导数及其应用单元测试题.doc

《导数及其应用》单元测试
一、选择题：(本大题共10小题,每小题5分, 共50分)
1．设函数f(x)在处可导，则等于 （ ）
A． B． C．- D．-
2．若函数f(x)的导数为f′(x)=-sinx，则函数图像在点（4，f（4））处的切
线的倾斜角为（ ）
A．90° B．0° C．锐角 D．钝角
3．函数y=x3－3x在[－1，2]上的最小值为 （ ）
A、2 B、－2 C、0 D、－4
4．设函数的导函数为，且，则等于 ( )
A、 B、 C、 D、
5．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( )
A、－1<a<2 B、－3<a<6 C、a<－1或a>2 D、a<－3或a>6
6、设函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2＋1在区间（0，4）上是减函数，则的取值范围是 （ ）
A、 B、 C、 D、
7、设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下图所示，则导函数y=f ¢(x)
可能为 （ ）
x
y
O

x
y
O
A
x
y
O
B
x
y
O
C
x
y
O
D

8、对于R上可导的任意函数f（x），且若满足（x－1）>0，则必有 （ ）
A、f（0）＋f（2）<2f（1） B、f（0）＋f（2）³2f（1）
C、f（0）＋f（2）>2f（1） D、f（0）＋f（2）³2f（1）
9、已知二次函数的导数为，，对于任意实数，有，则的最小值为( )
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10、f()是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g（）=af（）+b，则下
列关于函数g（）的叙述正确的是（ ）
A．若a<0,则函数g（）的图象关于原点对称.
B．若a=－1，－2<b<0,则方程g（）=0有大于2的实根.
C．若a≠0,b=2,则方程g（）=0有两个实根.
D．若a≥1,b<2,则方程g（）=0有三个实根.
二、填空题(共5小题，每小题5分,共25分)
11.求的导数
12．曲线S：y=3x-x3的过点A（2，-2）的切线的方程是 。
13. 设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为 .
14．设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为
15. 已知直线x+2y－4=0与抛物线y2=4x相交于A、B两点，O是坐标原点，P是抛物线的弧上求一点P，当△PAB面积最大时，P点坐标为 .
三、解答题（共6小题，，共75分）
16、（本题满分12分）对于三次函数，定义：设是函数的导函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”。现已知,请解答下列问题:
（1）求函数的“拐点”A的坐标;
（2）求证的图象关于“拐点”A 对称;并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论（此结论不要求证明）.

17. （本题满分12分）已知函数是上的可导函数，若在时恒成立.
（1）求证：函数在上是增函数；
（2）求证：当时，有.

18. （本题满分12分）已知函数.
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若对所有都有，求实数的取值范围.

19、（本题满分12分）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？
【注：】

20. （本题满分13分）已知函数f(x)=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值.
（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；
（Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤4；
（Ⅲ）若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.

21. （本题满分14分）已知，其中是自然常数，
（Ⅰ）讨论时, 的单调性、极值；
（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，;
（Ⅲ）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.