线性代数(同济六版)知识点总结.doc

1. 二阶行列式--------对角线法则 : a11 a12a21 a22= a11a22 -a12a21
2. 三阶行列式
①对角线法则

②按行（列）展开法则
3. 全排列：n个不同的元素排成一列。
所有排列的种数用Pn 表示， Pn = n！
逆序数：对于排列p1 p2… pn，如果排在元素pi前面，且比pi大的元素个数有ti个，则pi这个元素的逆序数为ti。
整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。
奇排列：逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。n个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即n!2
对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.
4.
其中：j1j2j3 是1,2,3的一个排列，
t(j1j2j3)是排列 j1j2j3 的逆序数

5.
下三角行列式: 副三角跟副对角相识

对角行列式： 副对角行列式：

6. 行列式的性质：
①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。D = DT
②互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论 ：两行（列）相同的行列式值为零。 互换两行：ri↔ rj
③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k，等于用数 k 乘此行列式。第i行乘k：ri x k
推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面
④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0
⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。如：

⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。如

第j列的k倍加到第i列上：ci+kcj

7. 重要性质：利用行列式的性质 ri+krj 或 ci+kcj ，可以把行列式化为上（下）三角行列式，从而计算n阶
行列式的值。（P11页例7）
8. 行列式按行（列）展开法则（***重要***）
①重要概念：
余子式：在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去, 剩下的( n −1 )2 个元素按原来的排法构 成的 n − 1 阶行列式 叫做aij 的余子式，记为Mij
代数余子式：记 Aij = ( −1 ) i+j Mij 为元素 aij 的代数余子式 。
②重要性质，定理
1）第i行各元素的余子式，代数余子式与第i行元素的取值无关。
或
2）行列式按行（列）展开法则：行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和， 即：

推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即

或

使用该法则计算行列式的值：先选取存在最多0的行（列），从该行选取一个非0元素aij，并将该行其他元素
通过性质化为0，则D = aij Aij
9. 利用Cramer法则求解n个n元线性方程组：
①若非齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则方程组有唯一解。等于0，则无解

其中 Dj(j=1,2…n) 是把系数行列式中的第j列的元素用方程组右边的常数项代替后所得到的的n阶行列式

即：

②对于齐次线性方程组，如果系数行列式D ≠ 0，则该方程组只有零解，若D = 0，则存在非零解。
第二章
1. 矩阵相关的概念：
矩阵：由 m×n 个数 aij (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)排成的 m 行 n 列的数表(是一组数)。
行（列）矩阵：只有一行（列）的矩阵，又称为行（列）向量。
同型矩阵：行数，列数均相等的两个矩阵
A=B ： 矩阵A和矩阵B为同型矩阵，且对应的元素相等。
零矩阵：所有元素为0的矩阵，记为O，不同型的零矩阵是不相等的。
对角矩阵：对角线元素为，其余元素为0的方阵 单位矩阵：对角线元素为１，其余元素为0的方阵，

2. 矩阵的运算
1）加法：只有两个矩阵为同型矩阵时，才能进行加法运算。A+B等于对应元素相加起来。满足交换律和结合律
2）数与矩阵相乘
①，②，
③
3）矩阵与矩阵相乘：要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数；Am×s×Bs×n
乘积矩阵的行数为前一个矩阵的行数，列数为后一个矩阵的列数；Cm×n

即：乘积矩阵的第行，第列元素为前一个矩阵的第行元素与后一个矩阵的第行元素对应相乘再相加。
注意：一般情况下：AB ≠ BA。 但是满足结合律和分配律。
EA = AE = A
4）矩阵的幂：若 A 是 n 阶方阵，则：
A2=AA A3=AA2 …… Ak=AAk-1 显然：
A、B可交换时才成立

3. 矩阵的转置：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，记作AT .
如：

性质：

设A为n阶方阵，如果满足 A= AT，即aij=aji ，则A为对称阵
如果满足 A= -AT，即aij=-aji ，则A为反对称阵
4. 方阵的行列式：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作|A|或det A.
性质：①，②，③。
5. 伴随矩阵：其中Aij是aij的代数余子式，称为的伴随矩阵。（特别注意符号）
注意：元素aij的代数余子式Aij是位于A*的第j行第i列（类似于转置）
性质：AA*= A*A= AE

