北师大版九年级下册直角三角形边角关系单元测试题.doc

北师大版九年级下册直角三角形边角关系单元测试题
一．选择题（共10小题）
1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（　　）

A．B．C．D．
2．下列式子错误的是（　　）
A．cos40°=sin50°B．tan15°•tan75°=1C．sin225°+cos225°=1D．sin60°=2sin30°
3．sin30°的值为（　　）
A．B．C．D．
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=6cm，则BC的长度为（　　）
A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是（　　）

A．B．4C．8D．4
6．一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（　　）

A．米2B．米2C．（4+）米2D．（4+4tanθ）米2
7．一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（　　）

A．斜坡AB的坡度是10°B．斜坡AB的坡度是tan10°
C．AC=1.2tan10°米D．AB=米
8．如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（　　）

A．2mB．2mC．（2﹣2）mD．（2﹣2）m
9．如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（　　）

A．250米B．250米C．米D．500米
10．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为（　　）

A．1B．C．D．
二．填空题（共10小题）
11．tan60°=　　　　　　．
12．如图，若点A的坐标为，则sin∠1=　　　　　　．

13．如图，一山坡的坡度为i=1：，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了　　　　　　米．

14．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC=　　　　　　．

15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，那么sinA=　　　　　　．

16．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4，sinB=，那么AB=　　　　　　．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AB=10，则tanA=　　　　　　．

18．在△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，AB=6，那么BC=　　　　　　．
19．如图，在平面直角坐标系xOy内有一点Q（3，4），那么射线OQ与x轴正半轴的夹角α的余弦值是　　　　　　．

20．一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）=sinα•cosβ+cosα•sinβ；sin（α﹣β）=sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．例如sin90°=sin（60°+30°）=sin60°•cos30°+cos60°•sin30°=×+×=1．类似地，可以求得sin15°的值是　　　　　　．
三．解答题（共10小题）
21．计算题 cos245°+tan60°cos30°+cos260°+sin260．

22．计算 2sin230°+cos245°+sin60°tan45°．
23．如图，某无人机于空中A处探测到目标B，D，从无人机A上看目标B，D的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC为60m，随后无人机从A处继续飞行30m到达A′处，
（1）求A，B之间的距离；
（2）求从无人机A′上看目标D的俯角的正切值．

24．如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

25．如图，某建筑物AC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小明在地面D处观测旗杆顶端B的仰角为30°，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的E处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，已知建筑物的高度AC=12m，求旗杆AB的高度（结果精确到0.1米）．参考数据：≈1.73，≈1.41．

26．如图，AB是长为10m，倾斜角为37°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度（结果保留整数）．
（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin65°≈，tan65°≈）

27．如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆AB的高度，在操场的平地上选择一点C，测得旗杆顶端A的仰角为30°，再向旗杆的方向前进16米，到达点D处（C、D、B三点在同一直线上），又测得旗杆顶端A的仰角为45°，请计算旗杆AB的高度（结果保留根号）

28如图，大海中某灯塔P周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A处观察灯塔P在北偏东60°方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点B处，这时观察灯塔P恰好在北偏东45°方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．（参考数据：≈1.73）

29．一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向，距离灯塔20海里的A处，它向东航行多少海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处（参考数据：≈1.732，结果精确到0.1）？

30．如图，随着我市铁路建设进程的加快，现规划从A地到B地有一条笔直的铁路通过，但在附近的C处有一大型油库，现测得油库C在A地的北偏东60°方向上，在B地的西北方向上，AB的距离为250（+1）米．已知在以油库C为中心，半径为200米的范围内施工均会对油库的安全造成影响．问若在此路段修建铁路，油库C是否会受到影响？请说明理由．

2016年07月17日dxzxshuxue@的初中数学组卷
参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）
1．（2016•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（　　）

A．B．C．D．
【分析】根据锐角三角函数的定义，即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，sinB=，
∵AD⊥BC，
∴sinB=，
sinB=sin∠DAC=，
综上，只有C不正确
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角函数，解决本题的关键是熟记锐角三角函数的定义．

2．（2016•永州）下列式子错误的是（　　）
A．cos40°=sin50°B．tan15°•tan75°=1
C．sin225°+cos225°=1D．sin60°=2sin30°
【分析】根据正弦和余弦的性质以及正切、余切的性质即可作出判断．
【解答】解：A、sin40°=sin（90°﹣50°）=cos50°，式子正确；
B、tan15°•tan75°=tan15°•cot15°=1，式子正确；
C、sin225°+cos225°=1正确；
D、sin60°=，sin30°=，则sin60°=2sin30°错误．
故选D．
【点评】本题考查了互余两个角的正弦和余弦之间的关系，以及同角之间的正切和余切之间的关系，理解性质是关键．

