高一数学下学期第三阶段测试卷.doc

高一数学下学期第三阶段测试卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）．
1．函数的最小正周期T= ▲ .
2．若过点和的直线与直线平行，主视图
左视图
俯视图
第7题
则= ▲ .
3．等差数列中，，那么的值是 ▲ .
4．直线通过一定点，则此点是 ▲
5．不等式的解集是 ▲ .
6．已知a=，b=，若,则λ= ▲
7．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图差不多上边长
为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么那个
几何体的全面积为 ▲ .
8．已知两个球的表面积之比为1∶，则这两个球的半径之比为 ▲ .
9.与都相切，且过点（1，8）的圆的圆心坐标为 ▲ .
10. 已知圆C的方程为，若,两点一个在圆C的内部,一个在
圆C的外部,则实数a的取值范畴是 ▲ .
A
B
C
A1
B1
C1
D
11．若，则的值为 ▲ .
12．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90o，
AB＝BC＝AA1＝2，点D是A1C1的中点，则异面直线
AD和BC1所成角的大小为 ▲ .

2-①
2-②
a
13．若通过点P（－1，0）的直线与圆相切，则这条直线在y轴上
的截距是 ▲ .
14．如图，一个圆锥形容器的高为，内装有一定量的水.
假如将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为（如图2-②），
则图2-①中的水面高度为 ▲ .

二、解答题（本大题共6小题，共90分.）
15.（本题满分14分）如图，在平行四边形中，点．
（1）求所在直线的斜率；
（2）过点C做CD⊥AB于点D，求所在直线的方程．

16．（本题满分14分）已知的周长为，且．
（I）求边的长；
（II）若的面积为，求角的度数．

17. （本题满分16分）如图，三棱锥中，是边长为4的正三角形，，
E为AB的中点，.
(Ⅰ) 求证：平面;
(Ⅱ) 求直线和平面CDE所成的角的正切；
(Ⅲ) 求点A到平面BCD的距离.

18．（本题满分14分）已知等比数列，，
（1）求通项；
（2）若，数列的前项的和为，且，求的值.

19．（本题满分16分）在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，
求的取值范畴．

20．（本题满分16分）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，
AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，
又BO=2,PO=, PB⊥PD.
(Ⅰ)求异面直线PD与BC所成角的余弦值；
(Ⅱ)求二面角P－AB－C的大小；
(Ⅲ)设点M在棱PC上，且为何值时，PC⊥平面BMD.

扬州市新华中学高一数学第三时期测试卷答题纸
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）．
1. 2. 3.24 4. 5. 6.
7. 8.1：3 9.或 10. 11.
12. 13.1 14.
二、解答题（本大题共6小题，共90分.解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（本题满分14分）
解: (1) 点O（0，0），点C（1，3），
OC所在直线的斜率为.
（2）在中，,
CD⊥AB，
CD⊥OC.
CD所在直线的斜率为.
CD所在直线方程为
.
16．（本题满分14分）
解：（I）由题意及正弦定理，得，
，
两式相减，得．
（II）由的面积，得，
由余弦定理，得
　　，因此．

17. （本题满分16分）
（1）略证：；

（2）作AF⊥DE于F点，可证AF长即为所求，AD=3，AE=2，，，；
（3）等体积法：BD=DC=5，BC=4，，，
，。
18．（本题满分14分）

(1)
(2)由（1）可知，故，因此

19．（本题满分16分）
解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，
即 ．得圆的方程为．
（2）不妨设．由即得．设，由成等比数列，得，即 ．

由于点在圆内，故由此得．因此的取值范畴为．

20．（本题满分16分）
（1），DO=1，取AB中点E，连DE，故DE//BC，连PE，故（或其补角）为异面直线PD与BC所成角，，
。
（2）连OE，PE，可证得为二面角P-AB-C的平面角，，。
（3），。
若面BMD，则，，，
。

本题满分16分）如图，平面PCBM⊥平面ABC,∠PCB=90°,PM∥BC,直线AM与
直线PC所成的角为60°，又AC=1,BC=2PM=2,∠ACB=90°
(Ⅰ)求证：AC⊥BM;
(Ⅱ)求二面角M-AB-C的平面角的正切值；（Ⅲ）求多面体PMABC的体积.