6. 逆矩阵：对于n 阶方阵 A，如果有 n 阶方阵 B，使得AB = BA = E，则称A可逆，
B为A的逆矩阵，记为A-1。且A的逆矩阵是唯一的。
判断方阵A是否可逆：A ≠ 0 A可逆，且逆矩阵A-1= 1AA*
A = a bc d -----> A-1=1ad-bcd -b-c a
推论：若A ≠ 0，则A-1= 1A*。此时称A为非奇异矩阵。若A=0，则称A为奇异矩阵。
二阶矩阵的逆矩阵：主对角线两数对调，副对角线两数反号。
单位矩阵E是可逆的 E= E-1。零矩阵是不可逆的。
对角矩阵的逆矩阵：对角线上每个元素取倒数。
推论：如果 n 阶方阵A、B可逆，那么A-1、AT 、 λA (λ≠0)、AB也可逆
（5）A-1= A-1
且：

用逆矩阵求解线性方程组：
已知 AXB=C，若AB可逆，则 X= A-1CB-1（A在X左边，则A-1必须在C左边，B也如此）
7. 矩阵分块法：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作称为对矩阵进行分块；
每一个小块称为矩阵的子块；矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
分块矩阵的运算：（其运算与矩阵运算基本一致）
1）加法：要求矩阵A和B是同型矩阵，且采用相同的分块法(即相对应的两个子块也是同型的)
2）分块矩阵A的转置AT：除了A整体上需转置外，每一个子块也必须得转置。
8. 分块对角矩阵：
设 A 是 n 阶矩阵，若：
①A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，
②其余子块都为零矩阵
③对角线上的子块都是方阵
则称A为分块对角矩阵。
性质：①| A | = | A1 | | A2 | … | As |
②若| As | ≠0，则 | A | ≠0，并且

分块副对角矩阵：O AB O-1= O B-1A-1 O
A = O 的充分必要条件：ATA= O
第三章
1. 初等行变换：（运算符号：~）---- 注意与行列式的运算加以区分
①互换两行，记做ri↔rj ②第i行乘以非0常数k，记做ri×k ③第j行的k倍加到第i行上，记做ri+krj
2. 若矩阵A经过有限次初等变换成矩阵B，则称A与B等价，记做A~B
Am×n~Bm×n的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P 及 n 阶可逆矩阵 Q ，使 PAQ = B
3. 矩阵之间等价关系的性质：
①反身性：A~A ②对称性：若A~B，则B~A ③传递性：若A~B，B~C，则A~C
4. 行阶梯形矩阵：
1）可画出一条阶梯线，线的下方全为零；
2）每个台阶只有一行；
3）阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.
行最简形矩阵：
4）非零行的首非零元为1;
5）首非零元所在的列的其它元素都为零.
5. 初等矩阵：由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵。（是可逆的）
1）单位矩阵对换i，j行，记作 Em(i,j) Em(i,j)-1= Em(i,j)
2）以常数 k≠0 乘单位矩阵第 i 行（列）， 记作Em(i(k)) Em(i(k))-1=Em(i(1k))
3）以 k 乘单位矩阵第 j 行加到第 i 行，记作Em(i,j(k)) Em(i,j(k))-1=Em(i,j(-k))
性质1：左行右列
设A是一个 m×n 矩阵，
对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；
对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.
性质2：方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1, P2, …, Pl，使 A = P1 P2 …, Pl ．
r
r
推论：方阵 A 可逆的充要条件是
如果A~B ，则存在可逆矩阵P，使PA = B。⇔ (A,E)~(B,P)：即当A变换成B是时，E变为P（求P）
求方阵A的逆矩阵 方法总结：
方法1：①判断A可不可逆：若A≠0 ⇔ A可逆 --- 书中P41页
r
②A-1= 1AA* ：注意伴随矩阵里每个代数余子式对应的符号
r
方法2：本身蕴含了判断A可不可逆的条件，即 A ~ E ⇔ A可逆 --- 书中P64页例2
(A,E)~(E,A-1) ：即对矩阵 (A,E) 进行初等行变换，当A变成E时，E就变成了所求的 A-1

r
求A-1B：该方法用来求方程组 AX= B ⇔ X= A-1B --- 若XA= B，可先化为 ATXT= BT
方法：A,B ~ (E,A-1B) ：即对矩阵 (A,B) 进行初等行变换，当A变成E时，B就变成了所求的 A-1B

