矩阵多项式秩的若干新结果.doc

6、设，如果，则可逆。
8、设是阶矩阵的矩阵多项式，则可逆的充要条件是。
9、 设
则可逆的充要条件是的特征根均不是的根。
10、设，若互素，且，则。
12、设，且
则
引理4 设，对任意，若可逆，则
引理5 设不全为零，且首项系数为1，则
7、设，则可逆的充要条。
证明 充分性，由推论1可知，，则可逆。
必要性，设，
则存在满足
所以
由可逆，，则知可逆，从而

由引理4知，，设，则

故
应用2 设，则有

证明 先证明，
令，
由定理1即可得

再证，
令，显然是两两互素的，由推论6可得
引理1.8：可逆（或）的常数项不为0。
引理1.9：设,对任意,若可逆,则
证明：由引理1.8，可记则有
令
注意到：，即知即为的逆。
例1：已知矩阵满足：求的逆矩阵
定理2.2记， ，且
则。
证明：由多项式理论知：有、、满足：
，
则有，，注意到即知：

显然若，则，从而可逆。因此有：
推论1：，若则可逆。
定理2.3：设，则
证明：得：、满足：。

即
显然 当且仅当
定理2.4：,则可逆
证明：由推论1知只需证其必要性：
令，则
由定理2.2可知：可逆。从而
由引理1.9可知，不妨设，
从而有

推论1：当时，则有是非零数可得：
推论2：可逆
推论3：可逆
推论4：，则可逆
证明：显然，它与互素当且仅当
推论5： ，则可逆多项式常数项不为零。
证明：显然，它与互素当且仅当其常数项不为零。
推论6：，，则可逆。
证明：显然，它与互素当且仅当。
下面对矩阵多项式可逆判定常用结论（按最早提出的时间顺序排列）归纳如下：
令，，为的所有特征值，且则以下命题是相互等价的。
①可逆
② （①②由文[2]最早给出，在[11]再次提出）
③（①③由文[2]最早给出）
④的根与的特征根互异（①④由文[4]最早给出，在[8]，[3]再次提出）
⑤（①⑤由文[7]最早给出）
⑥（①⑥由文[6]最早给出）

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