3．（2016•无锡）sin30°的值为（　　）
A．B．C．D．
【分析】根据特殊角的三角函数值，可以求得sin30°的值．
【解答】解：sin30°=，
故选A．
【点评】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是明确特殊角的三角函数值分别等于多少．

4．（2016•怀化）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=6cm，则BC的长度为（　　）
A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm
【分析】根据三角函数的定义求得BC和AB的比值，设出BC、AB，然后利用勾股定理即可求解．
【解答】解：∵sinA==，
∴设BC=4x，AB=5x，
又∵AC2+BC2=AB2，
∴62+（4x）2=（5x）2，
解得：x=2或x=﹣2（舍），
则BC=4x=8cm，
故选：C．
【点评】本题考查了三角函数与勾股定理，正确理解三角函数的定义是关键．

5．（2016•沈阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是（　　）

A．B．4C．8D．4
【分析】根据cosB=及特殊角的三角函数值解题即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，
cosB=，
即cos30°=，
∴BC=8×=4；
故选：D．
【点评】本题考查了三角函数的定义及特殊角的三角函数值，是基础知识，需要熟练掌握．

6．（2016•金华）一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（　　）

A．米2B．米2C．（4+）米2D．（4+4tanθ）米2
【分析】由三角函数表示出BC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果．
【解答】解：在Rt△ABC中，BC=AC•tanθ=4tanθ（米），
∴AC+BC=4+4tanθ（米），
∴地毯的面积至少需要1×（4+4tanθ）=4+tanθ（米2）；
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出BC是解决问题的关键．

7．（2016•巴中）一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（　　）

A．斜坡AB的坡度是10°B．斜坡AB的坡度是tan10°
C．AC=1.2tan10°米D．AB=米
【分析】根据坡度是坡角的正切值，可得答案．
【解答】解：斜坡AB的坡度是tan10°=，故B正确；
故选：B．
【点评】本题考查了坡度坡角，利用坡度是坡角的正切值是解题关键．

8．（2016•苏州）如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（　　）

A．2mB．2mC．（2﹣2）mD．（2﹣2）m
【分析】先在Rt△ABD中利用正弦的定义计算出AD，然后在Rt△ACD中利用正弦的定义计算AC即可．
【解答】解：在Rt△ABD中，∵sin∠ABD=，
∴AD=4sin60°=2（m），
在Rt△ACD中，∵sin∠ACD=，
∴AC==2（m）．
故选B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=tanα．

9．（2016•绥化）如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（　　）

A．250米B．250米C．米D．500米
【分析】在RT△AOB中，由∠AOB=30°可知AB=AO，由此即可解决问题．
【解答】解：由题意∠AOB=90°﹣60°=30°，OA=500，
∵AB⊥OB，
∴∠ABO=90°，
∴AB=AO=250米．
故选A．

【点评】本题考查解直角三角形，方向角，直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半等知识，解题的关键是搞清楚方向角的定义，利用直角三角形性质解决问题，属于中考常考题型．

10．（2016•路北区三模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为（　　）

A．1B．C．D．
【分析】根据网格结构，找出合适的直角三角形，根据正切的定义计算即可．
【解答】解：在Rt△ABD中，BD=4，AD=3，
∴tan∠ABC==，
故选：D．

【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

二．填空题（共10小题）
11．（2016•黔东南州）tan60°=　\sqrt{3}　．
【分析】根据特殊角的三角函数值直接得出答案即可．
【解答】解：tan60°的值为．
故答案为：．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．

12．（2016•龙岩）如图，若点A的坐标为，则sin∠1=　\frac{{\sqrt{3}}}{2}　．

【分析】根据勾股定理，可得OA的长，根据正弦是对边比斜边，可得答案．
【解答】解：如图，，
由勾股定理，得
OA==2．
sin∠1==，
故答案为：．
【点评】本题考查了锐角三角函数，利用勾股定理得出OA的长是解题关键．

13．（2016•岳阳）如图，一山坡的坡度为i=1：，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了　100　米．

【分析】根据坡比的定义得到tan∠A=，∠A=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求解．
【解答】解：根据题意得tan∠A===，
所以∠A=30°，
所以BC=AB=×200=100（m）．
故答案为100．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式

14．（2016•新化县一模）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC=　\frac{2}{5}\sqrt{5}　．

【分析】先构建格点三角形ADC，则AD=2，CD=4，根据勾股定理可计算出AC，然后根据余弦的定义求解．
【解答】解：在格点三角形ADC中，AD=2，CD=4，
∴AC=，
∴cosC=，
故答案为：．

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值．也考查了勾股定理．

15．（2016•广州一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，那么sinA=　\frac{3}{5}　．

【分析】根据勾股定理求出斜边AB的长，根据正弦的概念求出sinA．
【解答】解：∵，∠C=90°，BC=3，AC=4，
由勾股定理得，AB=5，
sinA==．
故答案为：．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

