控制系统的能控性和能观测性.doc

现代控制理论基础
第三章 控制系统的能控性和能观测性
3-1能控性及其判据
一：能控性概念
定义：线性定常系统(A,B,C)，对任意给定的一个初始状态x(t0)，如果在t1> t0的有限时间区间[t0,t1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t)，使x(t1)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。
可见系统的能控性反映了控制矢量u(t)对系统状态的控制性质,与系统的内部结构和参数有关。

x2不能控

二：线性定常系统能控性判据
设系统动态方程为：
设初始时刻为t0=0，对于任意的初始状态x(t0)，有：
根据系统能控性定义，令x(tf)=0，得：
即：
由凯莱-哈密尔顿定理：

令
上式变为：
对于任意x(0),上式有解的充分必要条件是QC满秩。
判据1：线性定常系统状态完全能控的充分必要条件是：
能控性矩阵QC=[B，AB，A2B，…An-1B]满秩。
对于单输入系统，QC=[b，Ab，A2b，…An-1b]
如果系统是完全能控的，称（A、B）或（A、b）为能控对。
判据2：对于线性定常系统，若B的秩为r，则系统完全能控的充要条件是：rank[B，AB，A2B，…An-rB]=n

例：设
试判断系统的能控性
解：
系统是不完全能控的。
若考虑到rankB=2，只需计算rank[B，AB]=2，说明系统不能控。
例：图示电路，判断系统能控性条件。

解：选取状态变量x1=iL，x2=uC，得系统的状态方程为：

当（R1R4=R2R3）时，系统能控。否则系统不能控。
定理：对线性定常系统作非奇异变换，其能控性不变。
证：
判据3：线性定常系统（A、B、C），若A的特征值λ1、λ2、…λn互不相同，则一定可以通过非奇异变换P把A变换成对角阵，即：

此时系统能控的条件为中任一行的元素不全为零。如果中某一行的元素全为零，说明对应的状态变量不能控。
证明见何p196{16}

例：
判断系统的能控性
解：
系统不能控。
判据4：一般情况下，当A有重特征值时，可利用变换阵P将A化为约当阵，如果对应A的各重特征值只能找到一个独立的特征向量，其状态完全能控的条件是：与每个约当块最后一行对应的阵中，这一行的元素不全为零。（证见何p199）
例：
判据5：设n维线性定常系统状态方程：
当A有重特征值时，可利用变换阵P将A化为约当阵，若λ1、λ2、…λm为其m个互异特征值，对应与某个特征值λi可以找到r（i）个独立的特征向量，则与λi相对应的约当块Ai中有r（i）个约当块，即：
相应地，设：
系统能控的充分必要条件是：对每一个i=1、2、…m，矩阵Bil的各行在复数域上线性无关，其中：
例：
系统能控的充分必要条件是向量组{bl11、bl12、bl13}线性无关以及{bl21}线性无关（即不为零）。
判据6：PBH判别法 线性定常系统完全能控的充分必要条件是n×（n+r）矩阵[λI-A，B]对A的所有特征值λi之秩为n。即：rank[λi-A，B]=n，（i=1、2、…n）

三：线性时变系统的能控性判据
定义：设线性时变系统状态方程为：
对任意给定的一个初始状态x(t0)，如果在t1> t0的有限时间区间[t0,t1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t0，t1)，使x(t1)=0，则称系统在t0时刻是状态完全能控的，简称系统是能控的。
定理一：线性时变系统在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是下列格兰姆矩阵：
为非奇异矩阵，式中为状态转移矩阵。

证明：充分性：即为非奇异时，系统能控。
由于非奇异，令：
则：
说明系统是能控的。

必要性：反证法，若是奇异的，且系统能控，看能否导出矛盾的结果。
由于是奇异的，故的行向量在[t0,t1]上线性相关，必存在非零的行向量α，使在[t0,t1]区间成立，若选择非零的初始状态x(t0)= αT,则:
说明α=0,矛盾。

