《衍生金融工具》第十三章-奇异期权.pptx

单击此处编辑母版标题样式,#,第,十三,章,奇异期权,1,1,本章导读,标准的欧式和美式期权在证券交易所被大量交易,以满足交易者的风险对冲以及投资、投机的需求，但是不同的交易者有不同的投资需求、风险偏好以及在税收和市场监管方面的考虑,那么他们对于期权的执行时间、生效时间与条件、收益函数等属性可能有不同的要求。为了满足这些交易者的特定需求,标准期权的相关属性会做一些改变。我们把这样的期权叫做奇异期权,(exotic options),它们可以看做是标准的欧式和美式期权的一些变种。奇异期权因为是非标准期权,它们大多都在场外交易,(over the counter),。在这一章,我们就探讨一系列奇异期权及其定价问题。,通过本章的学习，要求了解主要奇异期权的定义、特性以及使用方法；掌握,远期开始期权、后定期权、两值期权,以及资产交换期权的定价方法,;,熟悉障碍期权和亚式期权定价的基本思想,;,理解静态复制的基本思想和方法,;,掌握奇异期权的数值定价方法以及相关软件的使用。,2,第一节,奇异期权的背景介绍,奇异期权作为衍生金融工具中的精细分支，应用面非常广，大到国家债务结构的调整、企业资产负债表的重构，小到银行的结构化理财产品、企业的杠杆投资、大宗商品的避险等。奇异期权的应用很多是通过结构化债券实现的，所以可以通过奇异期权将表内债务转移到表外，也可以包装成挂钩黄金、有色金属、汇率或者股价等的结构化理财产品，以及可以包装成挂钩航空油价、航海运费、矿山原料价格的避险产品。,3,第一节,奇异期权的背景介绍,奇异期权的种类繁多。根据交易者的需求,金融工程师设计出新的奇异期权,投入市场,;,而一些奇异期权也可能因为市场条件的变化,退出市场。限于篇幅，我们不可能在一章的内容里探讨市场中所有实际被交易的奇异期权。在这里,我们选择那些最主要的奇异期权进行介绍。因为奇异期权是标准期权的变种,它们的定价一般来讲都比标准期权复杂。对于某些奇异期权,它们的定价没有像布莱克,-,斯科尔斯公式那样的解析表达式,对这类奇异期权,一般都采用数值方法来定价。常用的数值方法包括二叉树法、蒙特卡洛法、有限差分法等。对于某些奇异期权,它们的定价存在解析表达式。但是它们的定价公式的证明,需要用到比布莱克,-,斯科尔斯公式更加复杂的数学工具,这些不在本书的范围内。所以,关于这类奇异期权的定价,我们尽量讲清楚它们的基本思想,忽略推导过程,直接给出定价公式。本章的主要目的是使读者了解一系列奇异期权的基本概念及其定价的基本思想。奇异期权对于我国的金融市场来讲,属于新兴事物,所以本章中用到的事例大都来自国外。同时我们注意到,在场外交易市场,一些奇异期权已经被我国的企业或投资者使用。它们中比较著名的例子有中信泰富投资类似累积期权的案例和深南电投资亚式期权的案例。,4,第二节,非标准美式期权,标准的美式期权通常可以在到期日之前的任何时刻被执行,但无论什么时刻,它的执行价格是唯一的。一些更为复杂的非标准美式期权会在执行日期或执行价格方面有一些特殊的设定。下面给出几个非标准美式期权的例子。,百慕大期权,(Bermudan option),是一种只能在发行日与到期日之间的一系列预先设定好的日期执行的美式期权。所以,从执行日期的角度,可以认为百慕大期权是介于欧式期权和美式期权之间的一种,期权,但它的性质更加接近美式期权。,加纳利期权,(Canary option),是一种介于百慕大期权和欧式期权之间的期权。它的名字来源于位于百慕大群岛和欧洲之间的加纳利群岛。这类期权的持有者只能在期权开始一段时间以后,(,通常是一年,),的一系列预先设定的日期行使该期权。,另外还有一些期权,在有效期内的不同时间行权时有不同的执行价格。,在前面的章节,我们知道标准的美式期权的定价没有解析表达式。非标准的美式期权的定价更加复杂,所以一般都采用数值方法来对其定价。,5,第,三,节,远期开始期权,投资者为了规避金融资产远期波动率带来的风险,可以购买在未来某个时刻生效的期权,这样的期权被叫做远期开始期权,(forward start option),。