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抛物线与几何问题的参考答案
【典型例题】
【例1】 (浙江杭州)（1）∵ 平移的图象得到的抛物线的顶点为,
∴ 抛物线对应的解析式为:.
∵ 抛物线与x轴有两个交点，∴.
令, 得，,
∴ )( )| ,
即, 所以当时, 存在抛物线使得.-- 2分
(2) ∵, ∴ , 得: ,
解得.
在中,
1) 当时,由 , 得,
当时, 由, 解得,
此时, 二次函数解析式为;
当时, 由, 解得,
此时，二次函数解析式为 + +.
2) 当时, 由 , 将代, 可得, ,
（也可由代，代得到）
所以二次函数解析式为 + –或.
【例2】(江苏常州) （1）∵
∴A(-2,-4)
（2）四边形ABP1O为菱形时，P1(-2,4)
四边形ABOP2为等腰梯形时，P1()
四边形ABP3O为直角梯形时，P1()
四边形ABOP4为直角梯形时，P1()
（3）

由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线的函数关系式是y=-2x
①当点P在第二象限时，x<0,
△POB的面积
∵△AOB的面积，
∴
∵，
∴
即 ∴
∴x的取值范围是
②当点P在第四象限是，x>0,
过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A′、P′
则四边形POA′A的面积

∵△AA′B的面积
∴
∵，
∴ 即 ∴
∴x的取值范围是

B
O
A
P
M

（第24题）
【例3】（浙江丽水）（1）设所在直线的函数解析式为，
∵（2，4），
∴, ,
∴所在直线的函数解析式为
（2）①∵顶点M的横坐标为，且在线段上移动，
∴（0≤≤2）.
∴顶点的坐标为(,).
∴抛物线函数解析式为.
∴当时，
（0≤≤2）.
∴点的坐标是（2，）.
② ∵==， 又∵0≤≤2，
∴当时，PB最短
（3）当线段最短时，此时抛物线的解析式为.
假设在抛物线上存在点，使.
设点的坐标为（，）.
①当点落在直线的下方时，过作直线//，交轴于点，
∵，，

D

O
A
B
P
M

C
E
∴，∴，∴点的坐标是（0，）.
∵点的坐标是（2，3），∴直线的函数解析式为.
∵，∴点落在直线上.
∴=.
解得，即点（2，3）.
∴点与点重合.
∴此时抛物线上不存在点，使△与△的面积相等.
②当点落在直线的上方时，
作点关于点的对称称点，过作直线//，交轴于点，
∵，∴，∴、的坐标分别是（0，1），（2，5），
∴直线函数解析式为.
∵，∴点落在直线上.
∴=.
解得：，.
代入，得，.
∴此时抛物线上存在点，
使△与△的面积相等.
综上所述，抛物线上存在点，
使△与△的面积相等.
【例4】（广东省深圳市）（1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0）
将A、B、C三点的坐标代入得
解得：
所以这个二次函数的表达式为：
（2）存在，F点的坐标为（2，－3）
易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：
∴E点的坐标为（－3，0）
∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3）
代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合
∴存在点F，坐标为（2，－3）
（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R），
代入抛物线的表达式，解得
②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0），
则N（r+1，－r），
代入抛物线的表达式，解得
∴圆的半径为或．
（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
易得G（2，－3），直线AG为．
设P（x，），则Q（x，－x－1），PQ．

当时，△APG的面积最大
此时P点的坐标为，．

【例5】（山东济南）
(1)设抛物线的解析式为
将A(－1，0)代入: ∴
∴ 抛物线的解析式为，即：
（2）是定值，
∵ AB为直径，∴ ∠AEB=90°，∵ PM⊥AE，∴ PM∥BE
∴ △APM∽△ABE，∴ ①
同理: ② ① + ②:
（3）∵ 直线EC为抛物线对称轴，∴ EC垂直平分AB
∴ EA=EB
∵ ∠AEB=90°
∴ △AEB为等腰直角三角形．
∴ ∠EAB=∠EBA=45° 7分
如图，过点P作PH⊥BE于H，
由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形，
∴PH=ME且PH∥ME
在△APM和△PBH中
∵∠AMP=∠PHB=90°， ∠EAB=∠BPH=45°
∴ PH=BH
且△APM∽△PBH
∴
∴ 　①
在△MEP和△EGF中，
∵ PE⊥FG， ∴ ∠FGE+∠SEG=90°
∵∠MEP+∠SEG=90° ∴ ∠FGE=∠MEP
∵ ∠PME=∠FEG=90° ∴△MEP∽△EGF
∴ 　　　　②
由①、②知：

