3-机械制图---第二章.ppt

,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,Click to edit Master title style,正投影的基本知识,第,2,章,2.1,投影法,投影法是指投射线通过物体，向选定的平面投射，并在该面上得到图形的方法，如图,2-1,所示。其中，投射线的起源点称为投射中心，选定的平面称为投影面，投影面上所得到的图形称为,投影,。按投射线类型（平行或汇交）不同，投影法可分为,中心投影法,和,平行投影法,。,2.1,投影法,图,2-1,投影法,2.1,投影法,1,中心投影法,中心投影法,是指投射中心位于有限远处，投射线汇交于一点的投影法，如图,2-2,所示。,中心投影法绘制的投影图具有直观性较强、立体感较好等优点，但不能反映物体表面的真实形状和大小，故其在工程上仅用于土建工程及大型设备辅助图样的绘制。,2.1,投影法,图,2-2,中心投影法,2.1,投影法,2,平行投影法,平行投影法,是指投射中心位于无限远处，投射线互相平行的投影法，如图,2-3,所示。平行投影法绘制的投影图虽然直观性差，但度量性好。,平行投影法分为正投影法和斜投影法。其中，正投影法是指投射线与投影面之间相互垂直的平行投影法，斜投影法是指投射线与投影面之间倾斜的平行投影法，如图,2-4,所示。,2.1,投影法,图,2-3,平行投影法,2.1,投影法,图,2-4,平行投影法分类,（,a,）正投影法,（,b,）斜投影法,2.1,投影法,由于正投影法不仅能真实地表达空间物体的形状和大小，而且作图原理简单，便于作图，因此，正投影是机械图样中应用最广泛的图示法。本书主要介绍正投影法，今后如无特殊说明，所述投影均视为正投影。,2.2,点的投影,如图,2-5,（,a,）所示，过空间点,A,的投射线与投影面,P,的交点,a,，称为点,A,在投影面,P,上的投影。,当点的空间位置确定时，点在某一投影面上的投影便是唯一的，但点的单面投影不能唯一确定点的空间位置，如图,2-5,（,b,）所示。因此，工程中以及机械制图中一般都采用多面正投影。,2.2,点的投影,（,a,）,（,b,）,图,2-5,点的单面投影,2.2.1,点的三面投影,以相互垂直的三个面作为投影面，便组成了三面投影体系，如图,2-6,所示。其中，正立放置的投影面称为正立投影面，用,V,表示；水平放置的投影面称为水平投影面，用,H,表示；侧立放置的投影面称为侧立投影面，用,W,表示；相互垂直投影面的三根交线称为投影轴，分别用,OX,，,OY,，,OZ,表示，三根投影轴的交点,O,称为原点。,1,三面投影体系,2.2.1,点的三面投影,图,2-6,三面投影体系,2.2.1,点的三面投影,如图,2-7,所示，投影面,V,和,H,将空间分成四个分角。将物体置于第,分角内，使其处于观察者与投影面之间而得到的正投影的方法称为第一角画法。,将物体置于第,分角内，使投影面处于物体与观察者之间而得到正投影的方法称为第三角画法。我国国家标准规定机械图样主要采用第一角画法，即采用图,2-8,所示的三面投影体系。,2.2.1,点的三面投影,图,2-7,四个分角,图,2-8,三面投影体系,2.2.1,点的三面投影,2,点的三面投影,如图,2-9,（,a,）所示，将空间点,A,分别向,H,，,V,，,W,三个投影面投射，即可得到点,A,的三个投影,a,，,a,，,a,，它们分别称为点,A,的水平投影、正面投影和侧面投影。,2.2.1,点的三面投影,为了画图方便，需将互相垂直的三个投影面摊平在同一个平面上。规定：正立投影面不动，将水平投影面绕,OX,轴向下旋转,90,，将侧立投影面绕,OZ,轴向右旋转,90,，使,H,，,V,，,W,三个投影面共面。应注意：水平投影面和侧立投影面旋转时，,OY,轴被分为两部分，分别用,OY,H,（在,H,面上）和,OY,W,（在,W,面上）表示，如图,2-9,（,b,）所示。,画图时，不必画出投影面边框。,2.2.1,点的三面投影,（,a,）,图,2-9,点的三面投影,（,b,）,2.2.2,点的空间位置,1,点三面投影图的性质,点的三面投影图具有以下性质。,点的两面投影的连线，必定垂直于相应的投影轴，如图,2-9,（,b,）中,aa,OZ,，,aa,OX,。,2.2.2,点的空间位置,点的投影到投影轴的距离，等于空间点到相应投影面的距离，即影轴距等于点面距。