16．（2016•昆明模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4，sinB=，那么AB=　6　．
【分析】根据正弦函数的定义即可直接求解．
【解答】解：∵sinB=，
∴AB===6．
故答案是：6．
【点评】本题考查了正弦函数的定义，是所对的直角边与斜边的比，理解定义是关键．

17．（2016•晋江市二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AB=10，则tanA=　\frac{3}{4}　．

【分析】根据勾股定理求出AC的长，根据正切的定义解答即可．
【解答】解：∵∠C=90°，BC=6，AB=10，
∴AC==8，
∴tanA==．
故答案为：．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义和勾股定理的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

18．（2016•杨浦区一模）在△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，AB=6，那么BC=　2　．
【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．
【解答】解：sinA==，得
BC=AB×=6×=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

19．（2016•嘉定区一模）如图，在平面直角坐标系xOy内有一点Q（3，4），那么射线OQ与x轴正半轴的夹角α的余弦值是　\frac{3}{5}　．

【分析】作QA⊥x轴于点A，在直角△OAQ中利用勾股定理求得OQ的长，然后根据余弦的定义求解．
【解答】解：作QA⊥x轴于点A．
则OA=3，QA=4，
在直角△OAQ中，OQ===5，
则cosα==．
故答案是：．

【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

20．（2016•临沂）一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）=sinα•cosβ+cosα•sinβ；sin（α﹣β）=sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．例如sin90°=sin（60°+30°）=sin60°•cos30°+cos60°•sin30°=×+×=1．类似地，可以求得sin15°的值是　\frac{\sqrt{6}﹣\sqrt{2}}{4}　．
【分析】把15°化为60°﹣45°，则可利用sin（α﹣β）=sinα•cosβ﹣cosα•sinβ和特殊角的三角函数值计算出sin15°的值．
【解答】解：sin15°=sin（60°﹣45°）=sin60°•cos45°﹣cos60°•sin45°=•﹣•=．
故答案为．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．也考查了阅读理解能力．

三．解答题（共10小题）
21．（2014•振兴区校级模拟）计算题cos245°+tan60°cos30°+cos260°+sin260．
【分析】把特殊角的三角函数值代入，再进行化简．
【解答】解：原式=（）2+×+（）2+（）2=+++=3．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值．关键是熟练掌握结果特殊角的三角函数值，注意运算的符号．

22．（2013秋•宁海县校级月考）2sin230°+cos245°+sin60°tan45°．
【分析】直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=2×++×1
=++
=1+．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．

23．（2016•广州）如图，某无人机于空中A处探测到目标B，D，从无人机A上看目标B，D的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC为60m，随后无人机从A处继续飞行30m到达A′处，
（1）求A，B之间的距离；
（2）求从无人机A′上看目标D的俯角的正切值．

【分析】（1）解直角三角形即可得到结论；
（2）过A′作A′E⊥BC交BC的延长线于E，连接A′D，于是得到A′E=AC=60，CE=AA′=30，在Rt△ABC中，求得DC=AC=20，然后根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°，
在Rt△ABC中，AC=60m，
∴AB===120（m）；
（2）过A′作A′E⊥BC交BC的延长线于E，连接A′D，
则A′E=AC=60，CE=AA′=30，
在Rt△ABC中，AC=60m，∠ADC=60°，
∴DC=AC=20，
∴DE=50，
∴tan∠AA′D=tan∠A′DC===．
答：从无人机A′上看目标D的俯角的正切值是．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．

24．（2016•河南）如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【分析】通过解直角△BCD和直角△ACD分别求得BD、CD以及AD的长度，则易得AB的长度，则根据题意得到整个过程中旗子上升高度，由“速度=”进行解答即可．
【解答】解：在Rt△BCD中，BD=9米，∠BCD=45°，则BD=CD=9米．
在Rt△ACD中，CD=9米，∠ACD=37°，则AD=CD•tan37°≈9×0.75=6.75（米）．
所以，AB=AD+BD=15.75米，
整个过程中旗子上升高度是：15.75﹣2.25=13.5（米），
因为耗时45s，
所以上升速度v==0.3（米/秒）．
答：国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．

25．（2016•张家界）如图，某建筑物AC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小明在地面D处观测旗杆顶端B的仰角为30°，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的E处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，已知建筑物的高度AC=12m，求旗杆AB的高度（结果精确到0.1米）．参考数据：≈1.73，≈1.41．

【分析】首先根据三角形外角的性质可得∠DBE=60°﹣30°=30°，根据等角对等边可得BE=DE，然后在Rt△BEC中，根据三角形函数可得BC=BE•sin60°，进而可得BC长，然后可得AB的长．
【解答】解：∵∠BEC=60°，∠BDE=30°，
∴∠DBE=60°﹣30°=30°，
∴BE=DE=20，
在Rt△BEC中，
BC=BE•sin60°=20×=10≈17.3（米），
∴AB=BC﹣AC=17.3﹣12=5.3（米），
答：旗杆AB的高度为5.3米．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是证明BE=DE，掌握三角形函数定义．