l 线性定常系统(A、B、C)，状态完全能控的充分必要条件是格兰姆矩阵：
或
为非奇异矩阵。
定理二：线性时变系统在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是的行向量在[t0,t1]上线性无关，式中为状态转移矩阵。
l 线性定常系统(A、B、C)，状态完全能控的充分必要条件是的行向量在[t0,t1]上线性无关。
定理三：如果线性时变系统的A(t)和B(t)是n-1阶连续可微的，若存在一个有限的t1>t0，使得：
则系统在t0是能控的。其中：
本定理是充分条件，对于线性定常系统则为充分必要条件。
四：线性定常系统的输出能控性
设线性定常系统动态方程为：
如果存在一个无约束的控制量u(t)，在有限时间tf-t0内，使得由任一初始输出y(t0)，能够转移到任意输出y(tf)，则称这一系统为输出完全能控，简称输出能控。
系统输出完全能控的充分必要条件是下列 m×(n+1)r矩阵满秩，即：
控制系统的状态能控性与输出能控性之间没有必然联系。
例：
由于：
该系统状态不能控而输出能控。
对于本例，若设
则
系统输出不能控。

3-2 能观测性及其判据
一：能观测性的概念
定义：设n维线性定常系统的动态方程为：
如果在有限的时间间隔内，根据给定的输入值u(t)和输出值y(t)，能够确定系统的初始状态x(t0)的每一个分量,则称此系统是状态完全能观测的，简称能观测的。若系统中至少由一个状态变量不能观测，则称此系统是不完全能观测的，简称不能观测。

该系统是不能观测的
由于：
可见系统的状态x(t)的能观测性与x(t0)的能观测性是等价的。
二：线性定常连续系统的能观测性条件
设n维线性定常系统的动态方程为：
其解为：
令：
则
或写为：
上述方程组共由m个，第j个方程为:
分别乘以α0(t)、α1(t)、…αn-1(t)并积分,得:
考虑到α0(t)、α1(t)、…αn-1(t)的线性无关性，在上述方程中一定可以解出：
令j=1，2，…m，共可得到n×m个方程，从中确定x(0)的充分必要条件为：

定理一：线性定常连续系统能观测的充分必要条件是能观测性矩阵QO满秩，即：

定理二：线性定常连续系统能观测的充分必要条件是(n+m)×n型矩阵对A的每一个特征值λi之秩为n。（PBH判别法）
定理三：线性定常连续系统，若A的特征值互异，经非奇异变换后为：

系统能观测的充分必要条件是阵中不包含全为零的列。
定理四：线性定常连续系统，若A阵具有重特征值，且对应每一个重特征值只存在一个独立的特征向量，经非奇异变换后为：

系统能观测的充分必要条件是阵中与每一个约当块Ji第一列对应的列不全为零。

三：线性时变系统的能观测性判据
定义：设n维系统的动态方程为：
若对状态空间中的任一时刻t0的状态x(t0)，存在一有限时间t1-t0，使得由控制输入u(t0,t1)和输出y(t0,t1)的信息足以确定x(t0)，则称系统在t0时刻是完全能观测的。
定理一：系统在t0时刻能观测的充要条件是下列格兰姆矩阵：

为非奇异矩阵。
对于线性定常系统，其能观测的充要条件是：
满秩。
定理二：系统在t0时刻能观测的充要条件是存在一个有限时刻t1>t0，使得m×n型矩阵C(t)φ(t,t0)的n个列在[t0，t1]上线性无关。
定理三：如果线性时变系统的A(t)和C(t)是(n-1)阶连续可微的，若存在一个有限的t1>t0，使得：

则系统在t0时刻能观测的，其中：
（充分条件）

3-3 离散系统的能控性和能观测性
线性定常离散系统方程为：
一：能控性定义：
对于任意给定的一个初始状态x(0)，存在k>0，在有限时间区间[0，k]内，存在容许控制序列u(k)，使得x(k)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。
二：能控性判据
线性定常离散系统能控的充分必要条件是n×nr型矩阵Qc满秩，即：
rank Qc=rank[H，GH，G2H，…Gn-1H]=n
证明：令
对于任意的x(0),上述方程有解的充要条件是：kr≥n且系数矩阵满秩。
结论：线性定常离散系统状态完全能控的充要条件是：
rank Qc=rank[H，GH，G2H，…Gn-1H]=n
若系统能控，对于任意的初始状态，在第k步可以使x(k)=0，（k≥n/r）

例：设单输入线性离散系统的状态方程为：
试判断系统的能控性，若初始状态x(0)=[2,1,0]T，确定使x(3)=0的控制序列u(0),u(1),u(2)；研究x(2)=0的可能性。
解：
系统是能控的。
令

