上海欧华职业技术学院《初等数学研究Ⅰ》2023-2024学年第一学期期末试卷.doc

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上海欧华职业技术学院《初等数学研究Ⅰ》
2023-2024学年第一学期期末试卷

院(系)_______ 班级_______ 学号_______ 姓名_______

题号
一
二
三
四
总分
得分

一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、计算极限的值是多少？（ ）
A. B. C. D.

2、求由曲面 z = x² + y²和 z = 4 - x² - y²所围成的立体体积。（ ）
A.2π B.4π C.8π D.16π

3、设函数，求函数的单调递减区间是多少？利用导数求函数单调区间。（ ）
A.和 B. C.和 D.

4、计算三重积分∫∫∫Ω(x² + y² + z²)dxdydz，其中 Ω 是由球面 x² + y² + z² = 1 所围成的区域，采用球坐标变换后可得（ ）
A.∫₀²πdθ∫₀^πsinφdφ∫₀¹r⁴dr B.∫₀²πdθ∫₀^πsinφdφ∫₀²r⁴dr C.∫₀²πdθ∫₀^πsinφdφ∫₀³r⁴dr D.∫₀²πdθ∫₀^πsinφdφ∫₀⁴r⁴dr

5、设函数，则等于（ ）
A.
B.
C.
D.

6、函数在区间上的最大值是（ ）
A. 5
B. 13
C. 17
D. 21

7、已知函数 z = f(x + y, xy)，其中 f 具有二阶连续偏导数。求 ∂²z/∂x∂y 的表达式是什么？（ ）
A.∂²z/∂x∂y = f₁₂' + yf₂₂'' + xf₁₂'' B.∂²z/∂x∂y = f₁₂' + xf₂₂'' + yf₁₂'' C.∂²z/∂x∂y = f₁₂' + xf₂₂'' - yf₁₂'' D.∂²z/∂x∂y = f₁₂' - xf₂₂'' + yf₁₂''

8、函数在点处沿向量方向的方向导数为（ ）
A.
B.
C.
D.

9、设函数，求的导数是多少？（ ）
A. B. C. D.

10、求极限的值。（ ）
A.0 B.1 C. D.不存在

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）
1、曲线与直线，所围成的平面图形的面积为_____________。

2、设向量，向量，求向量与向量的叉积，结果为_________。

3、设函数，求该函数的导数，根据求导公式，结果为_________。

4、设函数，求其定义域为____。

5、求曲线的拐点为______________。

三、证明题（本大题共3个小题，共30分)
1、（本题10分）设函数在[a,b]上连续，在内可导，且，证明：存在，使得。

2、（本题10分）设函数在[a,b]上二阶可导，且，。证明：存在，使得。

3、（本题10分）设函数在上连续，在内可导，且，。证明：对所有成立。

四、解答题（本大题共2个小题，共20分)
1、（本题10分）设函数，求函数的值域。

2、（本题10分）求定积分。

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