，是解题的关键．
24、（1）60；（2）54°；（3）1500户；（4）见解析，.
【分析】（1）用B级人数除以B级所占百分比即可得答案；（2）用A级人数除以总人数可求出A级所占百分比，乘以360°即可得∠α的度数，总人数减去A级、B级、D级的人数即可得C级的人数，补全条形统计图即可；（3）用10000乘以A级人数所占百分比即可得答案；（4）画出树状图，得出所有可能出现的结果及选中的结果，根据概率公式即可得答案.
【详解】（1）21÷35%=60（户）
故答案为60
（2）9÷60×360°=54°，
C级户数为：60-9-21-9=21（户），
补全条形统计图如所示：
故答案为54°
（3）（户）
（4）由题可列如下树状图：
由树状图可知，所有可能出现的结果共有20种，选中的结果有8种
∴P（选中）=.
本题考查了条形统计图、扇形统计图及概率，概率=所求结果数与所有可能出现的结果数的比值，正确得出统计图中的信息，熟练掌握概率公式是解题关键.
25、（1）；（2）不够，至少要加油20L
【分析】（1）根据总路程×平均耗油量=油箱总油量求解即可；
（2）先计算去时所用油量，再计算返回时用油量，与油箱中剩余油量作比较即可得出答案．
【详解】解：（1）由题意可得出总路程与平均耗油量的函数关系式为：；
（2）小明的爸爸始终以此速度行使，油箱里的油不能够回到家
小明爸爸去时用油量是：（）
油箱剩下的油量是：（）
返回每千米用油量是：（）
返回时用油量是：（）.
所以，油箱里的油不能够回到家，至少要加油：
本题考查的知识点是求反比例函数的解析式，比较基础，易于掌握．
26、 (1);(2).
【分析】（1）由5个项目中田赛项目有2个，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）∵5个项目中田赛项目有2个，∴该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为：．
故答案为；
（2）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的有12种情况，∴恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率为：．
本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
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