数学暑假复习预习探究作业.doc

(m,n都是正数)

（m、n均为正整数）
：(m,n都是正数)
. .,即,如,(-2.50=1)
：(a+b)(a-b)=a的平方-b的平方
(a+b)^=a^+2ab+b^与(a-b)^=a^-2ab+b^
(m, 都是正数n)
数学暑假复习预习探究作业
复习计划：在这个漫长的暑假中，为了不让上学期学过的知识遗忘，我为自己制定了一个复习计划。
1. 将期末考试的错题进行进一步研究，找出错误的原因，并改正。
2. 找出一些难度大的题，将脑中的知识进行升华。
3. 做出思维导图，梳理知识。
4. 对某一概念或某一习题做出自己的思想和理论。
5. 想一想我们所学过的知识能解决什么生活中的问题，将思想打开，加深印象。
期末考试总结：这次的分数不是很理想，主要原因是因为不认真审题和粗心方面，当然，也有因为只是不牢固而错的，在选择题方面失分较多，因为不理解题意而失分的，还有平时做过的题没有记牢固，在填空题方面较好，大题上因为步骤不全，审题不认真也失掉了分，希望在这次的暑假作业中能将这些问题一一解决，将知识深刻的印在脑海中，在生活上也要学会灵活运用，加油！

栏目设置：
【知识盘点】——对本学期所学知识和方法进行归纳总结（思维导图形式）
第一章：
现实世界，其他学科，数学中的问题情境

整式的加减
同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方
幂的运算
同底数的除法，零指数幂和负整数指数幂

单项式乘单项式

整式及其运算
单项式乘多项式

整式的乘法
多项式乘多项式，平方差公式，完全平方公式

单项式除以单项式

解决问题

多项式除以单项式
整式的除法
第二章：

※两条直线互相平行的条件即两条直线互相平行的判定定理，共有三条：
①同位角相等，两直线平行；
②内错角相等，两直线平行；
③同旁内角互补，两直线平行。
三．平行线的特征
※平行线的特征即平行线的性质定理，共有三条：
①两直线平行，同位角相等；
②两直线平行，内错角相等；
③两直线平行，同旁内角互补。
如果两个角的和为90°（或直角），那么这两个角互为余角；
如果两个角的和为180°（或平角），那么这两个角互为补角；

同位角
补交，余角，对顶角
平行线
相交线
平行线与相交线
尺规作图
探索直线平行的条件
探索平行线的特征
作一个角等于已知角
作一条线段等于已知线段
内错角
同旁内角
同位角
内错角
同旁内角

制作统计图形象的表示数据

从统计图中获取信息
经历数据处理的过程
近似数的意义和作用，有效数字
科学记数法
表示
对百万分之一的感受活动
近似数和有效数字
生活中的统计图
百万分之一等较小的数据
生活中的数据
第三章：

第四章：
概率模型
实际问题或游戏
一类概率模型（几何概型）的简单计算
游戏的公平性
解决实际问题，作出决策

概率在0~1之间

第五章：
三角形
三角形的基本要素及基本性质
图形全等
三边关系，三内角关系
三角形的高，中线，角平分线
特征，图案设计
三角形的全等
全等的表示和三角形的性质
三角形全等的条件：SSS,SAS,ASA，AAS
直角三角形全等的条件：SSS，SAS，ASA，AAS，HL
三角形全等的应用
尺规做三角形
解决实际问题

※1．三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”
※2．有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”
※3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”
※4．两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”
1．已知两个角及其夹边，求作三角形，是利用三角形全等条件“角边角”即（“ASA”）来作图的。2．已知两条边及其夹角，求作三角形，是利用三角形全等条件“边角边”即（“SAS”）来作图的。
3．已知三条边，求作三角形，是利用三角形全等条件“边边边”即（“SSS”）来作图的。
※1．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简称为“斜边、直角边”或“HL”。这只对直角三角形成立。
※2．直角三角形是三角形中的一类，它具有一般三角形的性质，因而也可用“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”来判定。直角三角形的其他判定方法可以归纳如下：①两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有一个锐角和一条边对应相等的两个直角三角形全等③三条边对应等的两个直角三角形全等。
。

第七章 生活中的轴对称
※1．如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。
※2．角平分线上的点到角两边距离相等。
※3．线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
※4．角、线段和等腰三角形是轴对称图形。
※5．等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。
※6．轴对称图形上对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
※7．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

