北方民族大学《数学建模竞赛训练》2023-2024学年第一学期期末试卷.doc

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北方民族大学《数学建模竞赛训练》
2023-2024学年第一学期期末试卷
题号
一
二
三
四
总分
得分

一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、曲线与直线和所围成的图形的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.

2、设有向量场 F(x,y,z)=(x²y,xy²,z²)，则通过曲面∑：z = x² + y²，z∈[0,1]，外侧的通量为（ ）
A.π/2；B.π；C.3π/2；D.2π

3、当时，下列函数中哪个是比高阶的无穷小？（ ）
A.
B.
C.
D.

4、已知向量 a=(2,1,-1)，向量 b=(1,-1,2)，求向量 a 与向量 b 的叉积。（ ）
A.(1,-5,-3) B.(-1,5,3) C.(1,5,3) D.(-1,-5,-3)

5、设函数，求函数的极小值点是多少？（ ）
A. B. C. D.

6、设函数，则等于（ ）
A.
B.
C.
D.

7、已知函数，求在点处的梯度是多少？（ ）
A. B. C. D.

8、设函数 f(x)=x*sinx，判断函数在区间(-∞,+∞)上的奇偶性为（ ）
A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.无法确定

9、曲线的拐点是（ ）
A. 和
B. 和
C. 和
D. 和

10、求微分方程的通解是什么？（ ）
A. B. C. D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）
1、求不定积分的值为______。

2、设函数，则为____。

3、求微分方程的通解为____。

4、求曲线在点处的切线方程为____。

5、设函数，求该函数在处的导数为____。

三、解答题（本大题共3个小题，共30分)
1、（本题10分）设函数，求函数的单调区间。

2、（本题10分）已知向量，，求向量与向量的夹角。

3、（本题10分）求由曲线与直线所围成的平面图形的面积。

四、证明题（本大题共2个小题，共20分)
1、（本题10分）设函数在上连续，在内可导，且，（为有限数）。证明：对于任意实数，存在，使得。

2、（本题10分）设函数在[0,1]上二阶可导，且，，证明：对于任意，。

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