它的参数可以用,(T,1,K,T,2,),来表示,其中,T,1,代表远期期权开始的时间,K,代表期权的执行价格,T,2,代表期权的到期日。特别地,远期开始期权的执行价格一般被设为期权开始时,(,即,T,1,时刻,),的标的资产的价格,那么远期开始期权在开始生效的时候是一个两平期权。远期开始期权被广泛地应用于利率衍生品市场和员工的股票激励计划中。,下面我们将研究一个远期开始平价欧式看涨期权的定价。假设在,0,时刻,资产的价格为,S,0,;,在,T,1,时刻,资产的价格为,S,1,那么在,T,1,时刻,远期开始平价欧式看涨期权的价格是,:,S,1,e,-qT,N(d,1,)-e,-rT,N(d,2,)=,特别地,对一个平价期权,上面等式左边中括号内的值与资产价格无关。这里,c,是,0,时刻一个期限等于,T,2,-T,1,的平价期权的价格。进一步地,在,0,时刻,远期开始平价欧式看涨期权的价格是,:,=,*,*,=,是风险中性下的期望。如果股息,q=0,从上式可得出,远期开始平价欧式期权的价格等于相同期限的平价欧式期权的价格。,6,第,四,节,复合期权,复合期权,(compound option),是一种以期权为标的物的期权。我们知道基本的期权有看涨和看跌两种,那么期权的期权就有四种基本的类型,:,看涨,看涨期权,(call on call),看涨,看跌期权,(call on put),看跌,看涨期权,(put on call),看跌,看跌期权,(put on put),。它被广泛应用在外汇和固定收益领域。它的参数可以用,(T,1,K,1,T,2,K,2,),来表示。我们以一个,(T,1,K,1,T,2,K,2,),的看涨,看跌欧式期权来说明复合期权的性质。该复合期权的持有者有权在,T,1,时刻以,K,1,的价格买入一个在,T,2,时刻以,K,2,为交割价的看跌期权。但是当在,T,1,时刻,一个,(T,2,K,2,),看跌期权的价格,PT,1,S(T,1,),K,2,T,2,;,小于,K,1,时,该投资者不会买入这个看跌期权。那么,该复合期权的持有者在,T,1,时刻的收益函数是,=maxmaxP(T,1,S(T,1,),K,2,T,2,;)-K,1,0,。该持有者拥有这个看跌期权后,他有权在,T,2,时刻以,K,2,的价格卖出某资产,S,。,7,第,四,节,复合期权,幸运的是,欧式复合期权的定价在布莱克,-,斯科尔斯的框架下有解析解,。,在这里,我们直接给出它们的定价公式。欧式看涨,-,看涨复合期权的价格是,:,S,0,N,2,(a,1,b,1,;,)-,N,2,(a,2,b,2,;,)-,N(a,2,),在上式中,a,1,=,a,2,=a,1,-,b,1,=,b,2,=b,1,-,其中,N,2,(a,b;),是相关系数为,的二元正态分布当第一个变量小于等于,a,第二个变量小于等于,b,时的累积概率密度函数的值。,8,第,四,节,复合期权,一个两个变量的均值都为,0,并且相关系数,是,0.5,的二元正态分布的累积概率密度函数在,-10,10,之间的形态如图,131,所示。,图,131,二元正态分布的累积概率密度函数形态图,S,*,是在,T,1,时刻,资产,S,使在,T,2,时刻到期的作为标的物的期权的价格等于,K,1,的价格,即,P(T,1,S,*,(T,1,),K,2,T,2,;)=K,1,。根据布莱克,斯科尔斯公式,看涨期权的,Delta,是一个正值,那么对于一个看涨,看涨期权来说,在,T,1,时刻,当资产,S,的价格高于,S,*,的时候,作为标的物的期权的价值就高于,K,1,因此复合期权的持有者就会买入标的物期权,;,反之,复合期权不会被行使。,其他三类复合期权,(,比如看涨,看跌期权、看跌,看涨期权和看跌,看跌期权,),的定价公式和看涨,看涨期权的定价公式类似，不一一赘述。,9,第,五,节,后定期权,后定期权,(chooser option),给它的持有者在一个预先设定的时间,T,*,(,在期权的到期日,T,之前,),选择该期权是看涨期权还是看跌期权的权利。它可以被用于对冲标的资产波动率的变化带来的风险,;,也可以用于对冲由于某个特殊事件发生带来的风险,但该事件的发生与否具有不确定性。