分析用表格，关系式，图像所表示的变量之间的关系
变量之间关系的探索和表示
自变量和因变量
利用变量之间的关系解决问题，进行预测
变量及其关系
丰富的现实情境
第六章：

第七章：

轴对称的应用（图案设计，剪纸与镶边等）
轴对称的一般性质：对应点，对应角，对应线段
观察生活中大量的轴对称现象
轴对称图形，两个图形成轴对称的基本含义

欣赏镜面对称
等腰三角形的轴对称性：底角相等，三线合一，正三角形的轴对称性
重新体验生活中的轴对称

线段垂直平分线的性质
线段的轴对称性
角平分线的性质
角的轴对称性

【预习收获】预习八年级上册第一篇《勾股定理》，并谈谈预习后的感想。
拼图法
求直角三角形的边长（a,b为直角边长，c为斜边长）
探索勾股定理
a^+b^=c^
c^—b^= a^
c^—a^= b^

预习感想：预习完本章后，感觉较好，题也基本上会做，但还是存在一些小问题，像书写顺序总是打乱，思维有些混乱，在外的补习班老师也对于这一章下了不少功夫，另外，我还预习了1,2,3,4,8单元，总体感觉良好，但也有一些题找不到方法，总做错，希望在开学后的提高中得到发展。
　在预习中，我知道了直角三角形两直角边（即“勾”“股”短的为勾，长的为股）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。
　　也就是说设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么
　　a的平方+b的平方=c的平方　a^2+b^2=c^2 勾股定理现发现约有500种证明方法，定理中证明方法最多的定理之一。
　　 满足勾股定理方程a^2+b^2=c^2 例如(3，4，5)就是一组勾股数组。
　　由于方程中含有3个未知数，故勾股数组有无数多组。
　　勾股数组的通式：
　　a=M^2-N^2
　　b=2MN
　　c=M^2+N^2
(M>N,M,N为正整数）
例题在本子中。

勾股数——满足a^+b^=c^的三个正整数
三边关系
勾股定理
判断直角三角形——看三边是否满足a^+b^=c^
C为最长边
求几何体表面上两点间的最短距离
勾股定理的应用
在直角三角形中已知两边长求第三边长

【方法总结】几何中常见的辅助线归类并举例说明。

E
B D C
A

【方法总结】几何中常见的辅助线归类并例举说明
1.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．求证：AB+AC＞2AD．
解：延长AD至点E，使DE=AD，连接CE．
易证△ABD≌△ECD．所以AB=EC．
在△ACE中，因为AC+EC＞AE=2AD，所以AB+AC＞2AD．

图5
N
H
G
F
E
2
B D C
1 M
A

2. 如图，分别以△ABC的边AB，AC为一边在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M为FH的中点．求证：MA⊥BC．
分析：设MA的延长线交BC于点D，延长AM至点N，使MN=AM，连接FN．
则由△FMN≌△HMA可得FN=AH=AC，FN//AH，所以∠AFN+∠FAH=180°．
因为∠BAC+∠FAH=180°，所以∠AFN=∠BAC．
又因为AF=AB，所以△AFN≌△BAC，得∠1=∠2．
因为∠1+∠3=90°，所以∠2+∠3=90°，所以∠ADB=90°．
从而得出MA⊥BC．

3. 已知：△ABC是⊙O的内接等边三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PB+PC。
分析：直接证明PA=PB+PC，困难较大。可用截长法：在PA上截取PD=PB，再证明PC=DA即可（或用补短法：在BP或CP上各补上与CP或BP相等的线段，再证明PA与这条线段相等）。
证明（截长法）：在PA上截取PD=PB，连接BD，
∵ △ABC是圆O的内接等边三角形，∴ BA=BC，∠ABC=∠ACB=60°。
∵ ∠BPA=∠BCA，
∴∠BPA=60°。
∴ △BPD是等边三角形。
∴ BD=BP，∠DBP=60°。
∴ ∠ABD=∠CBP。
∴ △ABD≌△CBP。
∴ PC=DA。
又∵ PA=PD+DA，
∴ PA=PB+PC。
4. 证明（补短法）：延长BP到D使PD=PC，连接CD，
∵ △ABC是圆内接等边三角形，∴ AC=BC，∠ABC=∠ACB=60°。
∵ ∠BPA=∠BCA，∠ABC=∠APC，
∴ ∠BPA=60°=∠APC。∴ ∠CPD=60°。
∴ △CPD是等边三角形。
∴ CD=CP ∠DCP=60°。∴ ∠ACP=∠BCD。
∴ △ACP≌△BCD。∴ PA=BA。
又∵ BD=PD+BP，∴ PA=PB+PC。

