资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．在一个不透明的盒子里装有个黄色、个蓝色和个红色的小球，它们除颜色外其他都完全相同，将小球摇匀后随机摸出一个球，摸出的小球为红色的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．把二次函数化成的形式是下列中的 ( )
A． B．
C． D．
3．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1.以下结论：①2a＞－b；②4a＋2b＋c＞0；③m（am＋b）＞a＋b（m是大于1的实数）；④3a＋c＜0其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且，过点O作交BC于点E，若的周长为10，则▱ABCD的周长为
A．14 B．16 C．20 D．18
5．如图，双曲线与直线相交于、两点，点坐标为，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣3 B．y＝ C．y＝（x﹣1）（x+3） D．
7．关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．k＝4 B．k＝﹣4 C．k≥﹣4 D．k≥4
8．平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则这个变换可以是（ ）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移4个单位 D．向右平移4个单位
9．方程x2+4x+4＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
10．如图，直线与反比例函数的图象相交于、两点，过、两点分别作轴的垂线，垂足分别为点、，连接、，则四边形的面积为( )
A．4 B．8 C．12 D．24
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD，若∠BOD= ∠BCD，则∠A的度数为（ ）
A．60° B．70° C．50° D．45°
12．如图，下列四个三角形中，与相似的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，四边形中，，连接，，点为中点，连接，，，则__________．
14．微信给甲、乙、丙三人，若微信的顺序是任意的，则第一个微信给甲的概率为_____．
15．如图，若△ADE∽△ACB，且=，DE=10，则BC=________
16．如图，圆锥的底面直径，母线的中点处有一食物，一只小蚂蚁从点出发沿圆锥表面到处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为___________
17．如图，王师傅在一块正方形钢板上截取了宽的矩形钢条，剩下的阴影部分的面 积是，则原来这块正方形钢板的边长是__________cm.
18．一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是______．
三、解答题（共78分）
19．（8分）不透明的袋中装有个红球与个白球，这些球除颜色外都相同，将其搅匀.
（1）从中摸出个球，恰为红球的概率等于_________；
（2）从中同时摸出个球，摸到红球的概率是多少？（用画树状图或列表的方法写出分析过程）
20．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD＝DF，连接CF，BE．
（1）求证：直线CF为⊙O的切线；
（2）若DE＝6，求⊙O的半径长.
21．（8分）已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为 E．
（1）求证：DC＝BD；
（2）求证：DE为⊙O的切线；
（3）若AB＝12，AD＝6，连接OD，求扇形BOD的面积．
22．（10分）如图1，在中，，，，点是边上一个动点（不与、重合），点为射线上一点，且，以点为圆心，为半径作，设.
（1）如图2，当点与点重合时，求的值；
（2）当点在线段上，如果与的另一个交点在线段上时，设，试求与之间的函数解析式，并写出的取值范围；
（3）在点的运动过程中，如果与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围.
23．（10分）在△ABC中， AB=12，AC=9，点D、E分别在边AB、AC上，且△ADE与△ABC与相似，如果AE=6，那么线段AD的长是______．
24．（10分）如图，为了测量上坡上一棵树的高度，小明在点利用测角仪测得树顶的仰角为，然后他沿着正对树的方向前进到达点处，此时测得树顶和树底的仰角分别是和．设，且垂足为．求树的高度(结果精确到，)．
25．（12分）如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了△ABC格点(顶点是网格线的交点).请在网格中画出△ABC以A为位似中心放大到原来的倍的格点△AB1C1，并写出△ABC与△AB1C1，的面积比(△ABC与△AB1C1，在点A的同一侧)
26．如图，已知⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）求DE的长．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】让红球的个数除以球的总个数即为所求的概率.
【详解】解：∵盒子中一共有3+2+4=9 个球，红色的球有4个
∴摸出的小球为红色的概率为
故选D
此题主要考查了概率的定义：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=.
