偏微分方程答案.doc

第一章． 波动方程

§1 方程的导出。定解条件
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
解：(1)杆的两端被固定在两点则相应的边界条件为

(2)若为自由端，则杆在的张力|等于零，因此相应的边界条件为 |=0
同理，若为自由端，则相应的边界条件为 ∣
(3)若端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数给出，则在端支承的伸长为。由虎克定律有
∣
其中为支承的刚度系数。由此得边界条件
∣ 其中
特别地，若支承固定于一定点上，则得边界条件
∣。
同理，若端固定在弹性支承上，则得边界条件
∣
即 ∣
3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为
其中为圆锥的高(如图1)
证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则
点处截面的半径为：

所以截面积。利用第1题，得

若为常量，则得

§2 达朗贝尔公式、 波的传抪
1. 证明方程
的通解可以写成

其中F,G为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题:

解：令则

又
代入原方程，得

即
由波动方程通解表达式得

所以
为原方程的通解。
由初始条件得

所以
由两式解出

所以
+
即为初值问题的解散。
２．问初始条件与满足怎样的条件时，齐次波动方程初值问题的解仅由右传播波组成？
解：波动方程的通解为
u=F(x-at)+G(x+at)
其中F，G由初始条件与决定。初值问题的解仅由右传播组成，必须且只须对
于任何有 G(x+at)常数.
即对任何x, G(x)C
又 G（x）=
所以应满足
（常数）
或 (x)+=0
3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）

解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)
令 x-at=0 得 =F（0）+G（2x）
令 x+at=0 得 =F（2x）+G(0)
所以 F(x)=-G(0).
G（x）=-F(0).
且 F（0）+G(0)=
所以 u(x,t)=+-
即为古尔沙问题的解。
6．利用波的反射法求解一端固定并伸长到无穷远处的弦振动问题

解：满足方程及初始条件的解，由达朗贝尔公式给出：
。
由题意知仅在上给出，为利用达朗贝尔解，必须将开拓到上，为此利用边值条件，得
。
因此对任何必须有

即必须接奇函数开拓到上，记开拓后的函数为；

所以
。
8．求解波动方程的初值问题

解：由非齐次方程初值问题解的公式得

=
=
=
=
即 为所求的解。

  §3混合问题的分离变量法
1. 用分离变量法求下列问题的解：
(1)
(2)
5．用分离变量法求下面问题的解

解：边界条件是齐次的，相应的固有函数为

设
将非次项按展开级数，得

其中
将 代入原定解问题，得满足

方程的通解为

由，得：
由，得
所以
所求解为

§4 高维波动方程的柯西问题
2． 试用降维法导出振动方程的达朗贝尔公式。
解：三维波动方程的柯西问题

当u不依赖于x,y,即u=u(z),即得弦振动方程的柯西问题：

利用泊松公式求解

因只与z有关，故

令,
得
所以

即为达郎贝尔公式。

　　　　　 §5　能量不等式，波动方程解的唯一和稳定性
1． 设受摩擦力作用的固定端点的有界弦振动，满足方程

证明其能量是减少的，并由此证明方程

的混合问题解的唯一性以及关于初始条件及自由项的稳定性。
证：　首先证明能量是减少。
能量　

因弦的两端固定， 所以

于是
(
因此，随着的增加，是减少的。
5）。证明用极坐标表示的下列函数都满足调和方程
（1）
证： 。

第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
1． 化下列方程为标准形式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
解：（1）
因 ，方程为椭圆型。
特征方程为

解之得
因此引变换
有

代入化简即得：

因 ,方程为抛物型.
特征方程为
解之得
因此引变换
有

代入化简即得
(3)
因
当y<0为双曲型.特征方程为
解之得
因此引变换
有

代入化简得

当y=0为抛物线型,已是标准形式.
当y>0为椭圆形.特征方程为,
解之得
因此引变换
有

代入化简得

(4)
因 为双曲型.特征方程为

解之得

因此引变换
有

代入化简得

(5)
因 为椭圆形。特征方程为

即
解之得
因此引变换

有

代入化简得

.

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