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第22章 单元测试
一、选择题（共10小题，每小题3分 ，共30分 ）
1.下列方程中，是一元二次方程共有（ ）
①x2−x3+3=0 ②2x2−3xy+4=0 ③x2−1x=4 ④x2=1 ⑤3x2+x=20．
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
2.一元二次方程x2−1=0的根为（ ）
A.x=1
B.x=−1
C.x1=1，x2=−1
D.x=2
3.把方程(2x−1)(3x+2)=x2+2化成一般形式后，二次项的系数和常数项分别是（ ）
A.5，−4
B.5，1
C.5，4
D.1，−4
4.方程x2=x的两根分别为（ ）
A.x1=−1，x2=0
B.x1=1，x2=0
C.x1=−l，x2=1
D.x1=1，x2=1
5.已知2是关于x的方程：x2−x+a=0的一个解，则2a−1的值是（ ）
A.5
B.−5
C.3
D.−3
6.用配方法解方程x2−2x−6=0时，原方程应变形为（ ）
A.(x+1)2=7
B.(x−1)2=7
C.(x+2)2=10
D.(x−2)2=10
7.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：
①若a+c=0，方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根；
②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则方程cx2+bx+a=0也一定有两个不等的实数根；
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有b2−4ac=(2am+b)2成立，其中正确的只有（ ）
A.①②④
B.②③
C.③④
D.①④
8.已知关于x的一元二次方程x2+mx+4=0有两个正整数根，则m可能取的值为（ ）
A.m>0
B.m>4
C.−4，−5
D.4，5
9.设a、b是两个整数，若定义一种运算“△”，a△b=a2+ab，则方程x△(x−2)=12的实数根是（ ）
A.x1=−2，x2=3
B.x1=2，x2=−3
C.x1=−1，x2=6
D.x1=1，x2=−6
10.关于x的一元二次方程x2−mx+5(m−5)=0的两个正实数根分别为x1，x2，且2x1+x2=7，则m的值是（ ）
A.2
B.6
C.2或6
D.7
二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分 ）
11.用配方法解方程时，把方程x2−8x+3=0化成(x+m)2=n的形式，则m−n=________．
12.某公司一月份的产值为70万元，二、三月份的平均增长率都为x，三月份的产值比二月份产值多10万元，则可列方程为________．
13.方程2x2−3x−1=0的解为________．
14.红星化工厂要在两年内使工厂的年利润翻一番，那么在这两年中利润的年平均增长率是________．
15.若两个连续偶数的积为288，则这两个连续偶数的和为________．
16.方程x2+3x+1=0的两个根为α、β，则αβ+βα的值为________．
17.已知关于x的一元二次方程x2−(k+1)x−6=0的一个根是2，求方程的另一根x1=________和k=________．
18.设a、b是方程x2+x−2014=0的两个实数根，则(a+1)2+b的值为________．
19.方程3x−2=x的解是________．
20.如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程________．
三、解答题（共6小题，每小题10分 ，共60分 ）
21.解方程：
①(2x−1)2=9（直接开平方法）
②x2+3x−4=0（用配方法）
③x2−2x−8=0（用因式分解法）
④(x+4)2=5(x+4)
⑤(x+1)(x+2)=2x+4
⑥x2+2x−9999=0．
22.已知关于x的方程x2−(2m+1)x−(2m−1)=0的一个根为1，求m的值．
23.已知m是方程x2−2014x+1=0的一个根，求代数式2m2−4027m−2+2014m2+1的值．
