二次函数和最小差最大.doc

二次函数综合问题——和最小与差最大
一，问题引入：
问题1：大家记得这样一个常识吗？“牵牛从点A出发，到河边l喝水，再到点B处吃草，走哪条路径最短？”
即在l上找一点P，使得PA+PB和最小。
（1）A，B两点在直线异侧时
A·

l

B·

（2）A，B两点在直线同侧时B·

A·

l

小结1：在直线l上找一点P使PA+PB和最小，常把两点转化到直线的 ，即作B点关于 （也可以作Ａ点关于l的对称点Ａ′），连接ＡＢ′交l于点Ｐ，即为所要找的Ｐ点。
（３）变式讨论：在l上找一P点，使得△PAB周长最小B·

A·

l

A·
问题2：在l上找一点P，使得∣PA－PB∣最大
（1）A，B两点在直线同侧时

B·

l

（2）A，B两点在直线异侧时
B·

l

A·

小结2：在直线l上找一点P使∣PA－PB∣最大，常把两点转化到直线的 ，即作A点关于 （也可以作B点关于l的对称点B′），连接A′B交l于点Ｐ，即为所要找的Ｐ点。

关键点：分清题目类型，若是和最小，则把两点转化到直线的异侧；若是差的绝对值最大，则把两点转化到直线的同侧；可以简记为“ ”。

二，应用举例
例1．（10年深圳中考改编）如图，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（－2,0），B（－1, －3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为y轴上任意一点，当点P到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点P的坐标；
x
y
C
B
_
D
_
A
O

（3）点M为y轴上任意一点，当的值最大时，求此时点M的坐标；并求 的最大值。x
y
C
B
_
D
_
A
O

例2，抛物线y=－x2+2x+3与x轴交于A、B两点，且点A在x轴的负半轴上，抛物线与y轴交于点C
（1） 求A、B两点的坐标；
y
（2） 在抛物线的对称轴上是否存在点P使△PAC的周长最小，求出△PAC的最小周长，求点P的坐标。

B
A
O
y
x

C

B
A

O

x

三，巩固练习
（09年深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.
（1）求点B的坐标； （2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.

四，作业
A
B
C
O
D
E
y
x
1、（05年深圳）已知△ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与y轴的正半轴相交于点E，点B（-1，0），P是AC上的一个动点（P与点A、C不重合）
（1）求点A、E的坐标；
（2）若y=过点A、E，求抛物线的解析式。
（3）连结PB、PD，设L为△PBD的周长，当L取最小值时，
求点P的坐标及L的最小值，并判断此时点P是否在（2）中所
求的抛物线上，请充分说明你的判断理由。

2、（11年深圳）如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）
（1）求抛物线的解析式
（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.

3、（11广安），在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（-1，0），B（-l，2），D（3，0）．连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON．若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值．