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二次函数的经典综合问题
一、与面积有关的存在问题
1、策略P74 T9 （2010云南玉溪）如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，） ，△AOB的面积是.
（1）求点B的坐标；
（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
C
A
B
O
y
x

y
A
0
B
图10

（4）在（2）中轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由题意得:
∴B（－2，0） …………3分
（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+2)，代入点A（1, ），得，
∴ …………6分
（3）存在点C.过点A作AF垂直于x轴于点F，抛物线
的对称轴x= - 1交x轴于点E.当点C位于对称轴
与线段AB的交点时，△AOC的周长最小.
∵ △BCE∽△BAF,
…………9分
（4）存在. 如图，设p(x,y)，直线AB为y=kx+b,则
，
∴直线AB为，
= |OB||YP|+|OB||YD|=|YP|+|YD|
=.
∵S△AOD= S△AOB-S△BOD =-×2×∣x+∣=-x+.
y
x
A
O
D
B
P
∴==.
∴x1=- , x2=1(舍去).
∴p(-,-) .
又∵S△BOD =x+,
∴ == .
∴x1=- , x2=-2.
P(-2,0)，不符合题意.
∴ 存在，点P坐标是（-，-）. …………12分
二 线段长的问题
2\策略P77 T18（10四川眉山）26．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（，0）、（0，4），抛物线经过B点，且顶点在直线上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．

解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为 …（1分）
∴
∴ ……………………………………………………………（3分）
∴所求函数关系式为： …………（4分）
（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，
∴
∵四边形ABCD是菱形
∴BC=CD=DA=AB=5 ……………………………………（5分）
∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）． …………（6分）
当时，
当时，
∴点C和点D在所求抛物线上． …………………………（7分）
（3）设直线CD对应的函数关系式为，则

解得：．
∴ ………（9分）
∵MN∥y轴，M点的横坐标为t，
∴N点的横坐标也为t．
则， ，……………………（10分）
∴
∵， ∴当时，，
此时点M的坐标为（，）． ………………………………（12分）
三二次函数中的线段长与面积
3（2010山东济宁）指导最后一页最后一题 如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）. 已知点坐标为（，）.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点作线段的垂线交抛物线于点， 如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.

(第23题)

(第23题)

23．（1）解：设抛物线为.
∵抛物线经过点（0，3），∴.∴.
∴抛物线为. ……………………………3分
(2) 答：与⊙相交. …………………………………………………………………4分
证明：当时，，.
∴为（2，0），为（6，0）.∴.
设⊙与相切于点，连接，则.
∵，∴.
又∵，∴.∴∽.
∴.∴.∴.…………………………6分
∵抛物线的对称轴为，∴点到的距离为2.
∴抛物线的对称轴与⊙相交. ……………………………………………7分
(3) 解：如图，过点作平行于轴的直线交于点.
可求出的解析式为.………………………………………8分
设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）.
∴.
∵,
∴当时，的面积最大为.
此时，点的坐标为（3，）. …………………………………………10分
作业
4、策略P75 T12（10江苏宿迁）28．（本题满分12分）已知抛物线交轴于、，交轴于点，其顶点为．
　（1）求、的值并写出抛物线的对称轴；
（2）连接，过点作直线交抛物线的对称轴于点．求证：四边形是等腰梯形；
（3）问Q抛物线上是否存在点，使得△OBQ的面积等于四边形的面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

（第28题2）
（第28题）

解:（1）求出：，，抛物线的对称轴为：x=2 ……3分
(2) 抛物线的解析式为，易得C点坐标为（0，3），D点坐标为（2，-1）
设抛物线的对称轴DE交x轴于点F，易得F点坐标为（2，0），连接OD，DB，BE
∵OBC是等腰直角三角形，DFB也是等腰直角三角形，E点坐标为（2，2），
∴∠BOE= ∠OBD= ∴OE∥BD
∴四边形ODBE是梯形 ………………5分
在和中，
OD= ，BE=
∴OD= BE
∴四边形ODBE是等腰梯形 ……………7分

(3) 存在， ……8分
由题意得： ………………9分
设点Q坐标为（x，y），
由题意得：=
∴
当y=1时，即，∴ ， ，
∴Q点坐标为（2+，1）或(2-，1) …………11分
当y=-1时，即， ∴x=2，
∴Q点坐标为（2，-1）
综上所述，抛物线上存在三点Q（2+，1），Q (2-，1) ，Q（2，-1）
使得=． ………………12分

E
F
Q1
Q3
Q2

5、（2010湖南常德）策略P78 T20如图9，已知抛物线轴交于点A（-4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C点.
(1) 求此抛物线的解析式；
(2) 设E是线段AB上的动点，作EF∥AC交BC于F，连接CE，当的面积是面积的2倍时，求E点的坐标；
(3) 若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标.
A
B
O
C
图9
y
x

25．解：（1）由二次函数与轴交于、两点可得：
　　　　　　　　　　解得：　
　　　　　　故所求二次函数的解析式为． ………………3分
（2）∵S△CEF=2 S△BEF, ∴ ………………4分
∵EF//AC, ∴,
∴△BEF～△BAC, ………………5分
∴得 ………………6分
故E点的坐标为(,0). ………………7分

　　　（3）解法一：由抛物线与轴的交点为，则点的坐标为（0，－2）．若设直线的解析式为，则有　解得：
故直线的解析式为． ………………8分
若设点的坐标为，又点是过点所作轴的平行线与直线的交点，则点的坐标为（．则有：
　　　　　　　＝
＝
即当时，线段取大值，此时点的坐标为（－2，－3）………10分
解法二：延长交轴于点，则．要使线段最长，则只须△的面积取大值时即可. ………………8分
设点坐标为（，则有:

　 ＝
　 ＝
＝
＝
＝ ＝－
即时，△的面积取大值，此时线段最长，则点坐标
为（－2，－3） ……………10分