资源描述
2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知二次函数y=2（x﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知的三个顶点均在格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：3，坡高BC＝20，则坡面AB的长度（ ）
A．60 B．100 C．50 D．20
5．如图，在△ABC中，cosB＝，sinC＝，AC＝5，则△ABC的面积是( )
A． B．12 C．14 D．21
6．图中的两个梯形成中心对称，点P的对称点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
7．某水库大坝的横断面是梯形，坝内一斜坡的坡度，则这个斜坡坡角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．下列各点中，在函数y=－图象上的是（ ）
A．（﹣2，4） B．（2，4） C．（﹣2，﹣4） D．（8，1）
9．函数的图象如图所示，那么函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
10．已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．某种商品每件进价为10元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（10≤x≤20且x为整数）出售，可卖出（20﹣x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为_____元．
12．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发，以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动，在运动期间，当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为__________秒．
13．为了提高学校的就餐效率，巫溪中学实践小组对食堂就餐情况进行调研后发现：在单位时间内，每个窗口买走午餐的人数和因不愿长久等待而到小卖部的人数各是一个固定值，并且发现若开一个窗口，45分钟可使等待的人都能买到午餐，若同时开2个窗口，则需30分钟.还发现，若能在15分钟内买到午餐，那么在单位时间内，去小卖部就餐的人就会减少80%.在学校总人数一定且人人都要就餐的情况下，为方便学生就餐，总务处要求食堂在10分钟内卖完午餐，至少要同时开多少______个窗口.
14．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=5，AF平分∠DAE，EF⊥AE，则CF=______．
15．抛物线y＝（x＋2）2－2的顶点坐标是________．
16．在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员 10 次射击的平均成绩都是 7 环，其中甲的成绩的方差为 1.2，乙的成绩的方差为 3.9，由此可知_____的成绩更稳定．
17．如图，⊙O经过A，B，C三点，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，∠P＝46°，则∠C＝_____．
18．如图，的直径垂直弦于点，且，，则弦__________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连结AC、OC、BC．求证：∠ACO=∠BCD．
20．（6分）已知抛物线与轴交于A，B两点(A在B左边)，与轴交于C点，顶点为P，OC=2AO.
(1)求与满足的关系式；
(2)直线AD//BC，与抛物线交于另一点D，△ADP的面积为，求的值；
(3)在(2)的条件下，过(1，-1)的直线与抛物线交于M、N两点，分别过M、N且与抛物线仅有一个公共点的两条直线交于点G，求OG长的最小值.
21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为点、、.
（1）的外接圆圆心的坐标为 .
（2）①以点为位似中心，在网格区域内画出，使得与位似，且点与点对应，位似比为2：1，②点坐标为 .
（3）的面积为 个平方单位.
22．（8分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边BC、DC上，AB2 =BE · DC ，DE:EC=3:1 ，F是边AC上的一点，DF与AE交于点G．
（1）找出图中与△ACD相似的三角形，并说明理由；
（2）当DF平分∠ADC时，求DG:DF的值；
（3）如图，当∠BAC=90°，且DF⊥AE时，求DG:DF的值．
23．（8分）某商业银行为提高存款额，经过最近的两次提高利息，使一年期存款的年利率由1.96%提高至2.25%，平均每次增加利息的百分率是多少？（结果写成a%的形式，其中a保留小数点后两位）
24．（8分）课本上有如下两个命题：
命题1：圆的内接四边形的对角互补.
命题2：如果一个四边形两组对角互补，那么该四边形的四个顶点在同一个圆上.
请判断这两个命题的真、假？并选择其中一个说明理由.