2、C
【分析】先提取二次项系数，然后再进行配方即可．
【详解】．
故选：C．
考查了将一元二次函数化成y=a（x-h）2+k的形式，解题关键是正确配方．
3、A
【分析】根据图象得出函数及对称轴信息，分别利用函数图象与坐标轴交点得出对应函数关系的大小关系．
【详解】解：由图象可得：，则2a+b=0，故①2a＞－b错误；
由图象可得：抛物线与x轴正半轴交点大于2，故4a+2b+c＜0，故②4a＋2b＋c＞0错误；
∵x=1时，二次函数取到最小值，∴m（am+b）=am2+bm＞a+b，故③m（am＋b）＞a＋b（m是大于1的实数）正确；
∵b=-2a，∴当x=-1时，y=a-b+c=3a+c＞0，故④3a＋c＜0错误．
综上所述，只有③正确
故选：A
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确利用图象得出正确信息是解题关键．
4、C
【解析】由平行四边形的性质得出，，，再根据线段垂直平分线的性质得出，由的周长得出，即可求出平行四边形ABCD的周长．
【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，
，，，
，
，
的周长为10，
，
平行四边形ABCD的周长；
故选：C．
本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形、平行四边形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
5、B
【解析】反比例函数的图象是中心对称图形,则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称.
【详解】解:点A与B关于原点对称,点坐标为
A点的坐标为(2,3).
所以B选项是正确的.
本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性,要求同学们要熟练掌握.
6、C
【分析】根据二次函数的定义作出判断．
【详解】解：A、该函数属于一次函数，故本选项错误；
B、该函数未知数在分母位置，不符合二次函数的定义，故本选项错误；
C、该函数符合二次函数的定义，故本选项正确；
D、该函数只有一个变量不符合二次函数的定义，故本选项错误；
故选：C．
此题考查的是二次函数的判断,掌握二次函数的定义是解决此题的关键．
7、A
【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+1x+k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝12﹣1k＝16﹣1k＝0，
解得：k＝1．
故选：A．
本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，熟练掌握“当△=0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．
8、B
【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．
【详解】解：，顶点坐标是（-1，-4）．
，顶点坐标是（1，-4）．
所以将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，
故选：B．
此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律和变化特点.
9、B
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．
【详解】解：∵△＝b2﹣4ac＝16﹣16＝0
∴方程有两个相等的实数根．
故选：B．
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
10、C
【分析】根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|，得出S△AOC=S△ODB=3，再根据反比例函数的对称性可知：OC=OD，AC=BD，即可求出四边形ACBD的面积．
【详解】解：∵过函数的图象上A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，
∴S△AOC=S△ODB=|k|=3，
又∵OC=OD，AC=BD，
∴S△AOC=S△ODA=S△ODB=S△OBC=3，
∴四边形ABCD的面积为=S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC=4×3=1．
故选C．
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数（k为常数，k≠0）图象上任一点P，向x轴和y轴作垂线你，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于 ．
11、A
【分析】根据圆内接四边形的性质，构建方程解决问题即可．
【详解】设∠BAD=x，则∠BOD=2x，
∵∠BCD=∠BOD=2x，∠BAD＋∠BCD=180°，
∴3x=180°，
∴x=60°，
∴∠BAD=60°.