得：
若令
则：
无解。即不存在控制序列u（0），u（1）能够使系统从初始状态x(0)=[2,1,0]T转移到x(2)=0。
例：双输入线性定常离散系统的状态方程为：
试判断其能控性，并研究使x(1)=0的可能性。
解：
系统是能控的。
令x(1)=0
令：

若则可以求出u(0)，使x(1)=0。
若则不存在u(0)，使x(1)=0。

三：能观测性定义
对于离散系统，其定义为：已知输入向量序列u(0)、u(1)、…u(n-1)及有限采样周期内测量到的输出向量序列y(0)、y(1)、…y(n-1),能唯一确定任意初始状态向量x(0),则称系统是完全能观测的，简称系统是能观测的。
四：能观测性判据
设n维离散系统的动态方程为：
其解为：
在讨论能观测性时，假定u(k)=0,(k=0、1、…n-1)
即：
定义：
为离散系统的能观测性矩阵。上述方程要唯一确定x(0)的充要条件是rankQo=n。
因此线性定常离散系统能观测的充要条件为rankQo=n。
五：连续系统的能控性、能观测性与离散系统的能控性、能观测性之间的关系
定理一：如果连续系统（A、B、C）不能控（不能观测），则对任意采样周期T离散化后的系统（G、H、C）也是不能控（不能观测）的。
证明：用反证法
设连续系统不能控，而对于某采样T离散化后的系统却是能控的。则
rank[H、GH、G2H、…Gn-1H]=n

其中：
故：

容易验证为可交换阵，故：

由于eAiT可用I、A、A2、…An-1线性表示，故

连续系统是能控的，矛盾。
本定理也可叙述为：
如果离散化后的系统是能控（能观测）的，则离散化前的连续系统一定是能控（能观测）的。
定理二：设连续系统（A、B、C）能控（能观测），则离散化后的系统也能控（能观测）的必要条件是：不是A的特征值。其中k为非零整数。

证明：设A的特征值为λ1、λ2、…λn则的特征值为：

如果λi=0，则

如果λi≠0，则

可见当（k为非零整数）为A的特征值时，的特征值中出现0，不可逆，即使（A、B、C）能控，（G、H、C）也一定是不能控的。（见定理一的证明过程）
定理三：设系统（A、B、C）能控，采样周期T满足如下条件：对A的任意两个特征值λ1、λ2，不存在非零整数k，使成立，则以T为采样周期的离散化系统也是能控的。
本定理为充分条件，对于单输入单输出系统，本定理是充分必要的。
3-4 对偶原理
若系统S1描述为：

系统S2描述为：

则称S1（S2）为S2（S1）的对偶系统。
显然，原系统S1（S2）的能控性（能观测性）矩阵与对偶系统S2（S1）的能观测性（能控性）矩阵相同，或者说，原系统的能控性（能观测性）等价与其对偶系统的能观测性（能控性）。
3-5 能控标准形和能观测标准形
一：能控标准形
一个单输入系统，如果其A、b阵具有如下形式：
则系统一定能控。这种形式的A、b阵称为能控标准形。
证明：略
定理：若n维单输入线性定常系统能控，则一定能找到一个线性变换，将其变换成能控标准形。
具体做法是：设A的特征多项式为：

引入非奇异线性变换其中：
则为能控标准形。
通过验算来证明本定理。

例：已知能控的线性定常系统动态方程：
试将其变换成能控标准形。
解：
能控性矩阵：

则：

二：能观测标准形
一个单输出系统，如果其A、c阵具有如下形式：
则系统一定能观测，此时的A、c阵称为能观测标准形。
定理：若n维单输出线性定常系统能观测，则一定能找到一个线性变换，将其变换成能观测标准形。
具体做法是：设A的特征多项式为：

引入非奇异线性变换其中：
则为能观测标准形。
可利用对偶原理来证明。

3-6能控性、能观测性与传递函数的关系
定理一：如果A的特征值互不相同，则系统（A、B、C）为能控且能观测的充分必要条件是：传递矩阵G（s）的分母|sI-A|与分子之间不发生因子相消。
定理二：单输入、单输出系统（A、b、c）是能控且能观测的充分必要条件是：传递函数G（s）的分母|sI-A|与分子之间不发生因子相消。
定理三：单输入、单输出系统（A、b、c），如果A的特征值互不相同，若传递函数存在零、极点对消，则系统或是状态不能控或是状态不能观测的；若传递函数不存在零、极点对消，则系统是状态完全能控且完全能观测的。
证明：单输入、单输出系统动态方程为：
如果A的特征值互不相同，则一定可利用非奇异线性变换，使A成为对角阵。即：

