《代入法解二元一次方程组》导学案.doc

2015-2016学年重庆市渝北区七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）
1．实数的算术平方根等于（　　）
A．2 B．± C． D．
2．点P（﹣3，2）在平面直角坐标系中所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，若∠1=65°，则∠2=（　　）

A．65° B．75° C．115° D．125°
4．二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
5．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B． C． D．
6．下列调查适合抽样调查的是（　　）
A．审核书稿中的错别字
B．对某社区的卫生死角进行调查
C．对八名同学的身高情况进行调查
D．对中学生目前的睡眠情况进行调查
7．实数，，0，﹣π，，，0.1010010001…（相连两个1之间依次多一个0），其中无理数有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．k、m、n为三个整数，若=k， =20， =6，则下列有关k、m、n的大小关系中，正确的是（　　）
A．m＜k＜n B．m=n＜k C．m＜n＜k D．k＜m=n
9．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．
问：牛、羊各直金几何？”
译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、
每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
10．关于x的不等式x﹣b＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（　　）
A．﹣3＜b＜﹣2 B．﹣3＜b≤﹣2 C．﹣3≤b≤﹣2 D．﹣3≤b＜﹣2
11．如图，在平面直接坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中（1，0）→（2，0）→（2，1）→（1，1）→（1，2）→（2，2）…根据这个规律，则第2016个点的横坐标为（　　）

A．44 B．45 C．46 D．47
12．如图，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP=20°，则∠EPF=（　　）

A．70° B．65° C．55° D．45°

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13．计算﹣3的结果是　　．
14．在平面直角坐标系中，点P（m，m﹣3）在第四象限内，则m的取值范围是　　．
15．如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD，若∠ECA的度数为40°，则∠GFB的度数为　　．

16．已知是二元一次方程组的解，则2m﹣n的算术平方根为　　．
17．如图，直线l1∥l2，∠α=∠β，∠1=50°，则∠2=　　．

18．为了节省空间，家里的饭碗一般是摆起来存放的，如果6只饭碗（注：饭碗的大小形状都一样，下同）摆起来的高度为15cm，9只饭碗摆起来的高度为20cm，李老师家的碗橱每格的高度为36cm，则李老师一摞碗最多只能放　　只．

三、解答题（共8小题，满分78分）
19．计算：0+（）﹣1+|﹣|﹣（+1）
20．解下列方程组：
（1）
（2）．
21．解下列不等式或不等式组，并将其解集在数轴上表示出来：
（1）2（x+6）≥3x﹣18
（2）．

22．某校为了了解初三年级800名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均取整数，单位：kg）分成五组（A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．

根据统计图，解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是　　，并补全频数分布直方图；
（2）D组学生的频率为　　，在扇形统计图中E组的圆心角是　　度；
（3）请你估计该校初三年级体重低于54kg的学生大约有多少名？
23．对于任意实数m，n定义一种新运算m※n=mn﹣m+3，等式的右边是通常的加减法和乘法运算，例如：3※5=3×5﹣3+3=15．请根据上述定义解决问题：若a＜2※x＜7，且解集中恰有两个整数解，求a的取值范围．
24．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（0，1）、B（5，1）、C（7，3）、D（2，5）．
（1）填空：四边形ABCD内（边界点除外）一共有　　个整点（即横坐标和纵坐标都是整数的点）；
（2）求四边形ABCD的面积．

25．（1）如图（1），已知任意三角形ABC，过点C作DE∥AB，求证：∠DCA=∠A；
（2）如图（1），求证：三角形ABC的三个内角（即∠A、∠B、∠ACB）之和等于180°；
（3）如图（2），求证：∠AGF=∠AEF+∠F；
（4）如图（3），AB∥CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=150°，求∠F．

26．“全名阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1560元，20本文学名著比20本动漫书多360元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．
（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？
（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于74本，总费用不超过2100，请求出所有符合条件的购书方案．

2015-2016学年重庆市渝北区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）
1．实数的算术平方根等于（　　）
A．2 B．± C． D．
【考点】算术平方根．
【分析】根据算术平方根的定义即可作答．
【解答】解：实数的算术平方根等于．
故选：C．

2．点P（﹣3，2）在平面直角坐标系中所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】点的坐标．
【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标符号可得答案．
【解答】解：点P（﹣3，2）在平面直角坐标系中所在的象限是第二象限，
故选：B．

