哈尔滨学院《数学分析Ⅱ》2023-2024学年第一学期期末试卷.doc

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哈尔滨学院《数学分析Ⅱ》
2023-2024学年第一学期期末试卷
题号
一
二
三
四
总分
得分

一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、计算定积分∫(0 到π)xsinx dx。（ ）
A.π B.2π C.π² D.2π²

2、函数在点处沿向量方向的方向导数为（ ）
A.
B.
C.
D.

3、设函数 f(x)=ln(x² + 1)，则 f'(x)的表达式为（ ）
A.2x/(x² + 1) B.1/(x² + 1) C.2x/(x² - 1) D.1/(x² - 1)

4、设，则y'等于（ ）
A.
B.
C.
D.

5、设函数，求函数的极值点个数。（ ）
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

6、计算二重积分∫∫D(x + y)dxdy，其中 D 是由直线 x = 0，y = 0 和 x + y = 1 所围成的三角形区域。（ ）
A.1/2 B.1/3 C.1/4 D.1/6

7、级数的和为（ ）
A.
B.
C.
D.

8、函数的极小值是（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

9、设函数，求函数的单调递减区间是多少？利用导数求函数单调区间。（ ）
A.和 B. C.和 D.

10、对于函数，求其导数是多少？复合函数求导。（ ）
A. B. C. D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）
1、已知函数，则的值为____。

2、求定积分的值为____。

3、求由曲线，轴以及区间所围成的图形的面积为____。

4、计算不定积分的值为____。

5、设，则的导数为____。

三、解答题（本大题共3个小题，共30分)
1、（本题10分）设函数，求的导数。

2、（本题10分）求幂级数的收敛半径和收敛区间。

3、（本题10分）已知数列满足，，证明数列收敛，并求其极限。

四、证明题（本大题共2个小题，共20分)
1、（本题10分）设在[0,1]上二阶可导，且，。证明：存在，使得。

2、（本题10分）设函数在[a,b]上连续，在内可导，且，，。证明：对于任意的正整数，存在，使得。

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