【学力训练】
1、（广东梅州）
（1） DC∥AB，AD=DC=CB，
∠CDB=∠CBD=∠DBA，
∠DAB=∠CBA， ∠DAB=2∠DBA，
∠DAB+∠DBA=90， ∠DAB=60，
∠DBA=30，AB=4， DC=AD=2，
RtAOD，OA=1，OD=，
A（-1，0），D（0， ），C（2， ）．
（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A（－1，0），B（3，0），
故可设所求为 = （+1）（ -3）
将点D（0， ）的坐标代入上式得， =．
所求抛物线的解析式为 = 其对称轴L为直线=1．
（3） PDB为等腰三角形，有以下三种情况：
①因直线L与DB不平行，DB的垂直平分线与L仅有一个交点P1，P1D=P1B，
P1DB为等腰三角形；
②因为以D为圆心，DB为半径的圆与直线L有两个交点P2、P3，DB=DP2，DB=DP3， P2DB， P3DB为等腰三角形；
③与②同理，L上也有两个点P4、P5，使得 BD=BP4，BD=BP5．
由于以上各点互不重合，所以在直线L上，使PDB为等腰三角形的点P有5个．
2、（广东肇庆）（1）由5=0， （1分）
得，．∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（，0）． （3分）
（2）当a=1时，得A（1，17）、B（2，44）、C（3，81），
分别过点A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则有
=S - -
=--
=5（个单位面积）
（3）如：．
事实上， =45a2+36a．
3（）=3[5×（2a）2+12×2a-（5a2+12a）] =45a2+36a．
∴．
3、（青海西宁）（1）圆心的坐标为，半径为1，，……1分
二次函数的图象经过点，
可得方程组
解得：二次函数解析式为
（2）过点作轴，垂足为． 是的切线，为切点，（圆的切线垂直于经过切点的半径）．
y
A
H
F
M
O
P1
P2
O1
x
B
在中，
为锐角，
，
在中，．
．
点坐标为
设切线的函数解析式为，由题意可知，切线的函数解析式为
（3）存在．
①过点作轴，与交于点．可得（两角对应相等两三角形相似）
，
②过点作，垂足为，过点作，垂足为．
可得（两角对应相等两三角开相似）
在中，，，
在中，，
，
符合条件的点坐标有，
4、（辽宁12市）
解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点．
，
点都在抛物线上，

