线性代数讲义一.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第一章 行列式,二阶、三阶行列式,n,阶行列式的定义,行列式的性质,行列式按行（列）展开,Cramer,法则,用消元法解二元线性方程组,1,、二阶行列式,1.,二阶与三阶行列式,方程组的解为,由方程组的四个系数确定,.,为便于记忆，引入,记号,其中，数,称为行列式的元素。,该记号为一个数表，横排称为行，竖排称为列，共有两行,两列，故称之为,二阶行列式,。,每一元素有两个下标，第一个下标,i,称为 行标，表明,该元素位于行列式的第,i,行；第二个下标,j,称为列标，,表明该元素位于行列式的第,j,列；,主对角线,辅对角线,若记,对于二元线性方程组,则二元线性方程组的解为,三阶行列式的计算,:,对角线法则,2 n,阶行列式的定义,1.,全排列与逆序数,定义,1,如，,1234,和,4312,都是,4,阶排列，而,53142,为一个,5,阶排列。,显然，,n,阶全排列的个数为,n,！个,。,定义,2,例,1,求下列排列的逆序数,逆序数为奇数的排列称为,奇排列,;,逆序数为偶数的排列称为,偶排列,.,2.,n,阶行列式的定义,考察三阶行列式的定义,（,2,）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积，,其中，行标均按自然顺序排列，列标为,3,阶排列，,当列标取遍所有的,3,阶排列后，就得到三阶行列,式代数和中的所有项；,（,3,）每项的正负号都取决于三个元素的列标排列的,奇偶性,（,1,）三阶行列式共有,6,项，即,3,阶排列的个数；,故,定义,3,例,2,计算,下三角形行列式,解,展开式的一般项为,不为零的项只有,定义,4,将一个排列中的两个数位置对调称为对换，,将相邻两个数位置对调称为相邻对换。,定理,1,一次对换改变排列的奇偶性。,定理,2,定理,3,3,行列式的性质,称之为,D,的转置行列式。,记,性质,1,行列式与它的转置行列式相等,.,性质,2,交换行列式的两行（列）,行列式变号,.,说明,行列式中行与列具有同等的地位,因此行列,式的性质凡是对行成立的对列也同样成立,.,例如,推论,1,如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零,.,证明,性质,3,行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数,k,，,等于用数,k,乘此行列式,.,推论,2,行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,推论,3,行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,证明,性质,4,若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,.,则,D,等于下列两个行列式之和：,例如,例,3,解,性质,5,把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列,(,行,),对应的元素上去，行列式不变,例如,1,、行列式与其转置行列式的值相等,;,2,、交换行列式的两行或两列,行列式的值变号,;,3,、用数,k,乘行列式的某一行,(,列,),等于以数,k,乘此,行列式,;,5,、将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数,k,后加到另一行的对应元素上，行列式的值不变,.,行列式的性质,4,、如果行列式的某一列,(,行,),的每一个元素都可写成两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和,;,计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,例,4,THANK YOU,SUCCESS,2025/7/22 周二,25,可编辑,解,将第 列都加到第一列得,例,5,计算,n,阶行列式,4,行列式按行,(,列,),展开,余子式与代数余子式,行列式按行（列）展开法则,在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，余下来的 阶行列式叫做元素 的,余子式,，记作,叫做元素 的,代数余子式,例如,1,、,余子式与代数余子式,2,、行列式按行（列）展开法则,例,6,定理,4,行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,推论,行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,相同,考察下述行列式,同理,关于代数余子式的重要性质,证,用数学归纳法,例,7,证明范德蒙德,(Vandermonde),行列式,n-,1,阶范德蒙德行列式,例,8,计算,n+1,阶行列式,练习：计算,n,阶行列式,5,Cramer,法则,非齐次与齐次线性方程组的概念,Cramer,法则,齐次线性方程组的相关定理,设线性方程组,则称此方程组为,n,元非,齐次线性方程组,;,则称方程组为,n,元齐次线性方程组,.,1,、非齐次与齐次线性方程组的概念,2,、,Cramer,法则,定理,5,如果,n,元线性方程组,的系数行列式,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程,组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解,可以表为,例,9,解线性方程组,解,THANK YOU,SUCCESS,2025/7/22 周二,49,可编辑,