最值学案.docx

动态几何中的最值问题
最值问题：在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
知识回顾1. 如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气。泵站修在管道的什么地方可使所用的输气管线最短?

应用知识：
解决问题：

解题技巧：
例1.如图，四边形ABCD是正方形，边长是4，E是BC上一点，且CE＝1，P是对角线BD上任一点，则PE＋PC的最小值是______

练习1：如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30度，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值是▁▁▁

知识回顾2.如图，在正方形ABCD中，BC=4cm, 对角线交于O点。若连结矩形OFPE的对角线EF,则EF的最小值

应用知识：
解决问题：
解题技巧：

例2：如图，在 垂直ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB、CA分别相交于点E、F，则线段EF长度的最小值是

练习2.如图，在锐角△ABC中，AB=4 , ∠BAC =45度, BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是▁▁▁▁▁.

知识回顾3如图P是圆O内一点，PO=2，圆的半径是4，
则点P到圆上点最大距离是 ，
最短距离为

应用知识：
解决问题：
例3如图，弧BE是半径为6的圆D的(1/4)圆周，C点是弧BE上的任意一点垂直ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长的最大值为

变式训练3：在垂直ABC中角ACB=90度，角ABC=30度，将垂直ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为（0度< <180度),得到垂直A’B’C‘。设AC的中点为E，A’B’的中点为P，AC=a,连接EP，当= 时，EP长度最大，最大值为

例4.在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B，连接AB，求在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长的最小值

变式训练4：如图，垂直ABC中角ABC=45度,AB= ，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画圆o分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为

‘

课后训练
1.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【 】

　 A． 1 B． C． 2 D．＋1
2.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【 】

A．　　　B．　　　C．5　　　D．
3.如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．
（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；
（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

动态几何中的最值问题
教学目标：
知识与技能目标：掌握几何问题中求最值的方法
过程与方法目标：会求不同几何背景下的最值问题
情感态度价值观目标：培养学生分析问题解决问题能力
教学重点：解决平面几何最值问题
教学难点：针对不同问题解题技巧的应用
教学过程：
最值问题：在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
知识回顾1. 如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气。泵站修在管道的什么地方可使所用的输气管线最短?

应用知识：
解决问题：

解题技巧：
例1.如图，四边形ABCD是正方形，边长是4，E是BC上一点，且CE＝1，P是对角线BD上任一点，则PE＋PC的最小值是______

练习1：如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30度，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值是▁▁▁

知识回顾2.如图，在正方形ABCD中，BC=4cm, 对角线交于O点。若连结矩形OFPE的对角线EF,则EF的最小值

应用知识：
解决问题：
解题技巧：
例2：如图，在 垂直ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB、CA分别相交于点E、F，则线段EF长度的最小值是

练习2.如图，在锐角△ABC中，AB=4 , ∠BAC =45度, BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是▁▁▁▁▁.

知识回顾3如图P是圆O内一点，PO=2，圆的半径是4，
则点P到圆上点最大距离是 ，
最短距离为

应用知识：
解决问题：
例3如图，弧BE是半径为6的圆D的(1/4)圆周，C点是弧BE上的任意一点垂直ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长的最大值为

变式训练3：在垂直ABC中角ACB=90度，角ABC=30度，将垂直ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为（0度< <180度),得到垂直A’B’C‘。设AC的中点为E，A’B’的中点为P，AC=a,连接EP，当= 时，EP长度最大，最大值为

例4.在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B，连接AB，求在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长的最小值

变式训练4：如图，垂直ABC中角ABC=45度,AB= ，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画圆o分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为

课后训练
1.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【 】

　 A． 1 B． C． 2 D．＋1
2.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【 】

A．　　　B．　　　C．5　　　D．
3.如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．
（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；
（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．