状态方程可写为：
在初始条件为零的情况下，拉氏变换得：

对输出方程拉氏变换：

可见系统的传递函数为：
此式即为传递函数的部分分式。
若传递函数存在零、极点对消，传递函数的部分分式中应缺少相应项。如传递函数中相消的零、极点为s-λk，则说明fkγk=0，γk=0，fk ≠0系统是不能控的；fk=0，γk≠0，系统是不能观测的；γk=0，fk=0，系统是既不能控也不能观测的。若传递函数不存在零、极点对消，传递函数的部分分式中，应有fkγk≠0（k=1、2、…n）系统是既能控又能观测的。
例：设单输入、单输出系统的传递函数：

由于存在零、极点对消，系统不可能是既能控又能观测的。
…
例：已知系统的动态方程如下，试求系统的传递函数，判断其能控性、能观测性。

三个系统的传递函数均为：
系统（1）是能控不能观测的；系统（2）是能观测不能控的；系统（3）是既不能控又不能观测的。
定理二、定理三只适用于单输入、单输出系统，对于有相重特征值的多输入、多输出系统，即使有零、极点对消，系统仍可能是既能控又能观测的。
例如：

系统是既能控又能观测的。但：
存在零、极点对消的情况。
定理四：如果多输入、多输出系统的状态向量与输入向量之间的传递矩阵的各行在复数域上线性无关，则系统是能控的。（充分必要条件）
定理五：如果多输入、多输出系统的输出向量与初始状态向量X（0）之间的传递矩阵的各列在复数域上线性无关，则系统是能观测的。（充分必要条件）
例：试用传递矩阵判断下列系统的能控性、能观测性。
解：（1）

令：
说明的三个行向量线性无关，系统是能控的。
令：
说明的三个列向量线性无关，系统是能观测的。
（2）

由于的三个行向量线性相关，系统不能控。
令：
存在非零解，说明的列向量线性相关，系统是不能观测的。
3-7 控制系统的结构分解
一：系统按能控性分解
设不能控系统的动态方程为：
其能控性矩阵的秩为r<n，选出其中r个线性无关列，再加任意n-r个列，构成非奇异变换T-1
令：
则：
其中：
经非奇异变换后，系统的动态方程写为：
于是可得能控子系统动态方程为：
不能控子系统动态方程为：
例：已知：
试按能控性进行规范分解。
解：
系统不完全能控，取：
则：
能控子系统动态方程为：
不能控子系统动态方程为：
二：系统按能观测性分解
设不能观测系统的动态方程为：
其能观测性矩阵的秩为l<n，选出其中l个线性无关行，再加任意n-l个行，构成非奇异变换T。
令：
则：
其中：
经非奇异变换后，系统的动态方程写为：
于是可得能观测子系统动态方程为：
不能观测子系统动态方程为：
例：已知：
试按能观测性进行规范分解。
解：
系统不完全能观测，取：
则：

能观测子系统动态方程为：
不能观测子系统动态方程为：
三：系统按能控性和能观测性的标准分解
设系统（A、B、C）不能控、不能观测，可先对系统按能控性分解，即令：
再分别对能控子系统、不能控子系统按能观测性分解，即：
最后得到：

经T-1变换后，系统的动态方程为：

能控、能观测子系统动态方程为：
能控、不能观测子系统动态方程为：
不能控、能观测子系统动态方程为：
不能控、不能观测子系统动态方程为：

第四章 控制系统的稳定性
4-1 引言
一：范数
设
定义x的范数为：

m×n矩阵A的范数定义为：

范数性质
二：李雅普诺夫意义下的稳定性概念
1：系统 设所研究的系统为：式中x为n维状态向量，在给定的初始条件下，方程有唯一解且

2：平衡状态 满足的状态即：
对于线性定常系统当A可逆时，有唯一平衡状态

3：稳定性 以S（k）表示平衡状态周围半径为k的球域即：
设对应于每一个球域S（ε），都存在球域S（δ），使得当t无限增加时，从初始条件S（δ）出发的轨迹都超出不了S（ε），则称这一系统的平衡状态在李雅普诺夫意义下是稳定的。如果δ与t0无关，则称平衡状态为一致稳定的平衡状态。
线性定常系统，如果是稳定的，则必是一致稳定的。