例如，在图,2-9,（,b,）中，,aa,x,=,aa,z,=,点,A,到,V,面的距离，,aa,x,=,aa,y,=,点,A,到,面的距离，,aa,z,=,aa,y,=,点,A,到,W,面的距离。,在点的三面投影中，只要知道任意两面投影，根据投影性质便可求出第三面投影。,2.2.2,点的空间位置,【,例,2-1】,如图,2-10,（,a,）所示，已知点,A,的正面投影,a,和侧面投影,a,，求其水平投影,a,。,分析：,由点的投影性质可知，,aa,OX,，,aa,x,=,aa,z,。,作图：,过,a,作直线垂直于,OX,轴，交,OX,轴于,ax,，在,aax,=,aaz,延长线上量取，即可求得,a,点，如图,2-10,（,b,）所示。也可采用作,45,斜线的方法求得,a,点，如图,2-10,（,c,）所示。,2.2.2,点的空间位置,图,2-10,求点的第三投影,（,a,）,（,b,）,（,c,）,2.2.2,点的空间位置,如图,2-11,所示，在三投影面体系中，三根投影轴可以构成一个空间直角坐标系，空间点,A,的位置可以用三个坐标值（,X,A,，,Y,A,，,Z,A,）表示，则点,A,的投影与坐标之间的关系为：,2,点的投影与坐标系之间的关系,2.2.2,点的空间位置,图,2-11,点的投影与坐标之间的关系,（,a,）,（,b,）,2.2.3,两点的相对位置,两点的相对位置是指空间两点的上下、前后、左右位置关系，可以通过两点在同一投影面上投影的相对位置或坐标的大小来判断，即,x,坐标大的在左，,y,坐标大的在前，,z,坐标大的在上。,1,两点的相对位置,2.2.3,两点的相对位置,如图,2-12,所示，由于,x,A,x,B,，故,A,在,B,的左方，同理可判断出,A,在,B,的下方、后方。,图,2-12,两点的相对位置,2.2.3,两点的相对位置,如图,2-13,所示，,E,，,F,两点的投影,e,和,f,重合，说明,E,，,F,两点的,x,，,z,坐标相同，即,x,E,=,x,F,，,z,E,=,z,F,，这表明,E,，,F,两点处于对正面（,V,面）的同一条投射线上。若空间两点在某一投影面上的投影重合，则这两点称为对该投影面的重影点。,2,重影点,2.2.3,两点的相对位置,重影点的可见性需根据这两点不重影的投影坐标大小来判断。例如，图,2-13,中，,e,，,f,重合，但水平投影不重合，且,y,E,y,F,，即,E,在前、,F,在后。所以，对于,V,面来说，,E,可见，,F,不可见。在投影图中，对不可见的点，在重影处的投影需加圆括号表示。因此，,E,，,F,在,V,面的投影表示为,e,（,f,）。,2.2.3,两点的相对位置,图,2-13,重影点,2.3,直线的投影,2.3.1,直线的投影及其特性,1,直线的三面投影,直线的投影一般仍为直线，特殊情况可积聚为一点，如图,2-14,所示。在图,2-14,中，直线,AB,在水平面,H,上的投影为直线,ab,；直线,CD,平行于投射线，其在水平面,H,上的投影,cd,积聚为一点。,2.3,直线的投影,图,2-14,直线的投影,2.3,直线的投影,直线的投影可由直线上两点的同名投影来确定，如图,2-15,所示。在三个投影面中，将同名投影上的投影点用粗实线连接起来，即可得到直线的三面投影，如图,2-15,（,c,）所示。,图,2-15,直线的三面投影,（,a,）,（,b,）,（,c,）,2.3,直线的投影,2,直线的投影特性,在三面投影体系中，按直线与投影的相对位置不同，直线可分为一般位置直线、投影面平行线、投影面垂直线三类，其中，后两类统称为特殊位置直线。,2.3,直线的投影,2.3,直线的投影,投影面平行线是指平行于一个投影面的直线。按平行的投影面不同，投影面平行线可分为水平线（平行于,H,面）、正平线（平行于,V,面）和侧平线（平行于,W,面）三种，其各自投影特性如表,2-1,所示。,2.3,直线的投影,表,2-1,投影面平行线的投影特性,2.3,直线的投影,由表,2-1,可知，投影面平行线具有以下投影特性。,在平行投影面上，直线的投影反映实长，直线投影与投影轴的夹角分别反映直线与另外两个投影面倾角的实际大小。,在另外两个投影面上，直线投影分别平行于相应的投影轴，且短于空间直线段。,2.3,直线的投影,投影面垂直线是指垂直于一个投影面，而与其余两个投影面平行的直线。按垂直的投影面不同，投影面垂直线可分为铅垂线（垂直于,H,面）、正垂线（垂直于,V,面）和侧垂线（垂直于,W,面）三种，其各自投影特性如表,2-2,所示。