26．（2016•青岛）如图，AB是长为10m，倾斜角为37°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度（结果保留整数）．
（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin65°≈，tan65°≈）

【分析】作BF⊥AE于点F．则BF=DE，在直角△ABF中利用三角函数求得BF的长，在直角△CDB中利用三角函数求得CD的长，则CE即可求得．
【解答】解：作BF⊥AE于点F．则BF=DE．
在直角△ABF中，sin∠BAF=，则BF=AB•sin∠BAF=10×=6（m）．
在直角△CDB中，tan∠CBD=，则CD=BD•tan65°=10×≈21（m）．
则CE=DE+CD=BF+CD=6+21=27（m）．
答：大楼CE的高度是27m．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．

27．（2016•新疆）如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆AB的高度，在操场的平地上选择一点C，测得旗杆顶端A的仰角为30°，再向旗杆的方向前进16米，到达点D处（C、D、B三点在同一直线上），又测得旗杆顶端A的仰角为45°，请计算旗杆AB的高度（结果保留根号）

【分析】根据题意可以得到BD的长度，从而可以求得AB的高度．
【解答】解：由题意可得，
CD=16米，
∵AB=CB•tan30°，AB=BD•tan45°，
∴CB•tan30°=BD•tan45°，
∴（CD+DB）×=BD×1，
解得BD=8，
∴AB=BD•tan45°=（）米，
即旗杆AB的高度是（）米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

28．（2016•宿迁）如图，大海中某灯塔P周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A处观察灯塔P在北偏东60°方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点B处，这时观察灯塔P恰好在北偏东45°方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．（参考数据：≈1.73）

【分析】作PC⊥AB于C，如图，∠PAC=30°，∠PBC=45°，AB=8，设PC=x，先判断△PBC为等腰直角三角形得到BC=PC=x，再在Rt△PAC中利用正切的定义得到8+x=，解得x=4（+1）≈10.92，即AC≈10.92，然后比较AC与10的大小即可判断海轮继续向正东方向航行，是否有触礁的危险．
【解答】解：没有触礁的危险．理由如下：
作PC⊥AB于C，如图，∠PAC=30°，∠PBC=45°，AB=8，
设PC=x，
在Rt△PBC中，∵∠PBC=45°，
∴△PBC为等腰直角三角形，
∴BC=PC=x，
在Rt△PAC中，∵tan∠PAC=，
∴AC=，即8+x=，解得x=4（+1）≈10.92，
即AC≈10.92，
∵10.92＞10，
∴海轮继续向正东方向航行，没有触礁的危险．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题：在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．

29．（2016•临沂）一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向，距离灯塔20海里的A处，它向东航行多少海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处（参考数据：≈1.732，结果精确到0.1）？

【分析】利用题意得到AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AP=20，如图，在Rt△APC中，利用余弦的定义计算出PC=10，利用勾股定理计算出AC=10，再判断△PBC为等腰直角三角形得到BC=PC=10，然后计算AC﹣BC即可．
【解答】解：如图，AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AP=20，
在Rt△APC中，∵cos∠APC=，
∴PC=20•cos60°=10，
∴AC==10，
在△PBC中，∵∠BPC=45°，
∴△PBC为等腰直角三角形，
∴BC=PC=10，
∴AB=AC﹣BC=10﹣10≈7.3（海里）．
答：它向东航行约7.3海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角：在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．

30．（2016•巴中）如图，随着我市铁路建设进程的加快，现规划从A地到B地有一条笔直的铁路通过，但在附近的C处有一大型油库，现测得油库C在A地的北偏东60°方向上，在B地的西北方向上，AB的距离为250（+1）米．已知在以油库C为中心，半径为200米的范围内施工均会对油库的安全造成影响．问若在此路段修建铁路，油库C是否会受到影响？请说明理由．

【分析】根据题意，在△ABC中，∠ABC=30°，∠BAC=45°，AB=250（+1）米，是否受到影响取决于C点到AB的距离，因此求C点到AB的距离，作CD⊥AB于D点．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于D，
∴AD=CD•cot45°=CD，
BD=CD•cot30°=CD，
∵BD+AD=AB=250（+1）（米），
即CD+CD=250（+1），
∴CD=250，
250米＞200米．
答：在此路段修建铁路，油库C是不会受到影响．

【点评】此题考查了解直角三角形及勾股定理的应用，用到的知识点是方向角，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形，“化斜为直”是解三角形的基本思路，常需作垂线（高），原则上不破坏特殊角（30°、45°、60°）．

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