4：渐近稳定性 如果平衡状态在李雅普诺夫意义下是稳定的，且从球域S（δ）出发的任意一个解，当t→∞时，收敛于平衡状态则称此类平衡状态为渐近稳定的，如果δ与t0无关，则平衡状态为一致渐近稳定的。
线性定常系统，如果是渐近稳定的，则必是一致渐近稳定的。

5：大范围稳定性 不管初始偏差有都大，系统总是稳定的，则称系统是大范围稳定的。
不管初始偏差有都大，系统总是渐近稳定的，则称系统是大范围渐近稳定的。大范围渐近稳定的系统只能有一个平衡状态。
为了满足稳定条件，初始偏差有一定限制，则称系统是小范围稳定的。
对于线性系统，若在小范围稳定，则必大范围稳定；若在小范围渐近稳定，则必大范围渐近稳定。

6：不稳定性 如果对于某个实数ε>0和任一实数δ>0，不管它们有多小，在球域S（δ）中，总存在一个初始状态x0，使得从这一初始状态出发的轨迹最终会超出球域S（ε），这时的平衡状态是不稳定的。

三：标量函数的正定性、负定性
1：正定性 设有标量函数V（x），对域S中的所有非零状态x，总有V（x）>0，且当x=0时，有V（x）=0，则称标量函数V（x）在域S内是正定的。
2：负定性 设有标量函数V（x），对域S中的所有非零状态x，总有V（x）<0，且当x=0时，有V（x）=0，则称标量函数V（x）在域S内是负定的。此时-V（x）是正定的。
3：正半定性和负半定性 设有标量函数V（x），对域S中的某些非零状态x及x=0，有 V（x）=0，而对于S中的其余状态有V（x）>0，则称标量函数V（x）在域S内是正半定的。如果- V（x）是正半定的，则V（x）是负半定的。
例：设
则：
四：二次型函数的正定性
设标量函数V（x）为二次型函数，即V（x）=xTQx，并设Q为对称阵：
赛尔维斯特准则：对于二次型函数V（x）=xTQx，若Q的所有主子式大于零，则Q是正定的，V（x）也是正定的；或者Q的特征值均为正值，则Q是正定的，V（x）也是正定的。

4-2李雅普诺夫直接法（第二法）
李雅普诺夫稳定性主要理论：
1：对于一个系统，若能构造出一个正定的标量函数V（x），并且它对时间的一阶导数是负定的，则系统在状态空间的原点处是渐近稳定的。
2：对于一个系统，若V（x）在原点附近的邻域内是正定的，并且它对时间的一阶导数也是正定的，那么系统在原点处是不稳定的。
定理一：设系统的动态方程为：原点为一个平衡状态，即：如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V（x，t），满足如下条件：
（1）是正定的
（2）是负半定的
则系统在原点处的平衡状态是一致稳定的。
定理二：设系统的动态方程为：原点为一个平衡状态，即：如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V（x，t），满足如下条件：
（1）是正定的
（2）是负定的
则系统在原点处的平衡状态是一致渐近稳定的。如果当时，则系统是大范围一致渐近稳定的。
如果除原点外，在系统的轨迹上再没有任何一点，其恒为零，则条件（2）可改为是负半定的。
例：设系统状态方程为：
坐标原点是系统的一个平衡状态，试确定该系统的稳定性。
解：取：为一正定的标量函数

为一负定的标量函数，且系统是大范围一致渐近稳定的。
例：系统动态方程为：
坐标原点是系统的一个平衡状态，试确定该系统的稳定性。
解：取为一正定的标量函数，
为负半定的，但除了坐标原点外，在状态轨迹上不恒为零，系统是渐近稳定的。且系统是大范围一致渐近稳定的。
定理三：设系统的动态方程为：原点为一个平衡状态，即：如果在平衡状态的某个邻域内，存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V（x，t），满足如下条件：
（1）是正定的
（2）是正定的
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
类似地，若除原点外，不恒为零，条件（2）可改为正半定。
例：设有如下系统：
试判断系统的稳定性。
解：x=0为系统的平衡状态，取：为一正定的标量函数，