比如,1993,年,在美国国会对北美自由贸易协定投票前夕,投资者相信,如果该协定获得通过,墨西哥的权益会大幅升值,拥有看涨期权就会获得正收益,;,反之,拥有看跌期权将会获得正收益。但是该协定能否通过具有不确定性。在这样的情况下,后定期权就受到了投资者广泛的欢迎。,如果后定期权的持有者在,T,*,时刻能选择的看涨和看跌期权具有相同的到期日和执行价格,这类后定期权叫做简单后定期权。反之,则称为复杂后定期权。下面我们将讨论简单后定期权的定价。假设在,T,*,时刻,标的资产的价格是,S,*,那么在,T,*,时刻,简单后定期权的定价是,:,max(c,p)=max(c,c+K,-S,*,)=c+max(0,K,-S,*,),其中,c,和,p,分别是在,T,*,时刻,选择人能够选择的看涨和看跌期权的价格。注意,在上式中,我们用到了看涨与看跌期权的平价关系,即,c-p=S-K,。由上式可得,简单后定期权的收益函数可以由一个到期日为,T,、执行价格为,K,的欧式看涨期权,以及一个到期日为,T,*,、执行价格为,K,的欧式看跌期权复制。所以在,0,时刻,简单后定期权的定价是,:,PS,K,T;maxS(T)-K,0)+PS,K,T,*,;maxK,-S(T,*,),0,10,第,六,节,障碍期权,对于一个标准看涨期权的卖出者,标的资产的价格上涨得越高,该期权的卖出者的损失就越大。如果当标的资产的价格上涨到一定程度后,该期权自动失效,那么期权的卖出者的损失是有限的。这样的期权对于其卖出者来说无疑具有吸引力。对于期权的买入者来说,这样的期权也比标准期权便宜。一般来讲,如果期权的有效性取决于它的标的资产的价格在某个特定时间段内是否达到某个预先设定的值,那么这类期权就叫做障碍期权,(barrier option),。我们可以用三个属性来描述一个障碍期权,它们是,:,上涨,/,下跌,敲入,/,敲出,以及看涨,/,看跌。显而易见,三种属性的不同组合可以定义八种障碍期权。比如一个下跌,敲出,看涨期权是一个普通的看涨期权,但是当其标的资产的价格低于某个特定的值时,这个期权将失效。类似地,一个上涨,敲入,看跌期权是一个普通的看跌期权,但是当标的资产的价格高于某个特定的值时,这个期权才会生效。其他障碍期权的定义类似,不一一赘述。,幸运的是,障碍期权的定价在布莱克,-,斯科尔斯的框架下有解析解。一般来讲,障碍期权的定价可以有两个方法。一个办法是,:,障碍期权的价格函数也满足布莱克,-,斯科尔斯,-,默顿方程,但是障碍期权价格所满足的边界条件不同于标准欧式期权。解这个偏微分方程即可得障碍期权的价格。另一个办法是,:,可以先求出标的资产在到期日的价格与到期日前价格的最大值,(,或最小值,),在风险中性概率下的联合分布,障碍期权的价格可以通过积分求得。在这里,我们把障碍期权的定价归到无障碍的标准期权的定价上去,。,具体的推导细节我们在本章省去,。,11,第,六,节,障碍期权,我们接下来给出下跌,敲出期权的定价公式。假设在,0,时刻,函数,PS;(S(T),代表一个以,S,为标的资产并且收益函数是,的标准期权的价格。值得注意的是,因为我们用公式,PS;(S(T),来表示一个标准期权的价格,这个期权是看涨还是看跌或是美式还是欧式,并不重要。对于下跌,敲出期权,假设,B,是障碍水平,那么这个下跌,敲出期权的收益函数是,:,DO,S(T)=,同时我们定义一个新的函数,:,B,(x)=,那么下跌,敲出期权在,0,时刻的价格可以表示为两个标准期权的价格的差,:,P(S;,B,)-,P(,;,B,),式中,r=r-,2,其他类型的障碍期权的定价和下跌,敲出期权类似,不一一赘述。,12,第,六,节,障碍期权,专栏,131,中信泰富投资,KODA,KODA,期权的全称是,Knock Out Discount Accumulator,可以简称为累计期权。它可以看做是一种更为复杂的障碍期权。它有以下性质,:(1),该期权的持有者有权以比现价低,10%20%,的执行价格买入标的资产,;(2),当标的资产的价格超过现价,3%5%,时,该合约自行终止,但保证投资者至少有一个月的累积的标的资产,;(3),当标的资产的价格跌破执行价格时,投资者必须以执行价格双倍吸纳标的资产,;(4),合约的有效期一般是一年,但是投资者通常只需要拥有合约金额,40%,的现金或标的资产抵押即可成交,因此该期权往往带有杠杆性。