专题三-数列.doc

专题二 数列
一、等差数列
1、若三个数，，成等差数列，则A称为与等差中项，
2、等差数列的首项，公差，则， 变形：
3、若是等差数列，且（、、、），则；
若是等差数列，且（、、），则；
4、等差数列的前项和的公式：① ；②．
5、设公差为等差数列的前项和为,则…是等差数列,公差为。
6、设等差数列的项数为,则
①；②；③
7、设等差数列的项数为，则
①； ②； ③
8、设等差数列、的前项和分别为、，则。
二、等比数列
1、若，，成等比数列，则称为与的等比中项．
2、若等比数列的首项是，公比是，则． 变形： ；
3、若是等比数列，且（、、、），则；
若是等比数列，且（、、），则；
4、等比数列的前项和的公式：．
5、设公比为等比数列的前项和为,则…是等比数列,公比为。
6、与的关系：
题型概括
题型一：求值类的计算题（多关于等差等比数列）
A）根据基本量求解（方程的思想）
1、已知为等差数列的前项和，，求；
2、等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和．
3、设是公比为正数的等比数列，若，求数列前7项的和.
4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为，中间两数之和为，求这四个数.
B）根据数列的性质求解
1、已知为等差数列的前项和，，则 ；
2、设、分别是等差数列、的前项和，，则 .
3、设是等差数列的前n项和，若（ ）
4、等差数列,的前项和分别为,,若,则=（ ）
5、已知为等差数列的前项和，，则 .
6、在正项等比数列中，，则_______。
7、已知数列是等差数列，若 ,且,则_________。
8、已知为等比数列前项和，，，则 .
9、在等差数列中，若，则的值为（ ）
10、在等比数列中，已知，，则 .
11、已知为等差数列，，则 .
12.在等差数列中，若 = .
题型二：求数列通项公式：
A） 给出前几项，求通项公式

3，-33,333，-3333,33333……
B）给出前n项和求通项公式
1、⑴； ⑵.
2、设数列满足，求数列的通项公式
C）给出递推公式求通项公式
a、⑴已知关系式，可利用迭加法或迭代法；
已知数列中，，求数列的通项公式；
b、已知关系式，可利用迭乘法.
已知数列满足：，求求数列的通项公式；
c、构造新数列
1°递推关系形如“”，利用待定系数法求解
已知数列中，，求数列的通项公式.
2°形如“，两边同除或待定系数法求解
，求数列的通项公式.
3°递推已知数列中，关系形如“”，利用待定系数法求解
已知数列中，，求数列的通项公式.
4°形如",两边同除以
1、已知数列中，，求数列的通项公式.
2、数列中，，求数列的通项公式.
d、给出关于和的关系
1，已知数列，，设，求数列的通项公式．
2、已知数列，，.
⑴求的通项； ⑵设，求数列的前项和.
题型三：证明数列是等差或等比数列
A)证明数列等差
1、已知为等差数列的前项和，.求证：数列是等差数列.
2、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0（n≥2），a1=.求证：{}是等差数列；
B）证明数列等比
1、设{an}是等差数列，bn＝，求证：数列{bn}是等比数列；
2、设为数列的前项和，已知
⑴证明：当时，是等比数列；⑵求的通项公式
3、已知数列中，
⑴证明：数列是等比数列；⑵求数列的通项公式；
⑶若数列满足证明是等差数列.
题型四：求数列的前n项和
基本方法：
A）公式法，
B）拆解求和法.
求数列的前项和.
求数列的前项和.
求和：2×5+3×6+4×7+…+n（n+3）
C）裂项相消法，数列的常见拆项有：；；
求和：S=1+
求和：.
D）倒序相加法，
设，求：
（1）
⑵
E）错位相减法，
若数列的通项，求此数列的前项和.
F）对于数列等差和等比混合数列分组求和
已知数列{an}的前n项和Sn=12n－n2，求数列{|an|}的前n项和Tn.
题型五：数列单调性最值问题
1、数列中，，当数列的前项和取得最小值时， .
2、已知为等差数列的前项和，当为何值时，取得最大值；
3、数列中，，求取最小值时的值.
4、数列中，，求数列的最大项和最小项.
5、设数列的前项和为．已知，，．
（Ⅰ）设，求数列通项公式；（Ⅱ）若，，求的取值范围．
6、已知为数列的前项和，，.
⑴求数列的通项公式；
⑵数列中是否存在正整数，使得不等式对任意不小于的正整数都成立？若存在，求最小的正整数，若不存在，说明理由.

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