,2.3,直线的投影,表,2-2,投影面垂直线的投影特性,2.3,直线的投影,由表,2-2,可知，投影面垂直线具有以下投影特性。,在垂直投影面上，直线的投影积聚为一点。,在另外两个投影面上，直线投影分别平行于相应的投影轴，且短于空间直线段。,2.3,直线的投影,从属于一个投影面的直线是投影面平行线和投影面垂直线的特殊情况，它同时具有该两类直线的投影性质。从属于一个投影面直线的特殊性在于：必有一投影重合于直线本身，另两投影在投影轴上，如图,2-16,（,a,）和图,2-16,（,b,）所示。,更特殊的直线是从属于投影轴的直线，这类直线必定是投影面的垂直线，它的投影特性是两投影重合于直线本身，另一投影积聚在原点上，如图,2-16,（,c,）所示。,2.3,直线的投影,图,2-16,从属于一个投影面的直线,（,a,）从属于,V,面的直线,（,b,）从属于,V,面的铅垂线,（,c,）从属于,OX,轴的直线,2.3.2,直线与点的相对位置,直线与其上点的关系如下。,1,2,2.3.2,直线与点的相对位置,图,2-17,直线上的点,（,a,）,（,b,）,2.3.2,直线与点的相对位置,1,求直线上点的投影,【,例,2-2】,如图,2-18,（,a,）所示，已知点,K,在直线,AB,上，求点,K,的其余两面投影。,分析：,由于点,K,在直线,AB,上，所以点,K,的三面投影分别位于直线,AB,的同名投影上。,作图：,如图,2-18,（,b,）所示，先作出,AB,的侧面投影,ab,，然后再在,ab,，,ab,上确定点,K,的水平投影,k,和侧面投影,k,。,2.3.2,直线与点的相对位置,图,2-18,求直线上点的投影,（,a,）,（,b,）,2.3.2,直线与点的相对位置,【,例,2-3】,如图,2-19,（,a,）所示，已知点,K,在直线,CD,上，求点,K,的正面投影。,分析：,求点,K,的正面投影有两种方法，一种是先求出直线,CD,的侧面投影，然后再求出点,K,的正面投影；另一种是利用点分线段成定比的方法求出点,K,的正面投影。此处采用第二种方法作图。,作图：,如图,2-19,（,b,）所示，采用作相似三角形的方法使,ck/kd,=,ck/kd,，定出,k,在,cd,上的位置，即求得点,K,的正面投影。,2.3.2,直线与点的相对位置,图,2-19,求直线上点的投影,（,a,）,（,b,）,2.3.2,直线与点的相对位置,2,判断点是否在直线上,判断点是否在直线上，一般只需判断两个投影面上的投影即可。当直线与投影面平行，且给出的两个投影又与投影轴平行时，则需求出第三个投影来进行判断，或用点分线段成定比的方法来判断。,2.3.2,直线与点的相对位置,【,例,2-4】,如图,2-20,（,a,）所示，已知直线,AB,和点,K,的正面投影和水平投影，试判断点,K,是否在直线,AB,上。,方法一作图：,如图,2-20,（,b,）所示，先作出直线,AB,的侧面投影,ab,，再作出,K,的侧面投影,k,，由于 ，所以点,K,不在直线,AB,上。,2.3.2,直线与点的相对位置,图,2-20,判断点是否在直线上,（,a,）,（,b,）,（,c,）,2.3.3,两直线的相对位置,空间中两直线的相对位置有平行、相交和交叉（异面）三种情况。,1,两直线平行,两直线平行的投影规律如下。,1,若两直线平行，则它们的同名投影一定相互平行，如图,2-21,所示。反之，若空间两直线的同名投影均相互平行，则该两直线一定为平行关系。,2.3.3,两直线的相对位置,图,2-21,两直线平行,（,a,）,（,b,）,2.3.3,两直线的相对位置,2,若两直线平行，则它们的长度之比等于它们同名投影的长度之比。这条投影特性反过来不一定成立，因此，实际应用中还必须检查两线段的倾斜方向是否相同。,判断空间两直线是否平行，一般情况下，只需判断两直线的任意两对同名投影是否分别平行即可。但当两直线同为某投影面平行线时，只有该投影面上的投影平行或平行线投影保持定比时才能判断两直线相互平行。,2.3.3,两直线的相对位置,【,例,2-5】,判断直线,DE,，,FG,在图,2-22,（,a,）和图,2-22,（,c,）中所示的情况是否平行。,图,2-22,判断两直线是否平行,（,a,）,（,b,）,2.3.3,两直线的相对位置,图,2-22,判断两直线是否平行,（,c,）,（,d,）,2.3.3,两直线的相对位置,方法一：,根据两平行直线在同一投影面上投影仍平行来判断两直线是否平行。