25．（10分）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2015年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2017年计划投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
(1)求每年市政府投资的增长率；
(2)若这两年内的建设成本不变，问从2015到2017年这三年共建设了多少万平方米廉租房？
26．（10分）金牛区某学校开展“数学走进生活”的活动课，本次任务是测量大楼AB的高度.如图，小组成员选择在大楼AB前的空地上的点C处将无人机垂直升至空中D处，在D处测得楼AB的顶部A处的仰角为，测得楼AB的底部B处的俯角为.已知D处距地面高度为12 m，则这个小组测得大楼AB的高度是多少？（结果保留整数.参考数据：，，）
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【解析】结合二次函数解析式，根据函数的性质对各小题分析判断解答即可：
①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本说法错误；
②图象的对称轴为直线x=3，故本说法错误；
③其图象顶点坐标为（3，1），故本说法错误；
④当x＜3时，y随x的增大而减小，故本说法正确．
综上所述，说法正确的有④共1个．故选A．
2、A
【解析】根据根的判别式即可求出k的取值范围．
【详解】根据题意有
解得
故选：A．
本题主要考查根的判别式，掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键．
3、D
【分析】过B点作BD⊥AC于D，求得AB、AC的长，利用面积法求得BD的长，利用勾股定理求得AD的长，利用锐角三角函数即可求得结果．
【详解】过B点作BD⊥AC于D，如图，
由勾股定理得，
，，
∵，即，
在中，，，，
，
∴．
故选：D．
本题考查了解直角三角形以及勾股定理的运用，面积法求高的运用；熟练掌握勾股定理，构造直角三角形是解题的关键．
4、D
【分析】在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．
【详解】Rt△ABC中，BC=20，tanA=1：3；∴AC=BC÷tanA=60，
∴AB20．
故选：D．
本题考查了学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．
5、A
【分析】根据已知作出三角形的高线AD，进而得出AD，BD，CD，的长，即可得出三角形的面积．
【详解】解：过点A作AD⊥BC，
∵△ABC中，cosB=，sinC=，AC=5，
∴cosB==，
∴∠B=45°，
∵sinC===，
∴AD=3，
∴CD==4，
∴BD=3，
则△ABC的面积是：×AD×BC=×3×（3+4）=．
故选A．
此题主要考查了解直角三角形的知识，作出AD⊥BC，进而得出相关线段的长度是解决问题的关键．
6、C
【分析】根据两个中心对称图形的性质即可解答．关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；关于中心对称的两个图形能够完全重合．
【详解】解：根据中心对称的性质：
图中的两个梯形成中心对称，点P的对称点是点C.
故选：C
本题考查中心对称的性质，属于基础题，掌握其基本的性质是解答此题的关键．
7、A
【分析】根据坡度可以求得该坡角的正切值，根据正切值即可求得坡角的角度．
【详解】∵坡度为，
∴，
∵，且α为锐角，
∴．
故选：A．
本题考查了坡度的定义，考查了特殊角的三角函数值，考查了三角函数值在直角三角形中的应用．
8、A
【分析】所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．本题只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是﹣8的，就在此函数图象上
【详解】解:-2×4=-8
故选:A
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数性质是本题的解题关键．
9、D
【解析】首先由反比例函数的图象位于第二、四象限，得出k＜0，则-k＞0，所以一次函数图象经过第二四象限且与y轴正半轴相交．
【详解】解：反比例函数的图象在第二、四象限，
函数的图象应经过第一、二、四象限.
故选D.
本题考查的知识点：
（1）反比例函数的图象是双曲线，当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
（2）一次函数y=kx+b的图象当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限．
10、C
【解析】试题分析：根据直线与圆的位置关系来判定：①直线l和⊙O相交，则d＜r；②直线l和⊙O相切，则d=r；③直线l和⊙O相离，则d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）．因此，
∵⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为5，
∴6＞5，即：d＜r．
∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故选C．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【解析】本题是营销问题，基本等量关系：利润＝每件利润×销售量，每件利润＝每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．
【详解】解：设利润为w元，
则w＝（20﹣x）（x﹣10）＝﹣（x﹣1）2+25，
∵10≤x≤20，
∴当x＝1时，二次函数有最大值25，
故答案是：1．
本题考查了二次函数的应用，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
12、3
【分析】首先利用t表示出CP和CQ的长，根据四边形PQBC是平行四边形时CP=BQ，据此列出方程求解即可．
【详解】解：设运动时间为t秒，如图，
则CP=12-3t，BQ=t，
四边形PQBC为平行四边形
12-3t=t，
解得：t=3，
故答案为
本题考查了平行四边形的判定及动点问题，解题的关键是化动为静，分别表示出CP和BQ的长，难度不大．
13、9
【分析】设每个窗口每分钟能卖人的午餐，每分钟外出就餐有人，学生总数为人，并设要同时开个窗口，根据并且发现若开1个窗口，45分钟可使等待人都能买到午餐；若同时开2个窗口，则需30分钟.还发现，若在15分钟内等待的学生都能买到午餐，在单位时间内，外出就餐的人数可减少80%.在学校学生总人数不变且人人都要就餐的情况下，为了方便学生就餐，调查小组建议学校食堂10分钟内卖完午餐，可列出不等式求解.
【详解】解：设每个窗口每分钟能卖人的午餐，每分钟外出就餐有人，学生总数为人，并设要同时开个窗口，依题意有
，
由①、②得，，代入③得，
所以.
因此，至少要同时开9个窗口.
