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第三章 直线与方程知识点及典型例题
1. 直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
2. 直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k表示。即k=tana。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
当时，； 当时，； 当时，不存在。
x
y
o
a1
a2
l1
l2
例.如右图，直线l1的倾斜角a=30°，直线l1⊥l2，求直线l1和l2的斜率.
解：k1=tan30°= ∵l1⊥l2 ∴ k1·k2 =—1
∴k2 =—
例：直线的倾斜角是( )
A.120° B.150° C.60° D.30°
②过两点P1 (x1，y1)、P1(x1，y1) 的直线的斜率公式：
注意下面四点：
(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；
(2)k与P1、P2的顺序无关；
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
例.设直线 l1经过点A(m，1)、B(—3，4)，直线 l2经过点C(1，m)、D(—1，m+1)，
当(1) l1/ / l2 (2) l1⊥l1时分别求出m的值
※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。
3. 直线方程
①点斜式：直线斜率k，且过点
注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。
②斜截式：y=kx+b，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b
③两点式：（）直线两点P1 (x1，y1)、P1(x1，y1)
④截矩式：其中直线与轴交于点(a，0)，与y轴交于点(0，b),即l与x轴、y轴的
截距分别为a、b。
注意：一条直线与两条坐标轴截距相等分两种情况 ①两个截距都不为0 ②或都为0 ；
但不可能一个为0，另一个不为0. 其方程可设为：或y=kx.
⑤ 一般式：Ax+By+C=0（A，B不全为0）
注意：(1)在平时解题或高考解题时，所求出的直线方程，一般要求写成斜截式或一般式。
(2)各式的适用范围 (3)特殊式的方程如：
平行于x轴的直线：（b为常数）； 平行于y轴的直线：（a为常数）；
例题：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：
(1)斜率是，经过点A(8，—2)； .
(2)经过点B(4,2)，平行于x轴； .
(3)在轴和轴上的截距分别是； .
(4)经过两点P1(3，—2)、P2(5，—4)； .

例1：直线的方程为Ax+By+C=0，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（ ）
A．C=0，B>0 B．C=0，B>0，A>0
C．C=0，AB<0 D．C=0，AB>0
例2：直线的方程为Ax—By—C=0，若A、B、C满足AB.>0且BC<0，则l直线不经的象限是（ ）
A．第一 B．第二 C．第三 D．第四
4. 两直线平行与垂直
当，时，
；
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
5. 已知两条直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，
(A1与B1及A2与B2都不同时为零)
若两直线相交，则它们的交点坐标是方程组的一组解。
两条直线的交角：
两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有.
若方程组无解 ； 若方程组有无数解与重合
6. 点的坐标与直线方程的关系

几何元素
代数表示
点P
坐标P(xo，yo)
直线l
方程Ax+By+C=0
点P(xo，yo)在直线l上
坐标满足方程：Ax+By+C=0
点P(xo，yo)是l1、l2的交点
坐标(xo，yo)满足方程组

7. 两条直线的位置关系的判定公式
A1B2—A2B1≠0
方程组有唯一解
两直线相交

或A1C2—A2C1 ≠ 0
无解
两直线平行

或A1C2—A2C1 = 0
有无数个解
两直线重合
两条直线垂直的判定条件：当A1、B1、A2、B2满足 时l1⊥l2。
答：A1A2+B1B2=0
经典例题；
例1.已知两直线l1： x+(1+m) y =2—m和l2：2mx+4y+16=0，m为何值时l1与l2①相交②平行
解：
例2. 已知两直线l1：(3a+2) x+(1—4a) y +8=0和l2：(5a—2)x+(a+4)y—7=0垂直，求a值
解：
例3.求两条垂直直线l1：2x+ y +2=0和l2： mx+4y—2=0的交点坐标
解：
例4. 已知直线l的方程为，
(1)求过点（2，3）且垂直于l的直线方程；(2)求过点（2，3）且平行于l的直线方程。

8. 两点间距离公式：设A(x1，y1)、B(x2，y2)是平面直角坐标系中的两个点，
则|AB|=
9. 点到直线距离公式：一点P(xo，yo)到直线l：Ax+By+C=0的距离
10. 两平行直线距离公式
例：已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，
则l1与l2的距离为
例1：求平行线l1：3x+ 4y —12=0与l2： ax+8y+11=0之间的距离。