3．如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，若∠1=65°，则∠2=（　　）

A．65° B．75° C．115° D．125°
【考点】平行线的性质．
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠3的度数，再根据邻补角互补可得答案．
【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠1=∠3=65°，
∵∠3+∠2=180°，
∴∠2=180°﹣65°=115°，
故选：C．

4．二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【考点】解二元一次方程组．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①+②得：2x=6，即x=3，
把x=3代入①得：y=1，
则方程组的解为，
故选B

5．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B． C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
【分析】根据不等式的基本性质来解不等式组，两个不等式的解集的交集，就是该不等式组的解集；然后把不等式的解集根据不等式解集在数轴上的表示方法画出图示．
【解答】解：不等式组的解集为：﹣2≤x＜1，其数轴表示为：
故选B

6．下列调查适合抽样调查的是（　　）
A．审核书稿中的错别字
B．对某社区的卫生死角进行调查
C．对八名同学的身高情况进行调查
D．对中学生目前的睡眠情况进行调查
【考点】全面调查与抽样调查．
【分析】一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
【解答】解：A、审核书稿中的错别字，必须准确，故必须普查；
B、此种情况数量不是很大，故必须普查；
C、人数不多，容易调查，适合普查；
D、中学生的人数比较多，适合采取抽样调查；
故选D．

7．实数，，0，﹣π，，，0.1010010001…（相连两个1之间依次多一个0），其中无理数有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】无理数．
【分析】无理数就是无限不循环小数，根据定义即可作出判断．
【解答】解：无理数有：，﹣π，0.1010010001…（相连两个1之间依次多一个0），共3个．
故选C．

8．k、m、n为三个整数，若=k， =20， =6，则下列有关k、m、n的大小关系中，正确的是（　　）
A．m＜k＜n B．m=n＜k C．m＜n＜k D．k＜m=n
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】已知二次根式化简确定出k，m，n的值，比较即可．
【解答】解： =3， =20， =6，
∴k=3，m=2，n=5，
则m＜k＜n，
故选A

9．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．
问：牛、羊各直金几何？”
译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、
每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【分析】根据“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，得到等量关系，即可列出方程组．
【解答】解：根据题意得：，
故选A

10．关于x的不等式x﹣b＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（　　）
A．﹣3＜b＜﹣2 B．﹣3＜b≤﹣2 C．﹣3≤b≤﹣2 D．﹣3≤b＜﹣2
【考点】一元一次不等式的整数解．
【分析】表示出已知不等式的解集，根据负整数解只有﹣1，﹣2，确定出b的范围即可．
【解答】解：不等式x﹣b＞0，
解得：x＞b，
∵不等式的负整数解只有两个负整数解，
∴﹣3≤b＜﹣2
故选D．

11．如图，在平面直接坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中（1，0）→（2，0）→（2，1）→（1，1）→（1，2）→（2，2）…根据这个规律，则第2016个点的横坐标为（　　）

A．44 B．45 C．46 D．47
【考点】规律型：点的坐标．
【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可．
【解答】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，
例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12，
右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22，
右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，
右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，
…
右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，
∵452=2025，45是奇数，
∴第2025个点是（45，0），
第2016个点是（45，9），
所以，第2016个点的横坐标为45．
故选B．

12．如图，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP=20°，则∠EPF=（　　）

A．70° B．65° C．55° D．45°
【考点】平行线的性质；垂线．
【分析】根据平角等于180°求出∠AEF，再根据两直线平行，内错角相等求出∠EFD，然后根据角平分线的定义求出∠EFP，再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：∵EP⊥EF，
∴∠PEF=90°，
∵∠BEP=20°，
∴∠AEF=180°﹣∠PEF﹣∠BEP=180°﹣90°﹣20°=70°，
∵AB∥CD，
∴∠EFD=∠AEF=70°，
∵FP是∠EFD的平分线，
∴∠EFP=∠EFD=×70°=35°，
在△EFP中，∠EPF=180°﹣90°﹣35°=55°．
故选C．

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13．计算﹣3的结果是　3　．
【考点】二次根式的加减法．
【分析】先进行二次根式的化简，再进行同类二次根式的合并即可．
【解答】解：原式=4﹣3×
=4﹣
=3．
故答案为：3．

14．在平面直角坐标系中，点P（m，m﹣3）在第四象限内，则m的取值范围是　0＜m＜3　．
【考点】点的坐标；解一元一次不等式组．
【分析】根据第四项限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案．
【解答】解：由点P（m，m﹣3）在第四象限内，得
．
解得0＜m＜3，
故答案为：0＜m＜3．

