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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,直播课程一,第1页,第2页,第3页,第4页,第5页,正是在那个时候，数学家逐步发觉分析基础本身还存在着许多问题。比如，什么是函数这个看上去简单而且十分主要问题，数学界并没有形成一致看法。以至长久争论问题这么和那样解答，这么和那样数学结果，弄不清终究谁是正确。,第6页,第7页,第8页,第9页,比如，连续函数必定可积，不过,含有什么性,质不连续函数也可积,呢？假如改变积分定义，可积分条,件又是什么样？连续函数不一定,可导，那么可导充分必要条件又是,什么样？,第10页,第11页,第12页,第13页,第14页,什么,是,测度呢？简单地说，,线,段长度,平面,图形,面积,空间,立,体,体积,就是它测度。,测度概念,对于实变函数论十分主要。集合测,度这个概念是由法国,数学家勒贝格,提出来。,第15页,第16页,第17页,第18页,第19页,第20页,数学分析中最主要概念之一是黎曼积分。从黎曼积分记号,能够看出，它含有,两个要素,及,一个运算,（1）,积分区间,（2）,被积函数,（3）,积分运算,第21页,R-积分不足,可积性不易验证。,积分与极限交换次序条件太苛刻。,积分不完全是微分逆运算,。,第22页,本课程中心内容：,推广黎曼积分为勒贝格积分,记号：,注意,这里,E,是欧几里德(Euclid)空间,点集,，,无须是区间,，,是,可测函数,，而积分运 算依赖所考虑,测度,。,第23页,主要内容,集合论,空间点集论,测度论,可测函数,Lebesgue积分论,第24页,第一章,集 合,主要内容,集合及其运算,集对等及其基数,第25页,基本要求,1,了解集概念，分清集元与集归属关系，,集与集之间包含关系区分。,2,掌握,集之间并、交、差、余运算。,3,掌握集列上、下限集概念及其交并表示。,4,了解集列收敛、单调集列概念。,5,掌握映射，两集合对等及集合基数等概念。,6,了解伯恩斯坦定理（不要求掌握证实），能利用,定义及伯恩斯坦定理证实两集合对等。,7,了解可数集，不可数集意义，,掌握,可数集、,基数为,C,集合性质，了解不存在最大基数定理,意义。,第26页,可数集性质,任何无限集必,含有可数子集,可数集子集,至多是可数。,即或为有限,集或为可数集。,可数个可数集并,集是可数集。,第27页,A=,n,x,x,x,a,2,1,L,(,),(,),(,),n,k,x,x,x,k,k,k,.,2,1,;,2,1,L,L,=,=,则,A,为可数集。,D.可,数个可数集并集是可数集。若A中每个元素由n个相互独立记号所决定,，,各记号跑遍一个可数集,第28页,例1：证实,第29页,第30页,例2,第31页,第32页,例3：证实,第33页,第34页,直播课程二,第35页,例4：,第36页,第37页,第二章,点 集,主要内容,度量空间、,n,维欧氏空间介绍,聚点、内点、界点等概念,开集、闭集、完备集。,直线上开集、闭集及完备集结构。,第38页,1,明确,n,维欧氏空间中极限概念主要依,赖于距离这个概念，从而了解邻域概念在极,限理论中作用。,2,了解聚点，孤立点、内点、外点、界,点意义，掌握相关性质。,3,了解开集、闭集、完备集意义，掌,握其性质。,4,了解直线上开集、闭集、完备集构,造。,5,了解康托集结构、特征。,基本要求,第39页,例1,第40页,第41页,例2,第42页,第43页,主要内容,外测度及其性质。,Lebesgue,可测集及其性质。,基本要求,了解测度意义。,了解外测度意义，,掌握,其相关性质。,了解可测集定义，,掌握,可测集性质,。,了解并掌握不可测集存在性这一结论。,第三章测 度 论,第44页,例1,例2,第45页,第46页,例3,第47页,第48页,例4,第49页,第50页,例5,第51页,第52页,例6,第53页,第54页,例7,第55页,第56页,例8,第57页,第四章,可 测 函 数,主要内容,可测函数及其性质。,叶果洛夫定理。,可测函数结构。,依测度收敛。,第58页,基本要求,1,掌握,可测函数定义及等价定义。,2,掌握,可测函数相关性质。,3,了解简单函数定义，,掌握,可测函数,与简单函数关系。,4,掌握,可测函数列收敛点集和发散点,集表示,方法。,5,掌握,叶果洛夫定理，鲁津定理。,6,了解依测度收敛意义，,掌握,依测度收,敛与,a,e,收敛联络与区分。,第59页,第60页,例1,第61页,第62页,例2,第63页,第64页,例3,第65页,第66页,第五章,积 分 论,主要内容,黎曼积分简单回顾。,勒贝格积分建立和性质。,积分极限定理。,有界变差函数。,不定积分与绝对连续函数。,第67页,基本要求,1,了解黎曼可积充要条件是被积函数几乎处处,连续（不要求掌握证实）。,2,了解勒贝格积分定义及其建立过程。,3,了解,R,积分与,L,积分关系。,4,了解,L,积分性质，尤其是掌握,L,积分绝对,可积性和绝对连续性。,5,掌握,勒贝格控制收敛定理、列维定理、逐项积,分定理、积分可数可加性定理，法都引理。,6,了解有界变差函数及全变差定义，掌握其性,质。,7,了解有界变差函数导数性质。,8,了解不定积分与绝对连续函数意义。,第68页,例,1,、,设,(,),=,有理数,，,是,无理数,，,是,1,0,1,0,2,x,x,x,x,x,f,问,(,),1,0,，,在,x,f,上,是,否,黎曼,可,积,？,是,否,勒贝格可,积,？若可积，则计算其,积,分值。,第69页,答：,(,),1,0,，,在,x,f,上不黎曼可积，,因为,),(,x,f,不连续点集为,),1,0,(,，不是零测集。但,上有界可测。从而勒贝格,可积。,(,),1,0,，,在,x,f,第70页,记,1,E,为,1,0,有理数，,2,E,为,1,0,无理数，则,(,),2,1,0,.,1,0,2,1,0,2,1,2,2,1,=,=,+,=,+,=,+,=,dx,x,dx,x,dx,x,dx,x,dx,x,dx,x,dx,x,f,E,E,E,E,E,第71页,例,2,计算：,xdx,e,x,n,nx,x,n,5,1,0,2,2,cos,1,lim,-,+,第72页,解,L,2,1,1,0,cos,1,),(,5,2,2,=,+,=,-,n,x,x,e,x,n,nx,x,f,x,n,则,1,|,),(,|,x,f,n,且对任何,1,0,x,都,有,0,),(,lim,=,x,f,n,n,。,显然,(,),x,f,n,可测，,由,Lebesgue,控制收敛定理，,第73页,
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