定西职业技术学院《数学物理方法概论》2023-2024学年第一学期期末试卷.doc

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定西职业技术学院
《数学物理方法概论》2023-2024学年第一学期期末试卷
题号
一
二
三
四
总分
得分

一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、计算二重积分∫∫D(x + y)dxdy，其中 D 是由直线 x = 0，y = 0 和 x + y = 1 所围成的三角形区域。（ ）
A.1/2 B.1/3 C.1/4 D.1/6

2、函数在点处沿向量方向的方向导数为（ ）
A.
B.
C.
D.

3、设函数，则等于（ ）
A.
B.
C.
D.

4、若，，则等于（ ）
A.
B. 12
C.
D.

5、设函数 f(x)=∫(0 到 x)t³e^(-t²)dt，求 f'(x)。（ ）
A.x³e^(-x²) B.(x³/3)e^(-x²) C.(x³/2)e^(-x²) D.(x³/4)e^(-x²)

6、已知函数，求函数的最小正周期。（ ）
A. B. C. D.

7、设函数 z = x² + y²，其中 x = r*cosθ，y = r*sinθ，那么∂z/∂θ =（ ）
A.-2r²sinθcosθ B.2r²sinθcosθ C.-r²sin2θ D.r²sin2θ

8、已知函数 f(x,y)=ln(x² + y²)，则函数在点(1,1)处的梯度为（ ）
A.(2/2,2/2) B.(1/2,1/2) C.(2/√2,2/√2) D.(1/√2,1/√2)

9、若向量，向量，且向量与向量垂直，那么的值是多少？（ ）
A. B. C. D.

10、已知函数，则函数在区间上的平均值是多少？（ ）
A.0 B. C. D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）
1、求曲线的拐点为______________。

2、已知函数，则当趋近于 0 时，的极限值为______________。

3、求由曲线，轴以及区间所围成的图形的面积为____。

4、有一函数，求其在区间上的定积分值为____。

5、设函数，则在点处沿方向的方向导数为______。

三、证明题（本大题共3个小题，共30分)
1、（本题10分）设函数在[0,1]上具有二阶导数，且满足条件，，其中。证明：对任意，有。

2、（本题10分）设函数在[a,b]上可导，且（为常数）。证明：。

3、（本题10分）设函数在[0,1]上二阶可导，且，。证明：存在，使得。

四、解答题（本大题共2个小题，共20分)
1、（本题10分）计算二重积分，其中是由直线，和所围成的区域。

2、（本题10分）求由曲线，直线，以及轴所围成的平面图形的面积。

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