二、 矩阵的秩
1. k阶子式：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤ n)，位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它 们在 A中所处的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式．
m×n 矩阵A的k阶子式共有 Cmk• Cnk 个
2. 矩阵的秩：设矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)。零矩阵的秩等于0。
常用：
1）对于n阶方阵A，R(A) = n (称A满秩) ⇔ A≠0 ⇔ A可逆
求秩方法：将矩阵化为行阶梯形矩阵
2）若 A~B，则R(A) = R(B)
3）对于行阶梯形矩阵，它的秩等于非零行的行数
4）RAT=R(A)
5）若P、Q可逆，则R(PAQ) = R(A) (∵A~B⇔PAQ=B)
即：可逆矩阵与任何矩阵A相乘，都不会改变所乘矩阵A的秩
6）max { R(A), R(B) } ≤ R(A, B) ≤ R(A) + R(B)
当B = b为非零列向量时，R(A) ≤ R(A, B) ≤ R(A) +１
7）R(A+B) ≤ R(A) + R(B)
8）R(AB) ≤ min{R(A), R(B)}
3. 线性方程组的解
n元非齐次线性方程组 Ax= b --- P75页例13 P79页17题
①有唯一解 ⇔ RA=RA,b=n
②有无限解 ⇔ RA=RA,b<n
1）无解 ⇔ RA<R(A,b)
2）有解 ⇔ RA=R(A,b)

