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分式复习
知识点复习
1. 分式的概念
（1）如果 A、B 表示两个整式，且 B 中含有未知字母，那么式子叫做分式。
（2）分式与整式的区别： 分式的分母中含有字母,整式的分母中不含有字母。
2. 分式有意义的条件：分式的分母不能为 0，即 中， B ≠ 0 时，分式有意义。
3. 分式的值为0的条件：分子为0,且分母不为0，对于，即时，= 0 .
4. 分式（数）的基本性质: 分式(数)的分子、分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式(数),分式(数)的值不变。
, （ M 为 ≠ 0 的整式）
5. 分式通分
（1）通分的依据是分式的基本性质; (2)通分的关键是确定最简公分母;
（3）通分后的各分式的分母相同; （4）通分后的各分式分别与原来的分式相等.
6. 分式通分的步骤
（1）确定最简公分母
①取各分母系数的最小公倍数。
②凡出现的字母（或含字母的式子）因式都要取。
③相同字母（或含字母的式子）的幂因式取指数最大的。
④当分母中有多项式时，要先将多项式分解因式。
（2）将各分式化成相同分母的分式。
7. 分式的约分
（1）约分的依据：分式的基本性质 （2）约分后不改变分式的值。
（3）约分的结果：使分子、分母中没有公因式，即化为最简分式。
8. 分子的变号规则
分式的分子、分母及分式本身的符号改变其中任意两个，分式的值不变。
用式子表示为：；
9. 分式的乘除法则
乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母。
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
10. 分式的乘方：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即=
11. 分式的加减
（1）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
（2）异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
=
12. 分式的混合运算原则
（1）先乘方，再乘除，再算加减，有括号，先算括号内的。
（2）同级运算，按运算顺序进行。
（3）运算过程中，要灵活运用交换律、结合律、分配律。
（4）结果化为最简分式或整式。

13. 整数指数幂(m,n 为整数)
(1) = （2）= （3）= ，
（4）= （a ） （5）=
(6) 零指数幂的性质： = ( )，负指数幂的性质： = ( )
引入负整数指数幂后，正整数指数幂的运算法则对负整数指数幂一样适用
14. 分式方程 ：分母中含有未知数的方程叫分式方程。
整式方程 ，如 3x +3 = 4 x -2 分式方程 , 如
15．解分式方程的一般步骤：
（1）去分母，在方程的两边都乘以 　 ，约去分母，化成整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）验根，把整式方程的根代入 　 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.
16. 用换元法解分式方程的一般步骤：
① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；
② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；
③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值； ④ 检验作答.
17．分式方程的应用：
分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：
（1） 检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 .
18．易错知识辨析：
（1） 去分母时，不要漏乘没有分母的项.
（2） 解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是代入最简公分母, 使最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根.
（3） 如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；
②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值

考点讲解
考点 1. 分式的概念和性质
例 1代数式 中，分式的个数是（ B ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例 2（1）已知分式 的值是零，那么 x 的值是______
（2）当 x________时，分式 没有意义．
例 3 下列各式从左到右的变形正确的是（ D ）
A、= B、 C、 D、 =
例 4填写出未知的分子或分母：
（1）.
例 5把分式中的x，y都扩大2倍，则分式的值（ A ）
A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小2倍
考点 2：分式的化简与计算 ：
例 1 计算的结果是________．
例 2 已知 ，则 ＝ .
例 3（08芜湖）已知，则代数式的值为 .
例4 已知则 .
例 4 计算 例 5 化简

考点 3：分式条件求值 ：
例 1（08资阳）（－）÷，其中x＝1．

例 2 先化简，再求的值，其中x=5

例 3 先化简代数式：，然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值．

考点 4：可化为一元一次方程的分式方程、方程的增根。
例 1 以下是方程去分母、去括号后的结果，其中正确的是（　C　）
A． B. C. D.
例 2 解方程：

例3 解方程会出现的增根是（ A ）
A． B. C. 或 D.
例 4 若关于方程无解，则的值是 ．
例 5 若，试求的值.

例6 若关于的分式方程有增根，求的值.

例7 若分式方程的解是正数，求的取值范围.
提示：且，且.

考点 5：分式方程的应用
例 1 某市今年 1 月 1 日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨 25％，小明家去年 12 月 份的水费是 18 元，
而今年 5 月份的水费是 36 元．已知小明家今年 5 月份的用水量比去年 12 月份多 6 立方米，求该市今年
居民用水的价格．

例2．在我市南沿海公路改建工程中，某段工程拟在30天内（含30天）完成．现有甲、乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：若两队合做24天恰好完成；若两队合做18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成．请问：
（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天？
（2）已知甲工程队每天的施工费用为0．6万元，乙工程队每天的施工费用为0．35万元，要使该工程的施工费用最低，甲、乙两队各做多少天（同时施工即为合做）施工费用最低？
解：（1）设：甲、乙两个工程队单独完成该工程各需x天、y天，
由题意得方程组：， 解之得：x=40，y=60．
（2） 已知甲工程队每天的施工费用为0．6万元，乙工程队每天的施工费用为
0．35万元，根据题意，要使工程在规定时间内完成且施工费用最低，只要使乙工程队施工30天，其余工程由甲工程队完成． 由（1）知，乙工程队30天完成工程的，
∴甲工程队需施工÷=20（天）．
最低施工费用为0．6×20＋0．35×30=22.5（万元）．
答：（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需40天和60天；
　 （2）要使该工程的施工费最低，甲、乙两队各做20天和30天，最低施工费用是22.5万元． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
评析：这道考题把对二元一次方程组知识的考察放到贴近生活的热点话题的背景下，易激活学生的数学思维．