5.
如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC。求证：AB+BD=AC。
证明：在AC上截取AE=AB，连接DE。∵AD平分∠BAC
　∴∠1=∠2
　在△ABD和△AED中
【AB=AE】
　【∠1=∠2】
【AD=AD】
∴△ABD≌△AED（SAS）
∴BD=DE，∠B=∠3
又∵∠B=2∠C
∴∠3=2∠C
　∵∠3=∠4+∠C
∴2∠C=∠4+∠C
∴∠C=∠4
∴DE=CE
∴BD=CE
∵AE+EC=AC
∴AB+BD=AC
6. 如图，过点D作AC的平行线DH A
证明：∵AB=AC

∴∠ABC=∠ACB
又∵AC平行于DH D
∴∠DHE=∠FCE
∠ACB=∠DHB
又 ∠DHB=∠DBH B H E
∴∠ACB=∠DBH F
∴DB=CF

A
2 3
G
B E D C
F
1
H

7. 如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．
分析：可以把FE看作△FBC的一条中线．
延长FE至点H，使EH=FE，连接CH．
则△CEH≌△BEF．所以CH=BF，∠H=∠1．
因为EG//AD，所以∠1=∠2，∠3=∠G．
又因为∠2=∠3，所以∠1=∠G．所以∠H=∠G
由此得CH=CG．所以BF=CG．

【佳题推荐】推荐两个好题，并介绍推荐理由且给出规范解答。
AＡ
G
B D
F
E
1 C
2

1. 如图，△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC的中点，E，F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF，若BE=3，CF=4，试求EF的长．
分析：可以把ED看作△EBC的一条中线．
延长ED至点G，使DG=ED，连接CG，FG．
则△CDG≌△BDE．所以CG=BE=3，∠2=∠B．
因为∠B+∠1=90°，所以∠1+∠2=∠FCG=90°．
因为DF垂直平分EG，所以FG=EF．
在Rt△FCG中，由勾股定理得，所以EF= 5
2.. 如图，△PAB中，C是PB上一点，且∠PAC=∠B，E为AC边的中点，PE的延长线交AB于点D．
C
A
P
F
E
D
B

求证：．
分析：延长PD至点F，使EF=PE，连接AF．
易知，△PEC≌△FEA，所以∠CPE=∠F，AF=PC．所以AF//PC．
由△ADF∽△BDP可得．所以

介绍理由：这两道题将初一的内容和初二的内容联系到了一起，并且比较复杂，锻炼大脑思维能力，最难的就要数做辅助线了，很多人都想不到这里来，而这两道题包含了，如果有机会，大家可以多做做。

【创新空间】你对某一概念，某一习题，某一现象，某一问题有新的思考吗？

1. 如图，CB，CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：CE=2CD．
分析：延长CD至点F，使DF=CD，连接BF．
F
2 3
A D 1 B E
C

则由△ADC≌△BDF可得AC=BF，∠1=∠A．由AC=AB得∠ACB=∠2．
因为∠3=∠A+∠ACB，所以∠3=∠CBF．
再由AC=AB=BF=BE及BC=BC，可得△CBE≌△CBF，所以CE=CF，即CE=2CD
原题的做法与此不同，以上是我的做法。
【数学与生活】

小学时，学校为了让大家支持环保，组织了一次收集饮料瓶活动，把各班收
集的饮料瓶进行倒卖，然后剩下的做班费，图一是学校收集起来饮料瓶的条形图，图二是学校人数的比例分布图，我们学校一共1000人。
人均捐图书数、本

四年级 六年级30％

五年级
35％
6

4

2

O 四年级 五年级 六年级

（1） （2）
（1） 求学生卷图书的总本书。
解：五年级：6×1000×35％=2100（本）
四年级：2×1000×（1—35％—30％）=700本
六年级：4×1000×30％=1200本
共捐赠2100+700+1200=4000本

（2）4000÷1000=4本，所以学生平均每人捐4本。