故答案为：9
考查一元一次不等式组的应用；一些必须的量没有时，应设其为未知数；当题中有多个未知数时，应利用相应的方程用其中一个未知数表示出其余未知数；得到20分钟个窗口卖出午餐数的关系式是解决本题的关键．
14、
【解析】试题分析：证△AEF≌△ADF，推出AE=AD=5，EF=DF，在△ABE中，由勾股定理求出BE=3，求出CE=2，设CF=x，则EF=DF=4-x，在Rt△CFE中，由勾股定理得出方程（4-x）2=x2+22，求出x即可．
试题解析：∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF=∠EAF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠C=90°，AD=BC=5，AB=CD=4，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=∠D=90°，
在△AEF和△ADF中，
，
∴△AEF≌△ADF（AAS），
∴AE=AD=5，EF=DF，
在△ABE中，∠B=90°，AE=5，AB=4，由勾股定理得：BE=3，
∴CE=5-3=2，
设CF=x，则EF=DF=4-x，
在Rt△CFE中，由勾股定理得：EF2=CE2+CF2，
∴（4-x）2=x2+22，
x=，
CF=．
考点：矩形的性质．
15、（-2，-2）
【分析】由题意直接利用顶点式的特点，即可求出抛物线的顶点坐标．
【详解】解：∵y=（x+2）2-2是抛物线的顶点式，
∴抛物线的顶点坐标为（-2，-2）．
故答案为：（-2，-2）．
本题主要考查的是二次函数的性质，掌握二次函数顶点式的特征是解题的关键．
16、甲
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【详解】解：因为S甲2=1.2＜S乙2=3.9，方差小的为甲，所以本题中成绩比较稳定的是甲．
故答案为甲；
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
17、67°
【分析】根据切线的性质定理可得到∠OAP＝∠OBP＝90°，再根据四边形的内角和求出∠AOB，然后根据圆周角定理解答．
【详解】解：∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣46°＝134°，
∴∠C＝∠AOB＝67°，
故答案为：67°．
本题考查了圆的切线的性质、四边形的内角和和圆周角定理，属于常见题型，熟练掌握上述知识是解题关键.
18、
【分析】先根据题意得出⊙O的半径，再根据勾股定理求出BE的长，进而可得出结论．
【详解】连接OB，∵，，
∴OC＝OB＝（CE＋DE）＝5，
∵CE＝3，
∴OE＝5−3＝2，
∵CD⊥AB，
∴BE＝＝．
∴AB＝2BE＝．
故答案为：．
本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
三、解答题(共66分)
19、证明见解析
【分析】根据圆周角定理的推论即可求得.
【详解】证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴．
∴∠A=∠1．
又∵OA=OC，
∴∠1=∠A．
∴∠１＝∠1．
即：∠ACO=∠BCD．
本题考查了圆周角定理的推论：在同圆或等圆中同弧或等弧所对圆周角相等.
20、（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）将抛物线解析式进行因式分解，可求出A点坐标，得到OA长度，再由C点坐标得到OC长度，然后利用OC=2AO建立等量关系即可得到关系式；
（2）利用待定系数法求出直线BC的k，根据平行可知AD直线的斜率k与BC相等，可求出直线AD解析式，与抛物线联立可求D点坐标，过P作PE⊥x轴交AD于点E，求出PE即可表示△ADP的面积，从而建立方程求解；
（3）为方便书写，可设抛物线解析式为：，设，，过点M的切线解析式为，两抛物线与切线联立，由可求k，得到M、N的坐标满足，将（1，-1）代入，推出G为直线上的一点，由垂线段最短，求出OG垂直于直线时的值即为最小值.
【详解】解：（1）
令y=0，，解得，
令x=0，则
∵， A在B左边
∴A点坐标为（-m，0），B点坐标为（4m，0），C点坐标为（0，-4am2）
∴AO=m，OC=4am2
∵OC=2AO
∴4am2=2m
∴
（2）∵
∴C点坐标为（0，-2m）
设BC直线为，代入B（4m，0），C（0，-2m）得
，解得
∵AD∥BC，
∴设直线AD为，代入A（-m，0）得，，
∴
∴直线AD为
直线AD与抛物线联立得，
，解得或
∴D点坐标为（5m，3m）
又∵
∴顶点P坐标为
如图，过P作PE⊥x轴交AD于点E，则E点横坐标为，代入直线AD得
∴PE=
∴S△ADP=
解得
∵m＞0
∴
∴.
（3）在（2）的条件下，可设抛物线解析式为：，
设，，过点M的切线解析式为，
将抛物线与切线解析式联立得：
，整理得，
∵，
∴方程可整理为
∵只有一个交点，
∴
整理得即
解得
∴过M的切线为
同理可得过N的切线为
由此可知M、N的坐标满足
将代入整理得
将（1，-1）代入得
在（2）的条件下，抛物线解析式为，即
∴
整理得
∴G点坐标满足，即G为直线上的一点，
当OG垂直于直线时，OG最小，如图所示，
直线与x轴交点H（5,0），与y轴交点F（0，）
∴OH=5，OF=，FH=
∵
∴
∴OG的最小值为.