故选：A．
本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
12、C
【分析】△ABC是等腰三角形，底角是75°，则顶角是30°，结合各选项是否符合相似的条件即可．
【详解】由题图可知，，所以∠B=∠C=75°，
所以．根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似知，与相似的是项中的三角形
故选：C．
此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定的理解和掌握，此题难度不大，但综合性较强．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】分别过点E，C作EF⊥AD于F，CG⊥AD于G，先得出EF为△ACG的中位线，从而有EF=CG．在Rt△DEF中，根据勾股定理求出DF的长，进而可得出AF的长，再在Rt△AEF中，根据勾股定理求出AE的长，从而可得出结果．
【详解】解：分别过点E，C作EF⊥AD于F，CG⊥AD于G，
∴EF∥CG，∴△AEF∽△ACG，
又E为AC的中点，∴F为AG的中点，
∴EF=CG．
又∠ADC=120°，∴∠CDG=60°，
又CD=6，∴DG=3，∴CG=3，
∴EF=CG=，
在Rt△DEF中，由勾股定理可得，DF=，
∴AF=FG=FD+DG=+3=，
∴在Rt△AEF中，AE=，
∴AB=AC=2AE=2．
故答案为：2．
本题考查了相似三角形的判定与性质，中位线的性质，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
14、
【分析】根据题意，微信的顺序是任意的，微信给甲、乙、丙三人的概率都相等均为．
【详解】∵微信的顺序是任意的，
∴微信给甲、乙、丙三人的概率都相等，
∴第一个微信给甲的概率为．
故答案为．
此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
15、15
【分析】根据相似三角形的性质，列出比例式即可解决问题.
【详解】解：∵△ADE∽△ACB，
∴，DE=10，
∴，
∴.
本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
16、15
【分析】先将圆锥的侧面展开图画出来，然后根据弧长公式求出的度数，然后利用等边三角形的性质和特殊角的三角函数在即可求出AD的长度．
【详解】圆锥的侧面展开图如下图：
∵圆锥的底面直径
∴底面周长为
设
则有
解得
又
∴为等边三角形
为PB中点
∴蚂蚁从点出发沿圆锥表面到处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为
故答案为：．
本题主要考查圆锥的侧面展开图，弧长公式和解直角三角形，掌握弧长公式和特殊角的三角函数值是解题的关键．
17、
【分析】设原来正方形钢板的边长为xcm,根据题意可知阴影部分的矩形的长和宽分别为xcm,(x-4)cm,然后根据题意列出方程求解即可.
【详解】解：设原来正方形钢板的边长为xcm,根据题意可知阴影部分的矩形的长和宽分别为xcm,(x-4)cm,根据题意可得：
整理得：
解得：（负值舍去）
故答案为：12.
本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出阴影部分的面积的方程是本题的解题关键.
18、
【分析】先求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
【详解】由图可知，黑色方砖6块，共有16块方砖，
∴黑色方砖在整个地板中所占的比值，
∴小球最终停留在黑色区域的概率是，
故答案为：．
本题考查了几何概率，用到的知识点为：几何概率=相应的面积与总面积之比．
三、解答题（共78分）
19、（1） （2）
【解析】（1）根据题意和概率公式求出即可；
（2）先画出树状图，再求即可．
【详解】（1）由题意得，从中摸出1个球，恰为红球的概率等于．
故答案为；
（2）画树状图：
所以共有6种情况，含红球的有4种情况，所以p．
答：从中同时摸出2个球，摸到红球的概率是．
本题考查了列表法与画树状图，概率公式等知识点，能够正确画出树状图是解答此题的关键．
20、（1）详见解析；（2）3
【分析】（1）连接OD，由BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，证得OD⊥BC，再根据中位线定理证得OD∥CF，即可证得结论；
（2）根据圆周角定理证得∠EBD=∠BED，即 BD=DE，根据正弦函数即可求出半径的长
【详解】（1）连接OD
∵BC为⊙O的直径
∴∠BAC=90°
∵点E为△ABC的内心
∴∠CAD=∠BAD=45°，∠ABE=∠EBC
∴∠BOD=∠COD=90°，即OD⊥BC
又BD＝DF，OB＝OC
∴OD∥CF
∴BC⊥CF，BC为⊙O的直径
∴直线CF为⊙O的切线；
（2）∵，
∴∠CAD=∠CBD，
∵OD⊥BC，
∴，
∴∠CBD=∠BAE，
又∵∠ABE=∠EBC，
∴∠EBD=∠EBC+∠CBD=∠BAE+∠ABE=∠BED，
∴BD=DE=6，
Rt△OBD中OB=OD，
∴OB=BD=×6=3，
本题考查三角形的内切圆与内心、切线的判定、等腰三角形的判定、直角三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
21、（1）见解析；（2）见解析；（3）6π
【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，然后由三线合一可得结论；
（2）连接OD，证明OD∥AC，得到∠ODE＝90°即可；
（3）根据三角函数的定义得到sinB＝＝＝，求得∠B＝60°，得到∠BOD＝60°，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】证明：（1）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵AB＝AC，
∴DC＝BD；
（2）连接OD，
∵OA＝OB，CD＝BD，
∴OD∥AC，
∴∠ODE＝∠CED，
又∵DE⊥AC，
∴∠CED＝90°，
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线；
（3）∵AB＝12，AD＝6，
∴sinB＝＝＝，
∴∠B＝60°，
∴∠BOD＝60°，
∴S扇形BOD＝＝6π．
本题考查了圆周角度定理、切线的判定、三角函数的应用以及扇形面积的计算，熟练掌握基础知识是解题的关键.