例2：已知平行线l1：3x+2y —6=0与l2： 6x+4y—3=0，求与它们距离相等的平行线方程。

11. 直线系方程
已知两条直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，(A1与B1及A2与B2都不同时为零)
若两直线相交，则过它们的交点直线方程可以表示为：
l：A1x+B1y+C1+l(A2x+B2y+C2) =0或者l (A1x+B1y+C1)+ A2x+B2y+C2 =0都可以
例1：直线l：(2m+1)x+(m+1)y—7m—4=0所经过的定点为 。(m∈R)
例2：求满足下列条件的直线方程
(1) 经过点P(2，3)及两条直线l1： x+3y—4=0和l2：5x+2y+1=0的交点Q；
(2) 经过两条直线l1： 2x+y—8=0和l2：x—2y+1=0的交点且与直线4x—3y—7=0平行；
(3) 经过两条直线l1： 2x—3y+10=0和l2：3x+4y—2=0的交点且与直线3x—2y+4=0垂直；
解：

12. 中点坐标公式：已知两点P1 (x1，y1)、P1(x1，y1)，则线段的中点M坐标为(，)
例. 已知点A(7，—4)、B(—5,6),求线段AB的垂直平分线的方程。

13、对称问题：
①关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.
②关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.
若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.
③点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.
注：①曲线、直线关于一直线对称的解法：y换x，x换y. 例：曲线f(x ,y)=0关于直线y=x–2对称曲线方程是f(y+2 ,x –2)=0.
②曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a – x, 2b – y)=0.
例1：已知直线l：2x—3y+1=0和点P(—1，—2).
(1) 分别求：点P(—1，—2)关于x轴、y轴、直线y=x、原点O的对称点Q坐标
(2) 分别求：直线l：2x—3y+1=0关于x轴、y轴、直线y=x、原点O的对称的直线方程.
(3) 求直线l关于点P(—1，—2)对称的直线方程。
(4) 求P(—1，—2)关于直线l轴对称的直线方程。

例2：点P(—1，—2)关于直线l： x+y—2=0的对称点的坐标为 。

例3：已知圆C1：(x+1)2+(y—1)2=1与圆C2关于直线x—y—1=0对称，则圆C2的方程为： 。
A. (x+2)2+(y—2)2=1 B. (x—2)2+(y+2)2=1 C. (x+2)2+(y+2)2=1 D. (x—2)2+(y—2)2=1

[基础训练A组]
一、选择题
1．设直线的倾斜角为，且，
则满足（ ）
A． B．
C． D．
2．过点且垂直于直线 的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知过点和的直线与直线平行，
则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．已知，则直线通过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
5．直线的倾斜角和斜率分别是（ ）
A． B．
C．，不存在 D．，不存在
6．若方程表示一条直线，则实数满足（ ）
A． B．
C． D．，，
二、填空题
1．点 到直线的距离是________________.
2．已知直线若与关于轴对称，则的方程为__________;
若与关于轴对称，则的方程为_________;
若与关于对称，则的方程为___________;
3． 若原点在直线上的射影为，则的方程为____________________。
4．点在直线上，则的最小值是________________.
5．直线过原点且平分的面积，若平行四边形的两个顶点为
，则直线的方程为________________。
三、解答题
1．已知直线，
（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；
（2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交；
（3）系数满足什么条件时只与x轴相交；
（4）系数满足什么条件时是x轴；
（5）设为直线上一点，
证明：这条直线的方程可以写成．
2．求经过直线的交点且平行于直线
的直线方程。
3．经过点并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？
请求出这些直线的方程。
4．过点作一直线，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为．

（数学2必修）第三章 直线与方程
[综合训练B组]
一、选择题
1．已知点，则线段的垂直平分线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．若三点共线 则的值为（　　）
Ａ．　　 Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ．
3．直线在轴上的截距是（ ）
A． B． C． D．
4．直线，当变动时，所有直线都通过定点（ ）
A． B．
C． D．
5．直线与的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直
C．斜交 D．与的值有关
6．两直线与平行，则它们之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．已知点，若直线过点与线段相交，则直线的
斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
1．方程所表示的图形的面积为_________。
2．与直线平行，并且距离等于的直线方程是____________。
3．已知点在直线上，则的最小值为
4．将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，且点与点重合，则的值是___________________。
５．设，则直线恒过定点 ．
三、解答题
1．求经过点并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是的直线方程。