15．如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD，若∠ECA的度数为40°，则∠GFB的度数为　70°　．

【考点】平行线的性质．
【分析】根据平角得到由求出∠DCF，根据两直线平行同位角相等即可求出∠GFB．
【解答】解：∵∠ECA=40°，
∴∠ECD=180°﹣∠ECA=140°，
∵CD平分∠ECF，
∴∠DCF=∠ECF=×140°=70°，
∵CD∥GF，
∴∠GFB=∠DCF=70°．
故答案为：70°．

16．已知是二元一次方程组的解，则2m﹣n的算术平方根为　2　．
【考点】算术平方根；二元一次方程组的解．
【分析】由题意可解出m，n的值，从而求出2m﹣n的值，继而得出其算术平方根．
【解答】解：将代入二元一次方程组，
得，
解得：，
∴2m﹣n=4，而4的算术平方根为2．
故2m﹣n的算术平方根为2．
故答案为：2．

17．如图，直线l1∥l2，∠α=∠β，∠1=50°，则∠2=　130°　．

【考点】平行线的性质．
【分析】先根据平行线的性质，由l1∥l2得∠3=∠1=40°，再根据平行线的判定，由∠α=∠β得AB∥CD，然后根据平行线的性质得∠2+∠3=180°，再把∠1=40°代入计算即可．
【解答】解：如图，
∵l1∥l2，
∴∠3=∠1=50°，
∵∠α=∠β，
∴AB∥CD，
∴∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣50°=130°．
故答案为：130°．

18．为了节省空间，家里的饭碗一般是摆起来存放的，如果6只饭碗（注：饭碗的大小形状都一样，下同）摆起来的高度为15cm，9只饭碗摆起来的高度为20cm，李老师家的碗橱每格的高度为36cm，则李老师一摞碗最多只能放　18　只．
【考点】一元一次不等式的应用．
【分析】设碗底的高度为xcm，碗身的高度为ycm，可得碗的高度和碗的个数的关系式为高度=个数×碗底高度+碗身高度，根据6只饭碗摞起来的高度为15cm，9只饭碗摞起来的高度为20cm，列方程组求解，根据碗橱每格的高度为36cm，列不等式求解．
【解答】解：设碗底的高度为xcm，碗身的高度为ycm，
由题意得，，
解得：，
设李老师一摞碗能放a只碗，
a+5≤36，
解得：a≤，
故李老师一摞碗最多只能放18只碗．
故答案为18．

三、解答题（共8小题，满分78分）
19．计算：0+（）﹣1+|﹣|﹣（+1）
【考点】二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．
【分析】首先计算0次幂和负指数次幂，去掉绝对值符号，然后合并同类二次根式即可求解．
【解答】解：原式=1+3+（﹣）﹣（3+）
=1+3+﹣﹣3﹣
=1﹣．

20．解下列方程组：
（1）
（2）．
【考点】解二元一次方程组．
【分析】（1）方程组整理后，利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1）由②得：5y=3x﹣10③，
把①代入③得：5y=y+2﹣10，即y=﹣2，
把y=﹣2代入①得：x=0，
则方程组的解为；
（2）方程组整理得：，
①×3﹣②得：2y=4，即y=2，
把y=2代入①得：x=﹣1.5，
则方程组的解为．

21．解下列不等式或不等式组，并将其解集在数轴上表示出来：
（1）2（x+6）≥3x﹣18
（2）．

【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．
【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，把x的系数化为1，并在数轴上表示出来即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：（1）去括号得，2x+12≥3x﹣18，
移项得，2x﹣3x≥﹣18﹣12，
合并同类项得，﹣x＞﹣30，
把x的系数化为1得，x＜30，
在数轴上表示为：
；

（2）由①得，x＞﹣3，由②得，x＜6，
故不等式组的解集为：﹣3＜x＜6，
在数轴是表示为：
．

22．某校为了了解初三年级800名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均取整数，单位：kg）分成五组（A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．

根据统计图，解答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是　50　，并补全频数分布直方图；
（2）D组学生的频率为　0.2　，在扇形统计图中E组的圆心角是　57.6　度；
（3）请你估计该校初三年级体重低于54kg的学生大约有多少名？
【考点】频数（率）分布直方图；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）根据A组的频数是4，对应的百分比是8%，据此即可求得总人数，即样本容量，然后求得B组的人数，补全直方图；
（2）利用频率的定义求得D组的频率，利用360°乘以对应的比例求得E组的圆心角度数；
（3）利用总人数乘以对应的比例即可求解．
【解答】解：（1）这次抽样的样本容量是4÷8%=50，
B组的频数是50﹣4﹣16﹣10﹣8=12．
故答案是：50．
；
（2）D组的频率是=0.2；
E组的圆心角的度数是360°×=57.6°，
故答案是：0.2，57.6；
（3）该校初三年级体重低于54kg的学生大约有800×=256（人），
答：该校初三年级体重低于54kg的学生大约256人．