作图,2-22,（,a,）和图,2-22,（,c,）的第三面投影，分别如图,2-22,（,b,）和图,2-22,（,d,）所示，从图中可以判断，图,2-22,（,a,）中的直线,DE,，,FG,平行，图,2-22,（,c,）中的直线,DE,，,FG,不平行。,2.3.3,两直线的相对位置,方法二：,根据平行两线段之比与其投影之比相等，以及两直线对投影面的方向是否相同来判断两直线是否平行。因此，图,2-22,（,a,）中的直线,DE,，,FG,平行；图,2-22,（,c,）中,DE,，,FG,的两面投影字母符号顺序不一致，因而两线段倾斜方向不一致，故直线,DE,，,FG,不平行。,2.3.3,两直线的相对位置,2,两直线相交,若空间两直线相交，则它们的同名投影一定相交，且交点同属于两直线，如图,2-23,所示；反之亦然。,判断空间两直线是否相交，一般情况下，只需判断直线的两组同名投影相交，且交点符合直线上点的投影特性即可。当两直线中有一条为特殊位置直线时，若两直线的同名投影相交，则空间两直线不一定相交。,2.3.3,两直线的相对位置,图,2-23,两直线相交,2.3.3,两直线的相对位置,【,例,2-6】,判断图,2-24,（,a,）中直线,AB,，,CD,是否相交。,方法一：,求出侧面投影，如图,2-24,（,b,）所示，虽然,a,，,b,相交，但其交点不是,k,，即点,K,不是两直线共有点，故直线,AB,，,CD,不相交。,2.3.3,两直线的相对位置,方法二：,2.3.3,两直线的相对位置,图,2-24,判断两直线是否相交,（,a,）,（,b,）,2.3.3,两直线的相对位置,3,两直线交叉,两交叉直线是指既不平行也不相交的两条直线。如图,2-25,（,a,）所示，直线,AB,和,CD,为两交叉直线，则这两条直线的正面投影和水平投影均相交，但正面投影中的交点与水平投影中的交点并非同一点，如图,2-25,（,b,）所示。,2.3.3,两直线的相对位置,图,2-25,判断两直线是否交叉,（,a,）,（,b,）,2.3.3,两直线的相对位置,两交叉直线同名投影的交点是直线上一对重影点的投影，用它可以判断空间两直线的相对位置。在图,2-25,中，直线,AB,和,CD,水平投影的交点是直线,CD,上点,和直线,AB,上点,对,H,面的重影点,1,（,2,），由正面投影可知，点,在上，点,在下，故该处直线,CD,在直线,AB,的上方。,同理，直线,AB,和,CD,的正面投影交点是直线,AB,上点,和直线,CD,上点,对,V,面的重影点,3,（,4,），由水平投影可知，点,在前，点,在后，故该处直线,AB,在直线,CD,的前方。,2.4,平面的投影,在投影图上，通常可用下列五组几何元素中任一组的投影来表示平面的投影。,2.4.1,平面的表示方法,不属于同一直线的三点，如图,2-26,（,a,）所示。,一直线和线外一点，如图,2-26,（,b,）所示。,2.4,平面的投影,相交两直线，如图,2-26,（,c,）所示。,平行两直线，如图,2-26,（,d,）所示。,平面几何图形，如三角形、四边形、圆等，如图,2-26,（,e,）所示。,2.4,平面的投影,图,2-26,平面的五种表示方法,（,a,）,（,b,）,（,c,）,（,d,）,（,e,）,以上用几何元素表示平面的五种形式彼此间是可以相互转化的。实际上，第一种表示方法是基础，后几种都是由它转化而来的。,2.4.2,平面的投影及其特性,按平面对投影面的相对位置不同，平面可分为一般位置平面、投影面垂直面和投影面平行面三类。其中，后两者统称为特殊位置平面。,1,一般位置平面,一般位置平面是指对三个投影面都倾斜的平面，如图,2-27,所示。,2.4.2,平面的投影及其特性,图,2-27,一般位置平面,（,a,）,（,b,）,2.4.2,平面的投影及其特性,一般位置平面的投影特性是三个投影面的投影均为缩小的类似形，即边数相等的类似多边形，不反映空间平面的实际形状。例如，图,2-27,（,b,）中三个投影面上的投影都是三角形，即类似形。,2.4.2,平面的投影及其特性,2,投影面垂直面,投影面垂直面是指垂直于某一投影面而与其余两投影面都倾斜的平面。其中，垂直于,H,面的平面称为铅垂面，垂直于,V,面的平面称为正垂面，垂直于,W,面的平面称为侧垂面，它们的投影特性如表,2-3,所示。