2． 一直线被两直线截得线段的中点是点，当点分别为，时，求此直线方程。

3、把函数在及之间的一段图象近似地看作直线，设，
证明：的近似值是：．

4．直线和轴，轴分别交于点，在线段为边在第一象限内作等边△，如果在第一象限内有一点使得△和△的面积相等，
求的值。

（数学2必修）第三章 直线与方程
[提高训练C组]
一、选择题
1．如果直线沿轴负方向平移个单位再沿轴正方向平移个单位后，
又回到原来的位置，那么直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
2．若都在直线上，则用表示为（ ）
A． B． C． D．
3．直线与两直线和分别交于两点，若线段的中点为
，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
4．△中，点,的中点为,重心为，则边的长为（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法的正确的是（ ）
A．经过定点的直线都可以用方程表示
B．经过定点的直线都可以用方程表示
C．不经过原点的直线都可以用方程表示
D．经过任意两个不同的点的直线都可以用方程
表示
6．若动点到点和直线的距离相等，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
1．已知直线与关于直线对称，直线⊥，则的斜率是______.
2．直线上一点的横坐标是，若该直线绕点逆时针旋转得直线，
则直线的方程是 ．
3．一直线过点，并且在两坐标轴上截距之和为，这条直线方程是__________．
4．若方程表示两条直线，则的取值是 ．
5．当时，两条直线、的交点在 象限．
三、解答题
1．经过点的所有直线中距离原点最远的直线方程是什么？

2．求经过点的直线，且使，到它的距离相等的直线方程

3．已知点，，点在直线上，求取得
最小值时点的坐标。

4．求函数的最小值。

第三章 直线和方程 答案 [基础训练A组]
一、选择题
1.D
2.A 设又过点，则，即
3.B 4.C
5.C 垂直于轴，倾斜角为，而斜率不存在
6.C 不能同时为
二、填空题
1.
2.
3.
4. 可看成原点到直线上的点的距离的平方，垂直时最短：
5. 平分平行四边形的面积，则直线过的中点
三、解答题
1. 解：（1）把原点代入，得；（2）此时斜率存在且不为零
即且；（3）此时斜率不存在，且不与轴重合，即且；
（4）且
（5）证明：在直线上

。
2. 解：由，得，再设，则
为所求。
3. 解：当截距为时，设，过点，则得，即；
当截距不为时，设或过点，
则得，或，即，或
这样的直线有条：，，或。
4. 解：设直线为交轴于点，交轴于点，

得，或
解得或
，或为所求。
第三章 直线和方程 [综合训练B组]
一、选择题
1.B 线段的中点为垂直平分线的，
2.A
3.B 令则
4.C 由得对于任何都成立，则
5.B
6.D 把变化为，则
7.C
二、填空题
1. 方程所表示的图形是一个正方形，其边长为
2.，或
设直线为
3. 的最小值为原点到直线的距离：
4． 点与点关于对称，则点与点
也关于对称，则，得
5. 变化为
对于任何都成立，则
三、解答题
1.解：设直线为交轴于点，交轴于点，

得，或
解得或 ，或为所求。
2.解：由得两直线交于，记为，则直线
垂直于所求直线，即，或
，或， 即，或为所求。
1. 证明：三点共线，
即
即 的近似值是：
2. 解：由已知可得直线，设的方程为
则，过
得
第三章 直线和方程 [提高训练C组]
一、选择题
1.A
2.D
3.D 4.A
5.D 斜率有可能不存在，截距也有可能为
6.B 点在直线上，则过点且垂直于已知直线的直线为所求
二、填空题
1.
2. 的倾斜角为
3.，或
设

4. 5.二
三、解答题
1. 解：过点且垂直于的直线为所求的直线，即

2. 解：显然符合条件；当，在所求直线同侧时，
，或
3. 解：设，
则
当时，取得最小值，即
4. 解：可看作点
到点和点的距离之和，作点关于轴对称的点