23．对于任意实数m，n定义一种新运算m※n=mn﹣m+3，等式的右边是通常的加减法和乘法运算，例如：3※5=3×5﹣3+3=15．请根据上述定义解决问题：若a＜2※x＜7，且解集中恰有两个整数解，求a的取值范围．
【考点】不等式的解集；实数的运算．
【分析】根据定义可知：2※x=2x﹣2+3=2x+1，利用不等式可求解出＜x＜3，由于x有两个整数解，所以0≤＜1，求出该不等式的解集即可知道a的取值范围．
【解答】解：由题意可知：2※x=2x﹣2+3=2x+1，
∵a＜2※x＜7，
∴a＜2x+1＜7，
∴＜x＜3，
∵该不等式的解集有两个整数解，
∴该整数解为1或2，
∴0≤＜1，
∴1≤a＜3．

24．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（0，1）、B（5，1）、C（7，3）、D（2，5）．
（1）填空：四边形ABCD内（边界点除外）一共有　13　个整点（即横坐标和纵坐标都是整数的点）；
（2）求四边形ABCD的面积．

【考点】坐标与图形性质．
【分析】（1）横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，本题根据图形数一数，对一些模糊的点如点（1，3）得求出直线AB的解析式验证；
（2）四边形ABCD分割成几个规则图形就可简单求解．
【解答】解：（1）填空：四边形ABCD内（边界点除外）一共有 13个整点．
（2）如下图所示：

∵S四边形ABCD=S△ADE+S△DFC+S四边形BEFG+S△BCG
S△ADE=×2×4=4
S△DFC=×2×5=5
S四边形BEFG=2×3=6
S△BCG=×2×2=2
∴S四边形ABCD=4+5+6+2=17
即：四边形ABCD的面积为17

25．（1）如图（1），已知任意三角形ABC，过点C作DE∥AB，求证：∠DCA=∠A；
（2）如图（1），求证：三角形ABC的三个内角（即∠A、∠B、∠ACB）之和等于180°；
（3）如图（2），求证：∠AGF=∠AEF+∠F；
（4）如图（3），AB∥CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=150°，求∠F．

【考点】平行线的性质．
【分析】（1）根据平行线的性即可得到结论；
（2）因为平角为180°，若能运用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一顶点，并得到一个平角，问题即可解决；
（3）根据平角的定义和三角形的内角和定理即可得到结论；
（4）根据平行线的性质得到∠DEB=119°，∠AED=61°，由角平分线的性质得到∠DEF=59.5°，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵DE∥BC，∴∠DCA=∠A；

（2）如图1所示，在△ABC中，∵DE∥BC，
∴∠B=∠1，∠C=∠2（内错角相等）．
∵∠1+∠BAC+∠2=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°．
即三角形的内角和为180°；

（3）∵∠AGF+∠FGE=180°，
由（2）知，∠GEF+∠EG+∠FGE=180°，
∴∠AGF=∠AEF+∠F；

（4）∵AB∥CD，∠CDE=911°，
∴∠DEB=119°，∠AED=61°，
∵GF交∠DEB的平分线EF于点F，
∴∠DEF=59.5°，
∴∠AEF=120.5°，
∵∠AGF=150°，
∵∠AGF=∠AEF+∠F，
∴∠F=150°﹣120.5°=29.5°．

26．“全名阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1560元，20本文学名著比20本动漫书多360元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．
（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？
（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于74本，总费用不超过2100，请求出所有符合条件的购书方案．
【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设每本文学名著x元，动漫书y元，根据题意列出方程组解答即可；
（2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于74本，总费用不超过2100元，列出不等式组，解答即可．
【解答】解：（1）设每本文学名著x元，动漫书y元，
可得：，
解得：，
答：每本文学名著和动漫书各为38元和20元；

（2）设学校要求购买文学名著x本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：
，
解得：26≤x≤，
因为取整数，
所以x取27，28，29；
方案一：文学名著27本，动漫书47本；
方案二：文学名著28本，动漫书48本；
方案三：文学名著29本，动漫书49本．

2017年3月3日
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