为正半定的，但除了坐标原点外，在状态轨迹上不恒为零，系统是不稳定的。

4-3 线性连续系统的稳定性分析
一：线性定常系统李雅普诺夫函数的求法
设线性定常系统若A为n阶非奇异矩阵，则系统有唯一的平衡状态x=0。
取一个可能的李氏函数P为正定实对称矩阵，
令：
若Q是正定对称矩阵，则系统是渐近稳定的。
定理：线性定常系统渐近稳定的充要条件是：给定一个正定实对称矩阵Q，存在正定实对称矩阵P，使ATP+PA=-Q成立。
例：
试确定系统平衡状态的稳定性
解：x=0为系统的平衡状态，取Q=I，则：ATP+PA=-Q
设：
P为正定矩阵，

系统是大范围一致渐近稳定的。
推论：如果沿任意一条轨迹不恒为零，上述定理中的Q可取为正半定矩阵。
例：设系统状态方程为：
求系统稳定时K的取值范围。
解：令u=0，detA≠0，故原点是系统的平衡状态。取：

由于只有在原点处才有故Q可取为正半定矩阵。由ATP+PA=-Q，得：
二：线性时变系统李雅普诺夫函数的求法
设线性时变系统
系统的平衡状态x=0。
取一个可能的李氏函数P（t）为正定实对称矩阵，
令：
若Q（t）是正定对称矩阵，则系统是渐近稳定的。
定理：线性时变系统渐近稳定的充要条件是：给定一个正定实对称矩阵Q（t），存在正定实对称矩阵P（t），使黎卡提矩阵微分方程
成立。
三：线性系统稳定性的几个结论
设线性系统
系统的平衡状态x=0
状态方程的解为：
若
则：
系统在原点是渐近稳定的。
四：线性定常系统稳定性的特征值判据
定理：线性定常系统渐近稳定的充分必要条件是状态矩阵A的所有特征值都位于左半复数平面。即：
Reλi<0 （i=1、2、…n） λi为A的特征值。

4-4线性定常离散系统的稳定性
设x（k+1）=Gx（k），x=0为平衡状态。
取V[x（k）]=x（k）TPx（k），P为正定实对称矩阵。
则：
令：
定理：线性定常离散系统渐近稳定的充分必要条件是：给定一个正定实对称矩阵Q，存在一个正定实对称矩阵P使GTPG-P=-Q成立，此时V（X）=xTPx。
若△V（x）=-xTQx沿任一解序列不恒为零，那么Q可取为正半定矩阵。
例：设
试确定系统在平衡点处大范围渐近稳定的条件
解：取Q=I，由GTPG-P=-Q得：
根据P为正定实对称矩阵的要求，得：

4-5 非线性系统的稳定性分析
1：克拉索夫斯基法
设非线性控制系统：
其中x为n维列向量，f（0）=0，即x=0为系统的平衡状态，且设f（x）对x在整个状态空间是可以求导的，系统的雅可比矩阵为：
克拉索夫斯基指出：如果存在一个对称正定矩阵B，使对称阵S（x）=BJ（x）+[ BJ（x）]T是负定的，那么平衡状态x=0是渐近稳定的，系统的李雅普诺夫函数为：
V（x）=f（x）TBf（x）
如果则平衡状态x=0是大范围渐近稳定的。
例：

确定平衡状态x=0的稳定性。
解：

取B=I，

为对称负定阵，所以平衡状态x=0是渐近稳定的。
平衡状态x=0是大范围渐近稳定的。
2：阿塞尔曼法
设系统的动态方程为：
其中f（xi）为非线性单值函数，f（0）=0，故x=0为系统的平衡状态。
阿塞尔曼指出：若以线性函数取代非线性函数， 即令f（xi）=k xi，可对线性化后的系统建立李雅普诺夫函数V（x），若dV（x）/dt在k1≤k≤k2区间内是负定的，则当非线性函数不超过上述区间时，非线性系统的平衡状态x=0是大范围渐近稳定的。
f(x1)