,2.4.2,平面的投影及其特性,表,2-3,投影面垂直面的投影特性,2.4.2,平面的投影及其特性,由表,2-3,可知，投影面垂直面的投影特性如下。,在垂直投影面上，面的投影积聚成与该投影面内的两投影轴都倾斜的直线，该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另两个投影面夹角的实际大小。,在另外两个投影面上，面的投影为原形的类似形。,2.4.2,平面的投影及其特性,3,投影面平行面,投影面平行面是指平行于某一投影面，从而垂直于其余两个投影面的平面。其中，平行于,H,面的平面称为水平面，平行于,V,面的平面称为正平面，平行于,W,面的平面称为侧平面，它们的投影特性如表,2-4,所示。,2.4.2,平面的投影及其特性,表,2-4,投影面平行面的投影特性,2.4.2,平面的投影及其特性,由表,2-4,可知，投影面平行面的投影特性如下。,在平行投影面上，面的投影反映平面的实际形状。,在另外两个投影面上，面的投影均积聚成直线，且平行于相应的投影轴。,2.4.3,平面上的直线和点,1,平面内取直线,具备下列条件之一的直线，必位于给定的平面内。,直线经过平面内已知的两点。,直线经过平面内的一点，且平行于平面内的另一条直线。,2.4.3,平面上的直线和点,【,例,2-7】,如图,2-28,（,a,）所示，已知平面由两相交直线,AB,，,AC,给出，求作平面内任意一条直线。,方法一：,在平面内任意取两点连线。如图,2-28,（,b,）所示，分别在直线,AB,，,AC,上任意取点,M,（,m,，,m,），,N,（,n,，,n,），然后连接该两点的同名投影，即得所求直线。,2.4.3,平面上的直线和点,方法二：,过面内一点作面内已知直线的平行线。如图,2-28,（,c,）所示，过点,C,作直线,CM,平行已知直线,AB,，即,cm,ab,，,cm,ab,，则直线,CM,即为所求直线。,2.4.3,平面上的直线和点,图,2-28,平面内取任意直线,（,a,）,（,b,）,（,c,）,2.4.3,平面上的直线和点,【,例,2-8】,如图,2-29,（,a,）所示，已知平面由,ABC,给出，在该平面内求作一条正平线，使其到,V,面的距离为,10 mm,。,分析：,所求正平线处于已知平面内，其水平投影应平行于,OX,轴，且与,OX,轴的距离为,10 mm,。,作图：,如图,2-29,（,b,）所示，在,H,面作与,OX,平行且距离为,10 mm,的直线，其与直线,ab,，,bc,的交点分别为,m,，,n,。过,m,，,n,分别作,OX,的垂线，它们与直线,ab,，,bc,的交点分别为,m,，,n,，连接,mn,，,mn,，即为所求正平线的两面投影。,2.4.3,平面上的直线和点,图,2-29,在平面内取正平线,（,a,）,（,b,）,2.4.3,平面上的直线和点,2,平面内取点,点从属于平面的条件是：若点属于一直线，直线属于一平面，则该点必属于该平面。因此，在取属于平面的点时，首先应取属于平面的直线，再取属于该直线的点。,2.4.3,平面上的直线和点,【,例,2-9】,如图,2-30,（,a,）所示，已知点,K,位于,ABC,内，求点,K,的水平投影。,分析：,在平面内过点,K,任意作一条辅助直线，则点,K,的投影必在该直线的同名投影上。,作图：,如图,2-30,（,b,）所示，连接,bk,并延长，交,ac,于,d,；过,d,作,OX,轴的垂线，交,ac,于,d,，连接,bd,；过,k,作,OX,轴的垂线，交,bd,于,k,，点,k,即为点,K,的水平投影。,2.4.3,平面上的直线和点,图,2-30,平面内取点,（,a,）,（,b,）,2.4.3,平面上的直线和点,【,例,2-10】,如图,2-31,（,a,）所示，已知,ABC,的两面投影，在,ABC,内求取一点,M,，使其到,H,面和,V,面的距离均为,10 mm,。,分析：,平面内的正平线是与,V,面等距离点的轨迹，故点,M,位于平面内距,V,面为,10 mm,的正平线上。点的正面投影到,OX,的距离反映点到,H,面的距离（,10 mm,）。