从该期权合约的性质可以看出,:,当标的资产价格上涨时,期权持有者的获利有限,因为这是一个敲出期权,;,而当标的资产价格下跌时,期权持有者会有双倍的损失。同时,我们可以看到,一份累积期权可以大致等价于买入一份看涨障碍期权并卖空两份看跌期权。中国大陆的金融机构还没有正式推出,KODA,产品,但是在香港的星展银行、渣打银行、荷兰银行、汇丰银行等多家金融机构已经涉足这类金融产品。据香港媒体估计,仅在,2007,年,整个香港金融市场成交的,KODA,合约总值就在,1 000,亿美元以上。,投资,KODA,著名的例子有中信泰富。该公司预计在,20082010,年间,澳元兑美元将升值。于是它们买入了于,2008,年,10,月,15,日开始的为期两年的澳元累积可赎回远期合约,(AUD target redemption forward Contracts),。该合约规定,当澳元兑美元的价格高于协议价时,该合约的持有者可以每个月以协议价购入,1 000,万澳元,;,当澳元兑美元的价格低于协议价时,该合约的持有者每个月必须以协议价购入,2 500,万澳元。这个合约虽然被叫做远期合约,但它的实质却是一个累积期权。因为该合约规定,当澳元上涨时,该合约的持有者盈利超过,350,万美元时,该合约敲出,自动失效。但当澳元下跌时,合约持有者需要双倍地吸纳澳元。所以,该远期合约拥有累积期权的所有主要性质。对中信泰富讲,遗憾的是,在,2008,年金融危机中,澳大利亚储备银行连续两次降息,导致澳元兑美元在,2008,年,9,月至,10,月两个月内,贬值近,30%,。而中信泰富因为买入该合约,亏损超过,150,亿港元。除此之外,中国大陆投资者投资复杂金融衍生品而遭受重大损失的案例还包括碧桂园以及一些高净值的个人投资者。,13,第,六,节,障碍期权,中信泰富投资类似,KODA,的衍生品而招致重大损失的案例非常值得我们反思。我们就以下几点进行讨论,:,(1),衍生品市场有对冲者、投机者以及套利者等交易参与者。作为一家投资机构来说,怎么对自己在衍生品市场上的交易角色定位,以及如何做相应的风险控制是需要特别慎重研究的问题。在中信泰富巨亏发生后，有学者运用蒙特卡洛模拟发现，这个累积期权在中信泰富买入之时就注定了巨额亏损的命运。,(2),对于中信泰富来说,为了对冲汇率风险,它可以在外汇市场上选择远期合约、标准期权合约或障碍期权合约,但是它为什么选择了风险更大的累积期权,?,一个可能的解释是,累积期权的价格相对于其他类似的衍生品来说更便宜。而且,2008,年,9,月以前的一年左右时间,澳元兑美元都在,0.85,以上的价位运行,相对中信泰富签订的,0.897 1,的协议价来说,中信泰富可能遭受的损失是有限的。但是由于国际金融危机的到来,澳元两个月内贬值近,30%,最终导致中信泰富遭受重大的损失。那么中信泰富以可能承担极端风险的代价来降低对冲成本是否是一个好的选择,?,(3),据媒体报道,一些中国大陆的高净值个人投资者也购买了累积期权作为个人理财投资的产品。因为累积期权的定价相对复杂,个人投资者在定价上相对作为累积期权卖出方的投资银行来说并没有优势。那么对于像累积期权这类复杂的衍生品,是否适合作为理财产品向个人投资者销售,?,总的来说,从,KODA,的案例可以看出,实际在金融市场上被交易的某些奇异期权比一般教科书上讲述的奇异期权更加复杂,它们的定价也更加困难。而作为投资者,如果缺乏相应的金融知识、投资经验以及风险管理水平,很容易造成巨大的亏损。,14,第,七,节,两值期权,以标准的欧式看涨期权为例,在到期日如果它的收益为正,那么它的收益函数是一条直线,S(T)-K,。如果极端简化标准期权的收益函数,我们可以得到,:,如果期权的收益为正,以看涨期权为例,当,S(T)K,时,收益函数为一个固定的值,M;,否则,收益函数为,0,。这样的期权就是两值期权,(binary option),。