0 x1

例：设
f(x1)如图所示，判断x=0的稳定性。
解：令f(x1)=2x1
线性化后的系统方程为：
令
得：
Q为正定对称阵，
认为非线性系统的李雅普诺夫函数就是V（x），则

根据负定的要求，稳定时要求：
只要非线性特性在此范围内，系统是大范围渐近稳定的。
l 阿塞尔曼法的特点是很简单，但这一分析结果不一定总是正确的，即使如此，工程上仍作为试探非线性系统稳定性的一种方法。

李雅普诺夫第二法的几点说明：
1） 第二法给出的是稳定性的充分条件，因此，一个系统满足稳定条件时，它一定稳定；如果不满足稳定条件，则不能作出不稳定的结论。
2） V（x）不是唯一的，因此满足稳定性条件的各种方案有相应的稳定范围，它们不一定相同。
3） 第二法的应用中，没有一种方案是通用的。
4） 以上讨论，均假设x=0为平衡点，如果平衡点不在原点，通过适当的坐标变换，将它移到原点。
5） 李雅普诺夫函数除了提供稳定性判据外，还可用于线性和非线性系统的瞬态性能分析和参数选择。

3：实际系统按线性化模型判定稳定性—李雅普诺夫第一法
实际系统如果非线性不严重，或者偏差不大，在分析稳定性时，可按线性化模型应用线性系统的稳定条件进行分析，那么分析结果是否符合实际系统的真实情况呢？
李雅普诺夫小偏差理论：
（1） 若线性化系统特征方程式的所有根均为负实数或具有负的实部，则实际系统是渐近稳定的，线性化过程中被忽略的高于一次的微量项对稳定性结论没有影响。
（2） 若线性化系统特征方程式的所有根中，即使有一根为正实数或具有正的实部，则实际系统是不稳定的，线性化过程中被忽略的高于一次的微量项不会使系统变成稳定。
（3） 若线性化系统特征方程式的所有根中，有至少一个为零或实部为零，而其余均为负实数或具有负的实部，则实际系统的稳定性不能按线性化模型来判断，实际系统的稳定性与线性化过程中被忽略的高于一次的微量项有关。

第五章 线性定常系统的综合

5-1 状态反馈与极点配置
状态反馈是指从状态变量到控制端的反馈 如图…
设原系统动态方程为：
引入状态反馈后，系统的动态方程为：
定理：用状态反馈任意配置系统闭环极点的充要条件是：系统完全能控。
证明：充分性，以单输入系统为例，因系统能控不妨设：
即系统为能控标准形。设反馈向量
引入状态反馈后
而b、C阵不变，即系统的动态方程仍为能控标准形，由能控标准形与传递矩阵的关系知：
控制系统的闭环极点由特征式
确定，通过选择K阵，可任意配置系统的闭环极点。
必要性：反证法，如果系统不能控，说明有些变量不受u的控制，引入反馈后，通过u来影响它们是不可能的。
从以上证明过程中可得出结论：
l 对于单输入、单输出系统状态反馈不影响传递矩阵的零点。
l 状态反馈保持系统的能控性，而不保持系统的能观测性。
例：有一系统的传递函数为：
要求用状态反馈的方法，使闭环极点为-2，-1±j。
解：系统的能控标准形实现为：
设K=[k0，k1，k2]，则：
根据希望闭环极点的位置，特征多项式为：
可得：K=[4，4，1]
引入状态反馈后，系统的动态结构图：

5-2 输出反馈与极点配置
输出反馈指从输出端到状态变量导数的反馈，如图…
设原系统动态方程为：
引入输出反馈后，系统的动态方程为：
定理：用输出反馈任意配置系统闭环极点的充要条件是：系统完全能观测。
可利用对偶原理来证明
例：试选择反馈矩阵h，使下述系统极点配置在-5，-8。
解：系统能观测，设：

希望的特征多项式：

u1 - x1 y

u2 x2
- -

解得：

在工程实践中，也可以采用从输出端到控制端的反馈，即：u=v-Hy
系统的动态方程为：

5-3镇定问题
对于单输入、单输出线性定常系统：
如果存在状态反馈矩阵K，使状态反馈系统在李雅普诺夫意义下是渐近稳定的，则称系统是可以用状态反馈镇定的。
定理：线性定常系统引入状态反馈能镇定的充要条件是系统不能控的状态分量是渐近稳定的。
证明
状态反馈矩阵计算步骤 p148