,2.4.3,平面上的直线和点,作图：,如图,2-31,（,b,）所示，在,H,面作与,OX,轴平行且相距,10 mm,的直线，交直线,ac,，,ab,于点,d,，,e,；过点,d,，,e,作,OX,轴的垂线，分别交,ac,，,ab,于点,d,，,e,，连接,de,；在,V,面作与,OX,轴平行且相距,10 mm,的直线，交直线,de,于,m,；过,m,作,OX,轴的垂线，交直线,de,于,m,，则点,m,，,m,即为所求点,M,的水平投影和正面投影。,2.4.3,平面上的直线和点,图,2-31,平面内取点,（,a,）,（,b,）,2.5,直线与平面以及两平面之间的相对位置,直线与平面之间以及两平面之间的相对位置可分为平行、相交和垂直三种情况。,2.5.1,平行,1,直线与平面平行,由初等几何可知，若平面外一直线平行于平面内一直线，则该直线与该平面平行。例如，图,2-32,中，由于直线,AB,平行于平面,P,内的直线,CD,，所以直线,AB,平行于平面,P,。,图,2-32,直线与平面平行,2.5,直线与平面以及两平面之间的相对位置,过,K,点可作无数条平行于已知平面的直线，其中只有一条是水平线。如图,2-33,（,b,）所示，先作平面内的水平辅助线,CD,，再过点,K,引直线,EF,平行于,CD,。由于,EF,CD,，,CD,在平面,ABC,内，所以,EF,平面,ABC,。,【,例,2-11】,如图,2-33,（,a,）所示，已知,ABC,平面，过已知点,K,求作一水平线平行于,ABC,平面。,2.5,直线与平面以及两平面之间的相对位置,图,2-33,作直线平行于已知平面,（,a,）,（,b,）,2.5,直线与平面以及两平面之间的相对位置,如果平面内能做出一条平行于,AB,的直线,FG,，则,AB,平行于定平面,CDE,，否则，,AB,与定平面,CDE,不平行。如图,2-34,（,b,）所示，在平面,cde,中作与直线,ab,平行的直线,fg,，然后再定出点,f,，,g,，连接,fg,，观察,fg,是否与,ab,平行。由于,fg,与,ab,不平行，即平面内没有与直线,AB,平行的直线，所以，,AB,与定平面,CDE,不平行。,【,例,2-12】,如图,2-34,（,a,）所示，试判断已知直线,AB,是否平行于定平面,CDE,。,2.5,直线与平面以及两平面之间的相对位置,图,2-34,判断直线与平面是否平行,（,a,）,（,b,）,2.5,直线与平面以及两平面之间的相对位置,2,两平面平行,由初等几何可知，若属于一平面的两相交直线分别平行于另一平面的两相交直线，则此两平面平行。如图,2-35,所示，相交直线,AB,，,BC,属于平面,P,，相交直线,DE,，,EF,属于平面,Q,，若此两对相交直线分别平行，则平面,P,平行于平面,Q,。,2.5,直线与平面以及两平面之间的相对位置,图,2-35,两平面相互平行,2.5,直线与平面以及两平面之间的相对位置,如图,2-36,（,b,）所示，分别作属于两平面的水平线,CM,，,DK,和正平线,AN,，,EL,，观察可知,CM,DK,，,AN,EL,，所以,ABC,平面与,DEF,平面平行。,【,例,2-13】,如图,2-36,（,a,）所示，试判断,ABC,平面与,DEF,平面是否平行。,2.5,直线与平面以及两平面之间的相对位置,图,2-36,判断两平面是否平行,（,a,）,（,b,）,2.5,直线与平面以及两平面之间的相对位置,过点,K,作两条相交直线分别平行于已知平面内的两条相交直线，则此两条相交直线所在平面即为所求平面。,如图,2-37,（,b,）所示，在已知平面内作一条直线,MN,，使其与已知的平行直线相交；过点,K,作,EF,，,GH,分别平行于,AB,，,MN,，则直线,EF,，,GH,所在平面即为过点,K,的所求平面。,【,例,2-14】,如图,2-37,（,a,）所示，已知定平面由平行直线,AB,和,CD,给定，试过点,K,求作一平面，使其平行于已知平面。,2.5,直线与平面以及两平面之间的相对位置,图,2-37,作平面平行于已知平面,（,a,）,（,b,）,2.5,直线与平面以及两平面之间的相对位置,判断平行问题时，若直线与投影面垂直面平行，或两平面均为投影面垂直面，则只检查具有积聚性的投影是否平行即可。如图,2-38,所示，已知平面,P,平行于平面,Q,，且平面,P,，,Q,均垂直于平面,H,，根据投影面垂直面的性质，属于,P,，,Q,上所有直线的水平投影分别积聚在,P,，,Q,的水平投影,P,H,，,Q,H,上。,2.5,直线与平面以及两平面之间的相对位置,图,2-38,两特殊位置平面平行,（,a,）,（,b,）,2.5.2,相交,直线和平面相交的交点，是直线与平面的共有点。