5-3--二次型的惯性定理.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,惠州学院数学系,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二次型的惯性定理,定理 复数域上两个,n,阶对称矩阵合同的充分且必要条件是它们有相同的秩,.,两个复二次型等价的充分且必要条件是它们有相同的秩,.,证 显然只要证明第一个论断,.,条件的必要性是明显的,.,我们只要证条件的充分性,.,设,A,，,B,是复数域上两个,n,阶对称矩阵，且,A,与,B,有相同的秩,r,，由定理，分别存在复可逆矩阵,P,和,Q,，使得,取,n,阶复矩阵,的一个平方根,.,那么 ，而,因此，矩阵,A,，,B,都与矩阵,合同，所以,A,与,B,合同,.,实二次型的典范形,定理,实数域上每一,n,阶对称矩阵,A,都合同于如下形式的一个矩阵：,（,1,）,这里,r,等于,A,的秩,.,证,由定理，存在实可逆矩阵,P,，使得,如果,r,0,，必要时交换两列和两行，我们总可以假定,取,那么,定理,实数域上每一,n,元二次型都与如下形式的一个二次型等价：,（,1,）,这里,r,是所给的二次型的秩,.,二次型（,1,）叫做,实二次型的典范形式，,定理,9.2.3,是说，实数域上每一个二次型都与一个典范形式等价,.,在典范形式里，平方项的个数,r,等于二次型的秩，因而是唯一确定的,.,定理（惯性定律）,设实数域,R,上,n,元二次型,等价于两个典范形式,（,2,）,（,3,）,那么,证,设（,2,）和（,3,）分别通过变量的非奇异线性变换,（,4,）,（,5,）,化为所给的二次型 如果 不,妨设 考虑 个方程的齐次线性方程组,（,6,）,因为 所以 因此，方程组（,6,）在,R,内有非零解,.,令 是（,6,）的一个非零解,.,把这一组值代入 的表示式,（,4,）和（,5,）,.,记,我们有,然而,所以,因为 都是非负数，所以必须,又 所以 是齐次线性方程组,的一个非零解,.,这与矩阵 的非奇异性矛盾,.,这就证明了,.,同理可证得,.,所以,由这个定理，实数域上每一个二次型都与 唯一的典范形式（,1,）等价,.,在（,1,）中，正平方项的个数,p,叫做所给二次型的惯性指标,.,正项的个数,p,与负项的个数,r p,的差,s=p (r p)=2p r,叫做,所给的二次型的符号差,.,一个实二次型的秩，惯性指标和符号都是唯一确定的,.,定理,实数域上两个,n,元二次型等价的充分且必要条件是它们有相同的秩和符号差,.,证,设 是实数域上两个,n,元二次型,.,令 分别是它们的矩阵,.,那么由定理,9.2.2,，存在实可逆矩阵,P,，使得,如果 等价，那么 合同,.,于是存在实可逆矩阵,Q,使得,.,取 ，那么,因此 都与同一个典范形式等价，所以它们有相同的秩和符号差,.,反过来，如果 有相同的秩,r,和符号差,s,那么它们也有相同的惯性指标,.,因此 都与矩阵,合同,.,由此推出 合同，从而 等价,.,推论,9.2.6,实数域,R,上一切,n,元二次型可以分成,类，属于同一类的二次型彼此等价，属于不同类的二次型互不等价,.,证,给定,.,令,由定理,9.2.4,，,R,上每一,n,元二次型恰与一个以 为矩阵的典范形式等价,.,当,r,取定后，,p,可以取,0,，,1,，,，,r,；而,r,又可以取,0,，,1,，,，,n,中任何一个数,.,因此这样的 共有,个,.,对于每一个 ，就有一个典范形式,与它相当,.,把与同一个典范形式等价的二次型放在一类，于是,R,上的一切,n,元二次型恰可以分成,类，属于同一类的二次彼此等价，属于不同类的二次互不等价,.,例,1,a,满足什么条件时，二次型,的惯性指标是,0,，符号差是,2,？写出其典范形。,解,实二次型 的矩阵为,经过合同变换可化为标准形,所以当 或 时，二次型的惯性指标是,0,，符号差是,2,，其典范形为,