22、（1）；（2）；（3）当或或时，与线段只有一个公共点.
【分析】（1）在Rt△BOC中，利用勾股定理即可解决问题．
（2）如图2中，作OH⊥AB于H，CG⊥AB于G，连接CE．证明，利用相似三角形的性质构建关系式即可解决问题．
（3）分三种情形分别求解即可解决问题．
【详解】解：（1）如图1中，
图1
在中，，，，
，
设，
，
在中，，
，
（2）过点，分别作，，垂足为点，
；
；
又在中;
在中;
∵∠AGC=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴
又，
又
即
化简得
（3）①如图1中，当经过点时，
易知：
观察图象可知：当时，与线段只有一个公共点.
②如图2中，当与相切时，，易知，此时
③如图3中，当时，与线段只有一个公共点.
综上所述，当或或时，与线段只有一个公共点.
本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，解直角三角形以及相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，
23、8或；
【分析】分类讨论：当，根据相似的性质得；当，根据相似的性质得，然后分别利用比例性质求解即可．
【详解】解：，
当，则，即，解得；
当，则，即，解得，
综上所述，的长为8或．
故答案为：8或．
本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．解决本题时分类讨论边与边的对应关系是解题的关键.
24、15.7米
【分析】设，在Rt△BCQ中可得，然后在Rt△PBC中得，进而得到PQ=，，然后利用建立方程即可求出，得到PQ的高度．
【详解】解：设，
∵在Rt△BCQ中，，
∴
又∵在Rt△PBC中，，
∴
∴，
又∵，
∴
∵
∴，解得：
∴
本题考查了解直角三角形的应用，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键．
25、见解析，
【分析】根据网格特点，延长AB、AC到B1、C1，使AB1=3AB，AC1=3AC，连接B1C1，即可得△AB1C1，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可得答案.
【详解】如图所示：延长AB、AC到B1、C1，使AB1=3AB，AC1=3AC，连接B1C1，
∴△AB1C1，即为所求，
∵AB：AB1=1：3,
∴.
本题考查位似图形及相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键.
26、 (1)详见解析；（2）4.
【解析】试题分析：（1）连结OD，由AD平分∠BAC,OA=OD，可证得∠ODA=∠DAE,由平行线的性质可得OD∥AE,再由DE⊥AC即可得OE⊥DE，即DE是⊙O的切线；（2）过点O作OF⊥AC于点F，由垂径定理可得AF=CF=3，再由勾股定理求得OF=4，再判定四边形OFED是矩形，即可得DE=OF=4.
试题解析：
（1）连结OD，
∵AD平分∠BAC,
∴∠DAE=∠DAB，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠DAO,
∴∠ODA=∠DAE,
∴OD∥AE,
∵DE⊥AC
∴OE⊥DE
∴DE是⊙O的切线；
（2）过点O作OF⊥AC于点F，
∴AF=CF=3，
∴OF=,
∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°，
∴四边形OFED是矩形，
∴DE=OF=4.
考点：切线的判定；垂径定理；勾股定理；矩形的判定及性质.
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