作此类图时，除了求出交点的投影外，还应判断直线投影的可见性。,两平面相交的交线，是两平面的共有直线。作此类图时，除了求出交线的投影外，还应判断两平面投影的可见性。,2.5.2,相交,当平面为特殊位置平面时，可利用积聚性求直线与平面的交点或平面之间的交线。,1,特殊位置,2.5.2,相交,（,1,）直线与特殊位置平面相交,如图,2-39,所示，直线,MN,与铅垂面,ABC,相交，,K,的水平投影,k,既属于,ABC,的水平投影，又属于直线,MN,的水平投影，由,k,可求得,mn,与,ABC,正面投影的交点,k,，即直线,MN,与铅垂面,ABC,的交点为,K,（,k,，,k,）。,2.5.2,相交,由水平投影可知，,KN,在铅垂面,ABC,的前面，故正面投影,kn,可见，用实线表示；而,km,与铅垂面,ABC,重叠部分不可见，用虚线表示。,2.5.2,相交,图,2-39,直线与特殊位置平面的交点,2.5.2,相交,（,2,）一般位置平面与特殊位置平面相交,求两平面的交线可看作是求平面的两个共有点。如图,2-40,所示，平面,ABC,与铅垂面,DEF,的交线，可通过属于交线的任意两点（如,K,，,L,）求得。,图,2-40,一般位置平面与特殊位置平面的交线,2.5.2,相交,2,一般位置,由于一般位置平面没有积聚性，所以当直线与一般位置平面相交时，无法在投影图上直接定出交点，而需通过辅助平面作图求出交点。,（,1,）直线与一般位置平面相交,2.5.2,相交,【,例,2-15】,如图,2-41,（,a,）所示，求直线,DE,与一般位置平面,ABC,的交点。,过直线,DE,作平面,S,，平面,S,与,ABC,的交线为,MN,，则直线,DE,与,MN,的交点,K,为所求直线,DE,与一般位置平面,ABC,的交点，作图过程如图,2-41,（,b,）、图,2-41,（,c,）、图,2-41,（,d,）所示。,2.5.2,相交,图,2-41,求直线与一般位置平面的交点,（,a,）,（,b,）,（,c,）,（,d,）,2.5.2,相交,（,2,）两个一般位置平面相交,1,）用直线与平面求交点的方法求两平面共有点,如图,2-42,（,a,）所示，已知平面,ABC,和,DEF,，求此两平面相交的交线。如图,2-42,（,b,）、图,2-42,（,c,）、图,2-42,（,d,）所示，可先分别求出直线,DE,，,DF,与平面,ABC,的交点,L,，,K,，则直线,KL,便是平面,ABC,和,DEF,的交线。,2.5.2,相交,图,2-42,两个一般位置平面的交线,（,a,）,（,b,）,2.5.2,相交,图,2-42,两个一般位置平面的交线,（,c,）,（,d,）,2.5.2,相交,2,）用三面共点法求两平面共有点,如图,2-43,所示，已知平面,R,，,S,，需求此两平面的共有点。取任意辅助平面,P,，它与,R,，,S,的交线分别为,和,，而,和,的交点,K,1,为三面共有，即也为,R,，,S,两面共有。同理，作辅助平面,Q,，找到另一共有点,K,2,。,K,1,K,2,即为平面,R,，,S,两平面的交线。,2.5.2,相交,图,2-43,求两平面共有点的示意图,2.5.2,相交,【,例,2-16】,如图,2-44,所示，已知平面,ABC,，,DE,FG,，求平面,ABC,与平面,DEGF,的交线。,根据图,2-43,原理，取水平面,P,为辅助平面，利用,P,V,的积聚性，分别求出平面,P,与两已知平面的交线,（,12,，,1,2,）和,（,34,，,3,4,）。,和,的交点,K,1,（,k,1,，,k,1,）为平面,ABC,、平面,DEGF,及平面,P,的共有点。同理，作辅助平面,Q,求得另一个共有点,K,2,（,k,2,，,k,2,）。,K,1,K,2,即为所求平面,ABC,与平面,DEGF,的交线。,2.5.2,相交,图,2-44,两个一般位置平面的交线,2.5.2,相交,3,投影图的可见性,为了使图形更容易观看，不可见部分的投影用虚线表示。投影图的可见性通过重影点来判断。,2.5.2,相交,直线与平面相交时，交点是直线可见部分和不可见部分的分界点。,如图,2-45,（,a,）所示，取重影点,（,1,，,1,）和,（,2,，,2,），其中，点,在,KN,上，点,在,DE,上。观察水平投影可知，,比,更远离,OX,轴，因此，,KN,在,DE,前面，,KN,在正面投影上可见。