市场上交易的主要有两种类型的两值期权,:,现金或空手,(cash-or-nothing),两值期权和资产或空手,(asset-or-nothing),两值期权。对于现金或空手两值期权,当它的收益为正时,它的收益是一个确定的现金量,M;,而对于资产或空手两值期权,当它的收益为正时,它的收益是一些确定数量的标的资产。,对于一个现金或空手看涨两值期权来说,根据布莱克,-,斯科尔斯公式,在到期日它的收益为正的概率,即,S(T)K,的概率,是,N(d,2,),其收益是,M,。那么该期权的价格为到期日的收益函数的贴现,即,e,-rT,MN(d,2,),。其他类型的两值期权的定价类似。,传统上讲,两值期权大多都在场外交易。但,2008,年,美国证券交易所,(Amex),和芝加哥期权交易所,(CBOE),开始推出了一系列在交易所交易的两值期权。比如,Amex,推出了以花旗,(,银行,),和谷歌,(Google),股票为标的物的两值期权。并且,Amex,还赋予了两值期权一个特别的名称,叫做固定回报期权,(fixed return option),。而,CBOE,推出了以,S&P500,指数为标的物的两值期权。两值期权进入交易所交易,使得它的流动性更强。,15,第,八,节,回望期权,对于标准的欧式看涨期权,它的收益函数是,S(T)=maxS(T)-K,0,。我们注意到,这类收益函数和标的资产的价格的变化路径没有关系。如果我们希望收益函数和标的资产的价格变化路径相关,并给予期权的持有者最大的收益,我们可以设计出回望期权,(lookback option),。由于收益函数由标的资产价格和执行价格构成,所以分别对这两个变量做改动,我们可以定义四类回望期权。,(1),如果收益函数是,maxS(T)-S(t),0,这类期权是浮动回望看涨期权,(floating lookback call),。,(2),如果收益函数是,max S(t)-S(T),0,这类期权是浮动回望看跌期权,(floating lookback put),。,(3),如果收益函数是,max S(t)-K,0,这类期权是固定回望看涨期权,(fixed lookback call),。,(4),如果收益函数是,maxK-S(t),0,这类期权是固定回望看跌期权,(fixed lookback put),。,16,第,八,节,回望期权,下面我们省略推导过程,直接给出浮动回望看跌期权的定价公式,:,-S,0,N(-d)+S,0,e,-rT,N(-d+,)+S,0,N(d)-S,0,e,-rT,N(-d+,),式中,d=,其他种类的回望期权的定价,与浮动回望看跌期权的定价类似,我们就不一一赘述。,17,第,九,节,叫停期权,回望期权给予持有者最优的收益函数。比如固定回望看涨期权中,其收益函数所使用的资产价格是期权从初始到到期日内,标的资产价格的最大值。这类期权一般都比较贵。我们可以考虑给期权持有者次优的收益函数。比如,在期权的到期日之前的任何时刻,T,*,期权持有者可以有一次,“,叫价,”,选择权,锁定与当时标的资产价格对应的收益。当期权到期时,期权持有者的收益是,T,*,锁定的收益和期权到期收益的最大值。这类期权就是叫停期权,(shout option),。,18,第,九,节,叫停期权,叫停看涨期权为例,如果在时刻,T,*,叫停期权的持有者进行了一次叫价,当时的标的资产的价格是,那么在到期日,该期权的收益函数是,:,max(,-K,S-K)=max(0,S-,)+,-K,其中,K,为期权的执行价格。从上式可得,当知道叫停期权持有者的叫价时刻,T,*,时,叫停期权的价格等于一个欧式标准期权和一个贴现值之和,:,PS,T;max(S(T)-,0)+e,-rT,(,-K),实际中,我们并不知道叫停期权持有者在什么时候叫价。因此,对于叫停期权,我们需要用数值模拟的办法来进行定价。二叉树是常用的数值算法。通过对标的资产价格的模拟,在每个二叉树的节点上,期权持有者有两种选择,:,如果他叫价,叫停期权的价格就如上式所示,;,如果他不叫价,叫停期权的价格是该节点下一个时间点所能达到的节点所对应的叫停期权价格的加权平均。而该节点所对应的叫停期权价格是上述两个价格的较大值。