自我检测
1、填空题.（1）使分式的值等于零的条件是_________．x=-且a≠-
（2）x 时,分式 的值为正数;
(3) ，最简公分母是
2. 下列各分式中，最简分式是( B )
A、 B、 C、 D、
3. 下列各式中，从左到右的变形正确的是( B )
A、 B、 C、 D、
4．将分式中的、的值同时扩大倍，则扩大后分式的值（ A ）
A、扩大倍； B、缩小倍； C、保持不变； D、无法确定；
5．不改变分式的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（D ）
A． B． C． D．
6.　某种感冒病毒的直径是0.00000012米，用科学记数法表示为_____________ 米．
7．某农场原计划用m天完成A公顷的播种任务，如果要提前a天结束，那么平均每天比原计划要多播种_________
公顷．
8、 工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及
时运走，解决此问题，可设派x人挖土，其它的人运土，列方程① ②72-x= ③x+3x=72
④上述所列方程，正确的有（ ）个
A 1 B 2 C 3 D 4
9．函数y=中，自变量x的取值范围是___________．x≥-且x≠，x≠3
10．计算的结果是_________．-2
11. 若关于x的方程有一个正数解，求m的取值范围．
12.有 个有效数字，它精确到 位，化成小数是 ．
13. 已知，则A= ，B= ．
14. 若分式方程有增根，则增根是（ A ）
A. x＝1 B. x＝1和x＝0 C. x＝0 D. 无法确定
15、若方程有增根，则a= 6 8
16. 已知，则的值为（ C ）
A、-3 B、-2 C、-1 D、0
17.（2013•日照）甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项 工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（　　）
A.8 B.7 C.6 D.5

18. （1） （2）

（3） （4）

(5) ()0 +（－）·（－）÷（－）-

19. 解方程:

20.已知：实数x,y满足，求代数式值；

21. 某一项工程预计在规定的日期内完成，如果甲独做刚好能完成，如果乙独做就要超过日期3天，现在甲、乙两
人合做2天，剩下的工程由乙独做，刚刚好在规定的日期完成，问规定日期是几天？

22. 某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用17.6
万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元，商厦销售这种衬衫时每件定
价都是58元，最后剩下的150件按八折销售，很快售完，在这两笔生意中，商厦共赢利多少元。

23. .我市政公司决定将一总长为 1200m 的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工．若甲、乙两 队合做需 12 天完
成此项工程；若甲队先做了 8 天后，剩下的由乙队单独做还需 18 天才能完 工．问甲、乙两队单独完成此项
工程各需多少天？又已知甲队每施工一天需要费用 2 万元， 乙队每施工一天需要费用 1 万元，要使完成该工
程所需费用不超过 35 万元，则乙工程队至 少要施工多少天？

培优提高
1. 当为何整数时，代数式的值是整数，并求出这个整数值.

2. 已知，求的值； 3. 已知,求的值。 3

4.已知，且，求m的值。 19

5. 如果关于x的方程的解也是不等式组的一个解，求m的取值范围。

6. 若，则K= 1或-2

7. （倒数求值）：已知，，。求

8. 若，求的值。 9.求分式的最小值。

10. 若，求的值

11、先阅读下面的材料,然后解答问题:
通过观察，发现方程
的解为;
的解为
的解为;
   …………………………
(1)观察上述方程的解,猜想关于x的方程的解是________________;
(2)根据上面的规律,猜想关于x的方程的解是___________________;
(3) 把关于x的方程变形为方程的形式是________,方程的解是____________,解决这个问题的数学思想是___________;

12．阅读下列材料：
∵，
，
，
……
，
∴
=
=
=．
解答下列问题：
（1）在和式中，第6项为______，第n项是_____．
（2）上述求和的想法是通过逆用________法则，将和式中的各分数转化为两个数之差，使得除首末两项外的中间
各项可以_______，从而达到求和的目的．
（3）受此启发，请你解下面的方程：
．
12．（1）．（2）分式减法，对消
（3）解析：将分式方程变形为
整理得，方程两边都乘以2x（x+9），得2（x+9）-2x=9x，解得x=2．
经检验，x=2是原分式方程的根．
点评：此方程若用常规方法来解，显然很难， 这种先拆分分式化简后再解分式方程的方法不失是一种技巧．

13． 某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台
降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．
（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？
（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进
价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？
（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现
金元，要使（2）中所有方案获利相同，值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？
解：（1）设今年三月份甲种电脑每台售价元
1分
解得： 1分
经检验：是原方程的根， 1分
所以甲种电脑今年每台售价4000元．
（2）设购进甲种电脑台，
2分
解得 1分
因为的正整数解为6，7，8，9，10，所以共有5种进货方案 1分
（3）设总获利为元，
1分
当时，（2）中所有方案获利相同． 1分
此时，购买甲种电脑6台，乙种电脑9台时对公司更有利． 1分

课堂小结
本章主要学习分式的概念，分式的基本性质，分式的约分、通分，分式的运算（包括乘除、乘方、加减运算），分式方程等内容，分式是两个整式相除的结果，且除式中含有字母，它类似于小学学过的分数，分式的内容在初中数学中占有重要地位，特别是利用分式方程解决实际问题，是重要的应用数学模型，在中考中，有关分式的内容所占比例较大，应重视本章知识的学习．