抛物线的解析式为顶点
（2）存在
A
O
x
y
B
F
C
图9
H
B
M
（3）存在
理由：
解法一：
延长到点，使，连接交直线于
点，则点就是所求的点．

过点作于点．
点在抛物线上，
在中，，
，，
在中，，
，，
设直线的解析式为
解得

解得
在直线上存在点，使得的周长最小，此时．

5、（四川资阳） (1) ∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
又∵∠OCB+∠OBC=90°，
图10
∴∠OCA=∠OBC，
又∵∠AOC= ∠COB=90°，
∴ΔAOC∽ ΔCOB，
∴．
又∵A(–1，0)，B(9，0)，
∴，解得OC=3(负值舍去)．
∴C(0，–3)，
设抛物线解析式为y=a(x+1)(x–9)，
∴–3=a(0+1)(0–9)，解得a=，
∴二次函数的解析式为y=(x+1)(x–9)，即y=x2–x–3．
(2) ∵AB为O′的直径，且A(–1，0)，B(9，0)，
∴OO′=4，O′(4，0)，
∵点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，
∴∠BCD=∠BCE=×90°=45°，
连结O′D交BC于点M，则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=AB=5．
∴D(4，–5)．
图10答案图1
∴设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0）
∴解得
∴直线BD的解析式为y=x–9.
(3) 假设在抛物线上存在点P，使得∠PDB=∠CBD，
设射线DP交⊙O′于点Q，则．
分两种情况(如答案图1所示)：
①∵O′(4，0)，D(4，–5)，B(9，0)，C(0，–3)．
∴把点C、D绕点O′逆时针旋转90°，使点D与点B重合，则点C与点Q1重合，
因此，点Q1(7，–4)符合，
∵D(4，–5)，Q1(7，–4)，
∴用待定系数法可求出直线DQ1解析式为y=x–．解方程组得
∴点P1坐标为(，)，[坐标为(，)不符合题意，舍去]．
②∵Q1(7，–4)，
∴点Q1关于x轴对称的点的坐标为Q2(7，4)也符合．
∵D(4，–5)，Q2(7，4)．
∴用待定系数法可求出直线DQ2解析式为y=3x–17．
解方程组得
∴点P2坐标为(14，25)，[坐标为(3，–8)不符合题意，舍去]．
∴符合条件的点P有两个：P1(，)，P2(14，25)．

6、（辽宁沈阳）（1）点在轴上
理由如下：
连接，如图所示，在中，，，
，
由题意可知：

点在轴上，点在轴上．
（2）过点作轴于点
，
在中，，
点在第一象限，
点的坐标为
由（1）知，点在轴的正半轴上
点的坐标为
点的坐标为
抛物线经过点，

由题意，将，代入中得
解得
所求抛物线表达式为：（3）存在符合条件的点，点． 10分
理由如下：矩形的面积
以为顶点的平行四边形面积为．
由题意可知为此平行四边形一边，
又
边上的高为2
依题意设点的坐标为
点在抛物线上

解得，，
，
以为顶点的四边形是平行四边形，
y
x
O
D
E
C
F
A
B
M
，，
当点的坐标为时，
点的坐标分别为，；
当点的坐标为时，
点的坐标分别为，．

7、（苏州市） (1)OH＝1；k＝，b＝；
(2)设存在实数a，是抛物线y＝a(x＋1)(x－5)上有一点E，满足以D、N、E为顶点的三角形与等腰直角△AOB相似
∴以D、N、E为顶点的三角形为等腰直角三角形，且这样的三角形最多只有两类，一类是以DN为直角边的等腰直角三角形，另一类是以DN为斜边的等腰直角三角形．
①若DN为等腰直角三角形的直角边，则ED⊥DN．
由抛物线y＝a(x＋1)(x－5)得：M(－1，0)，N(5，0)
∴D(2，0)，∴ED＝DN＝3，∴E的坐标是(2，3)．
把E(2，3)代入抛物线解析式，得a＝
∴抛物线解析式为y＝(x＋1)(x－5)
即y＝x2＋x＋
②若DN为等腰直角三角形的斜边，则DE⊥EN，DE＝EN．
∴E的坐标为(3.5，1.5)
把E(3.5，1.5)代入抛物线解析式，得a＝．
∴抛物线解析式为y＝(x＋1)(x－5)，即y＝x2＋x＋
当a＝时，在抛物线y＝x2＋x＋上存在一点E(2，3)满足条件，如果此抛物线上还有满足条件的E点，不妨设为E’点，那么只有可能△DE’N是以DN为斜边的等腰直角三角形，由此得E’(3.5，1.5)．显然E’不在抛物线y＝x2＋x＋上，因此抛物线y＝x2＋x＋上没有符合条件的其他的E点．
当a＝时，同理可得抛物线y＝x2＋x＋上没有符合条件的其他的E点．
当E的坐标为(2，3)，对应的抛物线解析式为y＝x2＋x＋时．
∵△EDN和△ABO都是等腰直角三角形，∴∠GNP＝∠PBO＝45°．
又∵∠NPG＝∠BPO，∴△NPG∽△BPO．
∴，∴PB·PG＝PO·PN＝2×7＝14，∴总满足PB·PG＜．
当E的坐标为(3.5，1.5)，对应的抛物线解析式为y＝x2＋x＋时，
同理可证得：PB·PG＝PO·PN＝2×7＝14，∴总满足PB·PG＜．