,19,第,十,节,亚式期权,与两值期权、回望期权和叫停期权类似,亚式期权,(Asian option),也是对标准期权的收益函数的一种改动。它的基本思想是收益函数中的到期资产价格或执行价格使用平均价格。以看涨期权为例,标准的看涨期权的收益函数是,S(T)=maxS(T)-K,0,。对于固定执行价格,(fixed strike),的亚式期权,其收益函数是,:,(T)=maxS,avg,(0,T)-K,0,这里,S,avg,(0,T),是期权有效期内标的资产的平均价格。另外一种亚式期权是浮动执行价格,(floating strike),的,它的收益函数是,:,(T)=maxS(T)-S,avg,(0,T),0,20,第,十,节,亚式期权,一般来讲有三种取平均值的办法。它们分别是连续算术平均,S,avg,(0,T)=,dt,离散算术平均,S,avg,(0,T)=,以及几何平均,S,avg,(0,T)=exp,dt,21,第,十,节,亚式期权,因为亚式期权的到期资产价格或执行价格使用的是标的资产的平均值,相比标准期权而言,通过操纵标的资产的价格来影响亚式期权的收益函数变得更加困难。这类期权被称为亚式期权是因为它们是于,1987,年在东京开始被交易的。亚式期权在外汇市场上被广泛应用。比如,一个美国的进口商需要在每个月的第一天从日本进口某种商品。假设当前日元兑美元的汇率是,100,日元,/,美元。该进口商担心未来一年日元相对美元会升值,例如升值到,90,日元,/,美元。那样的话,进口商的成本将会增加。为了对冲利率风险,该进口商有两种选择。一种办法是他购买从现在开始一年以内的每个月第一天到期的外汇期权,把利率锁定在,100,日元,/,美元。第二种办法是他购买从现在开始一年到期的亚式期权。一般来讲,亚式期权的价格会更加便宜。,22,第,十,节,亚式期权,不过亚式期权的定价比较复杂,它的价格没有解析表达式。,在这样的情况下,对于它的定价,我们可以从两个方面着手。一是利用蒙特卡洛法或二叉树法计算它的价格。二是找出它的价格满足的微分方程,进而可以用数值解法计算出它的价格。下面我们直接给出使用连续算术平均法的亚式看涨期权价格满足的微分方程。假设,Y(t)=,那么该亚式期权的价格,v(t,s,y),满足下面的微分方程,:,v,t,(t,，,s,，,y)+,v,s,(t,，,s,，,y)+,v,y,(t,，,s,，,y)+,2,s,2,v,ss,(t,，,s,，,y)=r,v(t,，,s,，,y),式中,0tK),到期日为,T,的上涨,敲出期权为例,来说明静态复制的基本流程。假设这个期权的价格在时刻,t,标的资产的即期价格为,S(t),时的价格是,P,UO,t,S(t),B,K,T;(S(T),那么边界条件是,:,P,UO,T,S(T),B,K,T;(S(T)=maxS(T)-K,0,当,S(T)B,P,UO,t,，,S(t)=B,B,K,T;(S(T)=0,0tT,这里第一个式子表示在到期日该期权价格的边界条件,;,第二个式子表示在障碍水平,B,上,该期权价格的边界条件。我们可以用一个执行价格为,K,、到期日为,T,的欧式看涨期权复制在第一个边界上的价格,它的价格是,P,EC,t,S(t),K,T;(S(T),其中上标,EC,是欧式看涨期权的缩写。为了复制障碍期权在第二个边界上的价格,我们需要用一系列执行价格为,B,、到期日为,T,i,=i,的欧式看涨期权,这里,0iN,。使得在每个时刻,T,i,+,=0,这样我们可以得到一个资产权重,(w,1,w,2,w,N,),向量。它所代表的欧式看涨期权的组合就可以复制这个上涨,敲出期权。需要特别指出的是,上面的,w,k,可以是负数,这意味着我们需要卖空这个期权。,33,第,十三,节,静态复制,我们需要注意,静态复制的方法不是唯一的,也不是每一个金融衍生品或资产组合都能够用有限多个其他资产来进行复制。静态复制一个更为严重的问题是,如上面的例子所示,我们假设有一系列到期日分别为,T,i,=i,0iN,的欧式看涨期权在金融市场上被交易，但是实际情况可能并不如此。,34,第,十,四节,奇异期权定价的程序实现,现代金融计算软件已经实现了多种奇异期权的定价公式和算法,可以在实际工作中直接使用。