5-4状态重构和状态观测器
一：开环状态观测器
为了实现状态反馈，有时需要对状态进行估计，开环估计方法如下：

通常x与之间存在差异，这种差异必导致y与之间的差异。
二：全维观测器
全维观测器是指重构状态向量的维数与原系统相同。
事实上，已知的信息为u（t）和y（t），只有当系统完全能观测时，才能从u（t）和y（t）及其导数的线性组合中获得状态向量x（t）的估计值此时存在状态观测器。
利用观测器实现状态反馈的系统为：

状态观测器

在观测器的设计中，为使尽快地接近x（t），可利用y（t）和之间的差作为误差反馈信息，观测器结构如下：
B

C

A

H

观测器结构图
写出观测器动态方程为：
原系统的状态方程：
定义状态向量的真实值与估计值之间的偏差为误差状态向量，即：
则有：
为使尽快趋于零，应合理选择A-HC的特征值。
定理：若系统（A、B、C）是能观测的，其状态可用n维状态观测器进行估计
矩阵H可以按给定极点的位置来选择，所定极点的位置，将决定误差向量趋于零的速率。
例：设系统动态方程为：
试设计一个状态观测器，其中矩阵A-hc的特征值（观测器极点）为-10，-10。
解：设

希望的特征多项式：
得：
观测器方程：

- -

-

- - - -

原系统及其状态观测器结构图如下：

5-5降维观测器
一个n维的能观测系统
由于y可以直接提供一部分状态，故只需要估计其余的状态即可。
1：建立n-m维子系统动态方程
设A∈Rn×n，B∈Rn×r，C∈Rm×n，系统（A、B、C）能观测，令：
为一个n×n矩阵，D的选择应使Q可逆，考虑到：
令
则：
系统的动态方程为：

可直接有y提供，只须估计即可。以为状态变量的n-m维系统为：
2：降维观测器设计
为建立n-m为观测器，把以为状态变量的n-m维系统方程改写为：

只要原系统（A、B、C）能观测，则能观测，而也是能观测的。故降维观测器方程为：
令：
观测器方程可写为：
这是一个n-m维观测器，整个状态向量的估计值为：
而系统原状态向量x的估计值为：
3：H阵的选择

通过H阵的选择，使的极点任意配置，极点的位置决定误差向量衰减到零的速率，而直接有y提供，不存在估值误差。
定理：有m个输出的任一m维能观测系统（A、B、C），可通过状态变换而写成如下形式：
其状态可用n-m维龙伯格观测器进行估计：

y

u
w

（n-m）×m矩阵H可以选得使的极点任意配置，极点的位置决定误差向量衰减到零的速率。观测器结构图如下：
例：已知系统：
试构造一降维观测器
解：系统完全能观测
令：
则：
设降维观测器的特征值为-10，H=[h]
希望的特征多项式为λ+10，故H=[10]，降维观测器为：
原系统状态向量估计值为：
原系统及其降维观测器如下：

u y

5-6带状态观测器的状态反馈系统
带状态观测器的状态反馈系统：

（A、B、C）
v u y

-
K
状态观测器

现提出两个问题：1，用进行状态反馈和用x进行状态反馈对系统特性的影响是否一致，或者说系统的闭环传递矩阵是否一致？2，进行状态反馈设计时的K阵和观测器设计时的H阵能否分开设计？
显然利用x进行状态反馈时，控制系统的传递矩阵为
利用进行状态反馈时，系统的动态方程为：
整个系统为2n维，矩阵形式动态方程为：
为了计算传递矩阵，作坐标变换：
变换前：
变换后：

考虑到当R、T可逆时，有
故
传递矩阵为：
系统的传递矩阵与用x进行状态反馈时的传递矩阵相同。另外，系统的特征多项式：
它由（A-BK）、（A-HC）的特征多项式的乘积组成，可见只要系统（A、B、C）能控、能观测，则可按极点配置的需要选择K，按观测器动态特性的需要H，两者可分开进行设计，这个原理称为分离定理。
例：设系统的传递函数为：
希望利用状态反馈使闭环极点为-4±j6，并求实现这个反馈的二维及一维观测器。
解：1：建立能观测标准形实现：

系统也是能控的。
2：求状态反馈阵K，设K=[k1，k2]，系统特征方程式：