,（,1,）直线与平面相交的可见性,2.5.2,相交,同理，取重影点,（,3,，,3,）和,（,4,，,4,），点,在,MK,上，点,在,DE,上。观察正平投影可知，,MK,在,DE,的上面。也就是说，,MK,在水平投影上可见。,直线,MN,与平面,DEF,的空间情况如图,2-45,（,b,）所示。,2.5.2,相交,图,2-45,直线与平面相交的可见性,（,a,）,（,b,）,2.5.2,相交,平面与平面相交时，两平面交线是两平面在投影图上可见与不可见的分界线。,（,2,）平面与平面相交的可见性,2.5.2,相交,【,例,2-17】,如图,2-46,（,a,）所示，判断两相交平面的可见性。,根据交线是分界线，以及平面的连续性，只要判断出一部分平面的可见性，则另一部分平面的可见性也就明确了。如图,2-46,（,b,）所示，在每个投影上的四对重影点中任意选取两对重影点即可判断两相交平面的可见性。,2.5.2,相交,图,2-46,两相交平面的可见性,（,a,）,（,b,）,2.5.3,垂直,1,直线与平面垂直,2.5.3,垂直,图,2-47,直线与平面垂直,（,a,）,（,b,）,2.5.3,垂直,若一直线的水平投影垂直于定平面内水平线的水平投影，直线的正面投影垂直于定平面内正平线的正面投影，则此直线必垂直于该平面。,2.5.2,相交,【,例,2-18】,如图,2-48,（,a,）所示，已知平面,ABC,，试过定点,S,作平面的法线。,若要在正投影图上确定平面法线的方向，必须先确定该平面上的投影面平行线的方向。因此，如图,2-48,（,b,）所示，作,ABC,上的任意正平线,BD,和水平线,CE,。过,s,作,bd,的垂线,sf,，即为所求法线的正面投影；过,s,作,ec,的垂线,sf,，即为所求法线的水平投影。,2.5.3,垂直,图,2-48,作定平面的法线,（,a,）,（,b,）,2.5.3,垂直,辅助线,BD,和,CE,与法线,SF,是不相交的。此处仅利用,BD,和,EC,的方向，与垂足无关。垂足是法线和平面的交点，必须按照直线与平面求交点的作图过程才能求得，其作法见直线与平面相交。,2.5.3,垂直,当平面为特殊位置平面，作图方法可简化。如图,2-49,（,a,）所示，与正垂面垂直的法线必为正平线；如图,2-49,（,b,）所示，与铅垂面垂直的法线必为水平线；如图,2-49,（,c,）所示，与正平面垂直的法线必为正垂线。,2.5.3,垂直,图,2-49,特殊位置平面的法线,（,a,）,（,b,）,（,c,）,2.5.3,垂直,【,例,2-19】,如图,2-50,（,a,）所示，已知定平面由直线,AB,，,CD,给定，试判断直线,MN,是否垂直于定平面。,2.5.3,垂直,图,2-50,判断直线与平面是否垂直,（,a,）,（,b,）,2.5.3,垂直,2,两平面相互垂直,由初等几何可知，若一直线垂直于一定平面，则这条直线所在的所有平面都垂直于该平面；反之，若两平面互相垂直，则自第一个平面上任意点向第二个平面所作的垂线，一定在第一个平面上，如图,2-51,所示。,2.5.3,垂直,图,2-51,两平面互相垂直示意图,（,a,）过平面垂线的所有平面都垂直于该平面,（,b,）两平面相垂直,（,c,）两平面不垂直,2.5.3,垂直,【,例,2-20】,如图,2-52,（,a,）所示，过定点,S,作与已知平面,ABC,垂直的平面。,如图,2-52,（,b,）所示，过点,S,作平面,ABC,的垂线,SF,，包含垂线,SF,的一切平面均垂直于平面,ABC,，因此，本题有无数解。作任意直线,SN,与,SF,相交，直线,SN,，,SF,所确定的平面便是其中之一。,2.5.3,垂直,图,2-52,过定点作平面的垂直面,（,a,）,（,b,）,2.5.3,垂直,【,例,2-21】,如图,2-53,（,a,）所示，试判断两相交直线,AB,，,CD,所给定的平面与平面,KMN,是否垂直。,在平面,KMN,中，过点,M,作另一平面的垂线，然后检查该垂线是否属于平面,KMN,。如图,2-53,（,b,）所示，作平面,ABCD,的水平线,EF,，然后根据平面,ABCD,的正平线,CD,和水平线,EF,作垂线,MS,。经检查,MS,不属于平面,KMN,，故平面,ABCD,与平面,KMN,不垂直。,2.5.3,垂直,图,2-53,判断两平面是否垂直,（,a,）,（,b,）,2.6,三视图及其对应关系,2.6.1,三视图