比如,Matlab,就实现了八种奇异期权的定价。下面我们以亚式期权为例,来简要介绍,Matlab,的奇异期权定价函数的用法。,【例,131,】假设有一个关于百度,(NASDAQ:BIDU),股票的浮动执行价格的亚式看涨期权,它的执行价格采用连续的算术平均。该期权的开始时间是,2012,年,1,月,1,日,到期日是,2013,年,1,月,1,日。在期权开始日的股价是,116,美元,股价的波动率是,20%,为了简单起见,假设它的股息是,0,。无风险利率是,7%,。该亚式期权的价格可以用下面的程序来计算。,35,第,十,四节,奇异期权定价的程序实现,%build a CRR tree,Sigma=0.20;%the volatility of the underlying asset,AssetPrice=116;%the underlying asset price at time 0,StockSpec=stockspec(Sigma,AssetPrice);,RateSpec=intenvset(Rates,0.07,Compound,-1,startDates,01-Jan-2012,EndDates,01Jan-2013);,ValuationDate=01-Jan-2012;,Maturity=01-Jan-2013;,NumPeriods=100;%number of time periods in the tree,TimeSpec=crrtimespec(ValuationDate,Maturity,NumPeriods);,36,第,十,四节,奇异期权定价的程序实现,CRRTree=crrtree(StockSpec,RateSpec,TimeSpec);,OptSpec=call;,Strike=NaN;%floating strike,Settle=01-Jan-2012;,ExerciseDates=01-Jan-2013;,AmericanOpt=0;%European Style,AvgType=arithmetic;,%AvgPrice(Optional)Scalar representing the average price of the underlying asset at Settle.,%This argument is used when AvgDate Settle.Default is the current stock price.,%AvgDate(Optional)Scalar representing the date on which the averaging period begins.Default=Settle,Price=asianbycrr(CRRTree,OptSpec,Strike,Settle,ExerciseDates,AmericanOpt,AvgType);,37,第,十,四节,奇异期权定价的程序实现,38,该亚式期权的价格是,7.45,。这段程序先建立了一棵考克斯,-,罗斯,-,鲁宾斯坦股票价格变动的二叉树,再基于这棵二叉树对亚式期权的价格进行计算。其中,NumPeriods,参数可以控制二叉树的层数。一般来讲,层数越多,定价越准确,但是需要的时间也越长。,关于其他,Matlab,奇异期权的定价函数的使用方法,与上面的例子类似。,本章小结,本章讨论了,11,类奇异期权的定义、性质以及它们的定价。总的来说,它们都比标准期权复杂,所以定价也更加困难。学习本章的目的是熟悉奇异期权的定义,掌握它们的特性,特别是在对冲中的使用方法,并了解定价的基本思想。我们并不需要记住奇异期权的定价公式,因为在实际工作中,已经有不少库函数来实现。除此之外,很多奇异期权的定价可能没有解析表达式，所以在工业界中,实际使用的定价方法大多为数值方法,我们有必要了解和掌握一些常用的数值定价方法。最后我们还讨论了如何通过标准的期权对复杂的奇异期权进行静态复制,从而为对冲它们带来的风险提供了工具和手段。,39,The ending,！,40,