n 元齐次线性方程组 Ax= b有非零解 ⇔ R(A ) < n
第四章
一、向量组及线性组合
1. n 维向量：n 个有次序的数 a1 , a2 , …, an 所组成的数组。这 n 个数称为该向量的 n个分量，
第 i 个数 ai 称为第 i 个分量．
2. 向量组：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合
3. 给定向量组 A：a1, a2, …, am ，对于任何一组实数k1, k2, … , km ，表达式
k1a1 + k2a2 + … + km am
称为向量组 A 的一个线性组合。k1, k2, …, km 称为这个线性组合的系数．
4. 给定向量组 A：a1, a2, …, am 和向量 b，如果存在一组实数 l1, l2, …, lm ，使得
b = l1a1 + l2a2 + … + lm am
则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组A 的线性表示．
向量 b 能由向量组A 的线性表示 ⇔ R(A) = R(A, b) ⇔ 方程组x1a1 + x2a2 + … + xm am = b 有解
5. 设有向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl ， 若向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，
则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示．若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个向量组等价．
两个向量组等价 ⇔ R(A) = R(B) = R(A, B)
6. 向量组 B能由向量组 A 线性表示 ⇔ 存在矩阵K，使B = AK ⇔ 矩阵方程AX=B有解
⇔ R(A) = R(A,B) ⇒ R(B) ≤ R(A) （这是必要条件）
二、向量组的线性相关性
1. 给定向量组 A：a1, a2, …, am ，如果存在不全为零的实数 k1, k2, …, km ，使得
k1a1 + k2a2 + … + km am =0（零向量）
则称向量组 A 是线性相关的，否则称它是线性无关的．
2. 只含一个向量a的向量组A，当a = 0时，A线性相关； a ≠ 0时，A线性无关
只含两个向量a1, a2的向量组A，线性相关 ⇔ a1, a2 的分量对应成比例。
向量组A：a1, a2, …, am(m≥2)线性相关 ⇒ 向量组A中至少存在一个向量能由其余m-1个向量线性表示。
3. 向量组A线性相关 ⇔ m 元齐次线性方程组Ax = 0有非零解 ⇔ R(A) < m
向量组A线性无关 ⇔ m 元齐次线性方程组Ax = 0只有零解 ⇔ R(A) = m
4. n维单位坐标向量组E：e1, e2, … , en ，是线性无关的，且是最大的线性无关组之一。
维单位坐标向量组E：e1, e2, … , en能由向量组A：a1, a2, …, am 线性表示 ⇔. R(A) = n
5. 定理
1）若向量组 A ：a1, a2, …, am 线性相关， 则向量组 B ：a1, a2, …, am, am+1 也线性相关．
其逆否命题也成立，即若向量组 B 线性无关，则向量组 A 也线性无关．
2）m 个 n 维向量组成的向量组，当维数 n 小于向量个数 m 时，一定线性相关．
特别地， n + 1个 n 维向量一定线性相关．
3）设向量组 A ：a1, a2, …, am 线性无关， 而向量组 B ：a1, a2, …, am, b 线性相关，
则向量 b 必能由向量组 A 线性表示，且表示式是唯一的
三、向量组的秩
1. 设有向量组 A ，如果在 A 中能选出 r 个向量a1, a2, …,ar，满足
①向量组 A0 ：a1, a2, …, ar 线性无关；
②向量组 A 中任意 r + 1个向量（如果 A 中有r + 1个向量的话）都线性相关；
那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大线性无关向量组，简称最大无关组．
最大无关组所含向量个数 r 称为向量组 A 的秩，记作RA 。RA ≤ 向量组A中向量的个数
只含零向量的向量组没有最大无关组，秩 = 0。
2. 向量组 A 和它自己的最大无关组 A0 是等价的．
推论：向量组A0线性无关；向量组 A 中任意一个向量都能由向量组 A0 线性表示；
那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组．
3. 全体 n 维向量构成的向量组记作Rn，向量组E是Rn的一个最大无关组，且Rn的秩等于n
4. 矩阵的秩等于它的列（行）向量组的秩．
5. 矩阵初等变换后保持列向量组之间的线性关系。
如：向量组A ：a1, a2, a3 , a4, a5，假设A0：a1，a2，a4是一个最大无关组，把a3 , a5用a1，a2，a4线性表示：
可以看出：
b3 = − b1 − b2 b5 = 4b1 + 3b2 − 3b4
所以
a3 = − a1 − a2 a5 = 4a1 + 3a2 − 3a4

四、线性方程组的解的结构
1. 设有齐次线性方程组 Ax = 0 ，如果x1 = x11， x 2= x21，...， x n= x n为该方程组的解，则称
为方程组的解向量
2. 性质：若 x = x 1， x = x 2 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，则 x = x 1 + x 2 还是 Ax = 0 的解
若 x = x 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，k 为实数，则 x = k x 还是 Ax = 0 的解
3. 把 Ax = 0 的全体解组成的集合记作 S，若求得 S 的一个最大无关组S0：x = x 1, x = x 2, ..., x = x t ，
那么Ax = 0 的通解可表示为 x = k1 x 1 + k2 x 2 + … + kt x t ．
齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系（不唯一）．
4. 设 m×n 矩阵的秩 R(A) = r，则 n 元齐次线性方程组Ax = 0 的解集 S 的秩 RS = n − r
即：Ax = 0 的解集S的秩等于 未知数的个数 减去 系数矩阵的秩
5. 设 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 与Bx = 0 同解，则R(A) = R(B)
设Am×nBn×l = O （零矩阵），则R(A) + R(B) ≤ n ．
6. 非齐次方程组的解的性质：
①若 x = h 1， x = h2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解，则 x = h 1 − h 2 是对应的齐次线性方程组
Ax = 0 （导出组）的解．
②若 x = h 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解， x = x 是导出组 Ax = 0 的解，则 x = x + h 还是 Ax = b 的解．
7. 若 x = h*是 Ax = b 的一个特解，Ax = 0 的通解为 x = c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r
于是： Ax = b 的通解为 x = c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r + h*
即：非齐通 = 齐通 + 非齐特 特解：没有线性相关要求，只要是解就可以