高三上学期期中考试数学理试题.docx

高三年级第一学期期中统一考试
数学试卷（理工类） 命题人 陆富国
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.已知集合,则集合等于
A. B.
C. D.
2.已知命题：，；命题：，.则下列判断正确的是
A．是假命题 B．是真命题
C．是真命题 D．是真命题
3. 执行如图所示的程序框图，则输出的的值是

A.120 B.105 C.15 D.5

4.曲线与直线及轴所围成的图形的面积是
A. B. C. D.

5.设是两个非零的平面向量，下列说法正确的是
• 若，则有；
• ；
• 若存在实数λ，使得＝λ，则；
④若，则存在实数λ，使得＝λ.
A. ①③ B. ①④ C.②③ D. ②④
6.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时（设月租金均为50元的整数倍），就会多一套房子不能出租.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用（设租不出的房子不需要花这些费用）.要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为
A. 3000 B.3300 C.3500 D.4000
7.如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数
（其中 ，），
则估计中午12时的温度近似为（ ）
A. 30 ℃ B. 27 ℃ C.25 ℃ D.24 ℃
8.设函数满足下列条件：
（1）对任意实数都有；
（2），，.
下列四个命题：
①； ②； ③；④当，时，的最大值为.
其中所有正确命题的序号是（ ）
A. ①③ B. ②④ C. ②③④ D. ①③④
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.
9.已知平面向量满足，，且，则向量的坐标是_______.
10.已知， ，则的值是_______;的值是_______.
11.若 是奇函数，则的值是_______.
12.已知等差数列中，为其前项和.若，,
则公差_______；数列的前______项和最大.
13.已知，满足条件若目标函数(其中)仅在点 处取得最大值，则的取值范围是 .
14.如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔和.已知从塔的底部看塔顶部的仰角是从塔的底部看塔顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点分别看两塔顶部的仰角互为余角.则从塔的底部看塔顶部的仰角的正切值为 ；塔的高为 m.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15. （本小题满分13分）
已知函数（）的图象经过点.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数的最小正周期和单调递减区间.

16. （本小题满分13分）
如图，在△中，为钝角，．为延长线上一点，且．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）求的长及△的面积．

17. （本小题满分13分）
在递减的等比数列中，设为其前项和，已知，.
(Ⅰ)求，；
（Ⅱ）设，试比较与的大小关系，并说明理由.
18. （本小题满分14分）
已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
（Ⅱ）若在上是单调函数，求的取值范围.

19.（本小题满分14分）
已知函数，若在区间内有且仅有一个，使得成立，则称函数具有性质.
(Ⅰ)若，判断是否具有性质，说明理由；
（Ⅱ）若函数具有性质，试求实数的取值范围.

20. （本小题满分13分）
对于项数为的有穷数列，记，即为中的最大值，则称是的“控制数列”，各项中不同数值的个数称为的“控制阶数”.
(Ⅰ)若各项均为正整数的数列的控制数列为，写出所有的；
（Ⅱ）若，，其中，是的控制数列，试用表示
的值；
(Ⅲ)在的所有全排列中，将每种排列视为一个数列，对于其中控制阶数为2的所有数列，求它们的首项之和.

答题卷（从略）