本题考查二次函数与一次函数的综合问题，难度很大，需要掌握二次函数与一次函数的图像与性质和较强的数形结合能力.
21、（1）；（2）①见解析；②；（3）4
【分析】（1）由于三角形的外心是三边垂直平分线的交点，故只要利用网格特点作出AB与AC的垂直平分线，其交点即为圆心M；
（2）根据位似图形的性质画图即可；由位似图形的性质即可求得点D坐标；
（3）利用（2）题的图形，根据三角形的面积公式求解即可.
【详解】解：（1）如图1，点M是AB与AC的垂直平分线的交点，即为△ABC的外接圆圆心，其坐标是（2，2）；
故答案为：（2，2）；
（2）①如图2所示；②点坐标为（4，6）；
故答案为：（4，6）；
（3）的面积=个平方单位.
故答案为：4.
本题考查了三角形外心的性质、坐标系中位似图形的作图和三角形的面积等知识，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题关键.
22、（1）△ABE、△ADC，理由见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据相似三角形的判定方法，即可找出与△ACD相似的三角形；
（2）由相似三角形的性质，得，由DE=3CE，先求出AD的长度，然后计算得到；
（3）由等腰直角三角形的性质，得到∠DAG=∠ADF=45°，然后证明△ADE∽△DFA，得到，求出DF的长度，即可得到.
【详解】解：（1）与△ACD相似的三角形有：△ABE、△ADC，理由如下：
∵AB2 =BE · DC ，
∴．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，，
∴△ABE∽△DCA．
∴∠AED=∠DAC．
∵∠AED=∠C+∠EAC，∠DAC=∠DAE+∠EAC，
∴∠DAE=∠C．
∴△ADE∽△CDA ．
（2）∵△ADE∽△CDA，DF平分∠ADC，
∴，
设CE=a，则DE=3CE=3a，CD=4a，
∴ ，解得（负值已舍）
∴；
（3）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45° ，
∴∠DAE=∠C=45°，
∵DG⊥AE，
∴∠DAG=∠ADF=45°，
∴AG=DG=，
∴，
∵∠AED=∠DAC ，
∴△ADE∽△DFA，
∴，
∴，
∴.
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，正确找出证明三角形相似的条件.
23、平均每次增加利息的百分率约为7.14%
【分析】设平均每增加利息的百分率为x，则两次增加利息后，利率为1．96%（1+x）2，由题意可列出方程，求解x即可．
【详解】解：设平均每增加利息的百分率为x，由题意，得
1.96%（1+x）2＝2.25%
解方程得x＝0.0714或-2.0714（舍去）
故平均每次增加利息的百分率7.14%
答：平均每次增加利息的百分率约为7.14%．
此题考查的是一元二次方程的应用，掌握增长率问题的公式是解决此题的关键．
24、命题一、二均为真命题，证明见解析.
【分析】利用圆周角定理可证明命题正确；利用反证法可证明命题2正确．
【详解】命题一、二均为真命题，
命题1、命题2都是真命题．
证明命题1：如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接OA、OC，
∵∠B=∠1，∠D=∠2，
而∠1+∠2=360°，
∴∠B+∠D=×360°=180°，
即圆的内接四边形的对角互补．
本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
25、 (1)50% ；(2)57万平方米
【分析】(1)设每年市政府投资的增长率为x，由3()2=2017年的投资，列出方程，解方程即可；
(2)2016年的廉租房=12(1+50%)，2017年的廉租房=12(1+50%)2，即可得出结果．
【详解】(1)设每年市政府投资的增长率为x，根据题意得：
3()2=6.75，
解得：，或(不合题意，舍去)，
∴，
即每年市政府投资的增长率为；
(2)∵12+12(1+50%)+12(1+50%)2=12+18+27＝57，
∴从2015到2017年这三年共建设了57万平方米廉租房．
本题考查了一元二次方程的应用；熟练掌握列一元二次方程解应用题的方法，根据题意找出等量关系列出方程是解决问题的关键．
26、这个小组测得大楼AB的高度是31 m.
【分析】过点D作于点E，本题涉及到两个直角三角形△BDE、△ADE，通过解这两个直角三角形求得DE、AE的长度，进而可解即可求出答案．
【详解】过点D作于点E，
则，
在中，，
∵，∴，∴.
在中，，
∵，，
∴，
∴.
答：这个小组测得大楼AB的高度是31 m.
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题．解直角梯形可以通过作高线转化为解直角三角形和矩形的问题．
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