24.把方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)5x2=3x；
(2)(2−1)x+x2−3=0；
(3)(7x−1)2−3=0；
(4)(x2−1)(x2+1)=0；
(5)(6m−5)(2m+1)=m2．
25.设x1、x2是关于x的方程x2−4x+k+1=0的两个实数根．试问：是否存在实数k，使得x1⋅x2>x1+x2成立，请说明理由．
26.已知：关于x的方程x2+(2m+4)x+m2+5m没有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若关于x的一元二次方程mx2+(n−2)x+m−3=0有实数根，求证：该方程两根的符号相同；
(3)设(2)中方程的两根分别为α、β，若α:β=1:2，且n为整数，求m的最小整数值．
参考答案：
1.B
2.C
3.A
4.B
5.B
6.B
7.D
8.C
9.A
10.B
11.−17
12.70(1+x)2=70(1+x)+10
13.x1=6+32+84，x2=6−32+84
14.2−1
15.34或−34
16.3
17.−3−2
18.2014
19.x1=1，x2=2
20.(30−2x)(20−x)=6×78
21.解：①(2x−1)2=9，
开方得：2x−1=3或2x−1=−3，
解得：x1=2，x2=−1；
②x2+3x−4=0，
方程变形得：x2+3x=4，
配方得：x2+3x+94=254，即(x+32)2=254，
开方得：x+32=±52，
解得：x1=1，x2=−4；
③x2−2x−8=0，
分解因式得：(x−4)(x+2)=0，
解得：x1=4，x2=−2；
④方程整理得：(x+4)2−5(x+4)=0，
分解因式得：(x+4)(x+4−5)=0，
解得：x1=−4，x2=1；
⑤方程整理得：(x+1)(x+2)−2(x+2)=0，
分解因式得：(x+2)(x+1−2)=0，
解得：x1=−2，x2=1；
⑥方程移项得：x2+2x=9999，
配方得：x2+2x+1=10000，即(x+1)2=10000，
开方得：x+1=100或x+1=−100，
解得：x1=99，x2=−101．
22.解：把x=1代入x2−(2m+1)x−(2m−1)=0得1−2m−1−2m+1=0，
解得m=14．
23.解：∵m是方程x2−2014x+1=0的一个根，
∴m2−2014m+1=0，
∴m2=2014m−1，m2+1=2014m，
∴原式=2(2014m−1)−4027m−2+20142014m
=m+1m−4
=m2+1m−4
=2014mm−4
=2014−4
=2010．
24.解：(1)方程整理得：5x2−3x=0，
二次项系数为5，一次项系数为−3，常数项为0；
(2)x2+(2−1)x−3=0，
二次项系数为1，一次项系数为2−1，常数项为−3；
(3)方程整理得：49x2−14x−2=0，
二次项系数为49，一次项为−14，常数项为−2；
(4)方程整理得：14x2−1=0，
二次项系数为14，一次项系数为0，常数项为−1；
(5)方程整理得：11m2−4m−5=0，
二次项系数为11，一次项系数为−4，常数项为−5．
25.解：∵方程有实数根，∴b2−4ac≥0，
∴(−4)2−4(k+1)≥0，即k≤3．
∵x=4±(−4)2−4(k+1)2=2±3−k，
∴x1+x2=(2+3−k)+(2−3−k)=4，
x1⋅x2=(2+3−k)⋅(2−3−k)=k+1
若x1⋅x2>x1+x2，即k+1>4，∴k>3．
而k≤3，因此，不存在实数k，使得x1⋅x2>x1+x2成立．
26.解：(1)∵关于x的方程x2+(2m+4)x+m2+5m没有实数根，
∴△=(2m+4)2−4×1×(m2+5m)<0，
∴m>4，
∴m的取值范围是m>4；
(2)由于方程mx2+(n−2)x+m−3=0有两个实数根可知m≠0，
当m>4时，m−3m>0，即方程的两根之积为正，
故方程的两根符号相同．
(3)由已知得：m≠0，α+β=−n−2m，α·β=．
∵α:β=1:2，
∴3α=−n−2m，2a2=m−3m．
(n−2)29m2=m−32m，即(n−2)2=92m(m−3)．
∵m>4，且n为整数，
∴m为整数；
当m=6时，(n−2)2=92×6×3=81．
∴m的最小值为6．
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