在正三角形ABC中，E、F分别是AB、
AC边上的点，满足（如图1）.
将△AEF沿EF折起到的位置，使二
面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1C.
（如图2）
（1）求证：A1E⊥平面BEC；
（2）求直线A1E与平面A1BC所成角的大小

如图，在四棱锥中，底面，

，，是的中点．
（Ⅰ）求和平面所成的角的大小；
（Ⅱ）证明平面；
（Ⅲ）求二面角的正弦值.．
（Ⅰ）解：在四棱锥中，因底面，平面，故．

又，，从而平面．故在平面内的射影为，从而为和平面所成的角．
在中，，故．
因此和平面所成的角的大小为．
（Ⅱ）证明：在四棱锥中，
因底面，平面，故．
由条件，，面．
又面，．
由，，可得．
是的中点，，
．综上得平面．
（Ⅲ）解：过点作，垂足为，连结．由（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则．
因此是二面角的平面角．
由已知，可得．设，可得
，，，．
在中，，，则
．
在中，．
因此二面角的大小．

命题、校对：孟素红
（Ⅰ）∵平面平面，，平面．
∴平面
又∵平面
∴
（Ⅱ）取的中点，则．连接、．
∵平面平面，平面平面，．
∴平面．
∵，∴，从而平面．
作于，连结，则由三垂线定理知．
从而为二面角的平面角．
∵直线与直线所成的角为60°，
∴ ．
在中，由勾股定理得．
在中，．
在中，．
在中，
故二面角的大小为
（Ⅱ）如图以为原点建立空间直角坐标系．
　　　设，
有，，．
，
由直线与直线所成的角为60°，得

即，解得．
∴，
设平面的一个法向量为，则
由，取，得
取平面的一个法向量为
则
由图知二面角为锐二面角，故二面角的大小为．
（Ⅲ）多面体确实是四棱锥
．

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2,PO=,PB⊥PD.
(Ⅰ)求异面直线PD与BC所成角的余弦值；
(Ⅱ)求二面角P－AB－C的大小；
(Ⅲ)设点M在棱PC上，且为何值时，PC⊥平面BMD.

（06全国二）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
（Ⅰ）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；
（Ⅱ）设AA1＝AC＝AB，求二面角A1－AD－C1的大小．

扬州市新华中学高一数学第三时期测试卷参考答案

一 填空题
1.{1}; 2.一; 3.; 4.; 5.; 6.56; 7.;
8.16; 9.2; 10.; 11.1; 12. ; 13. 4∶1; 14.
二 解答题

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）．
1．函数的最小正周期T= ▲ .
2．若过点和的直线与直线平行，则= ▲ .
主视图
左视图
俯视图
第7题
3．等差数列中，，那么的值是 ▲ .
4．直线通过一定点，则此点是 ▲
5．不等式的解集是 ▲ .
6．已知a=，b=，若,则λ= ▲
7．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图差不多上边长
为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么那个
几何体的全面积为 ▲ .
8．已知两个球的表面积之比为1∶，则这两个球的半径之比为 ▲ .
9.与都相切，且过点（1，8）的圆的圆心坐标为 ▲ .
A
B
C
A1
B1
C1
D
10. 若，则的值为 ▲ .
11．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90o，
AB＝BC＝AA1＝2，点D是A1C1的中点，则异面直线
AD和BC1所成角的大小为 ▲ .
12．若通过点P（－1，0）的直线与圆相切，则这条直线在y轴上的截距是 ▲ .

2-①
2-②
a
13．已知圆C的方程为，若,两点一个在圆C的内部,一个在圆C的外部,则实数a的取值范畴是 ▲ .
14．如图，一个圆锥形容器的高为，内装有一定量的水.
假如将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为（如图2-②），
则图2-①中的水面高度为 ▲ .

二、解答题（本大题共6小题，共90分.解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（本题14分）如图，在平行四边形中，点．
（1）求所在直线的斜率；
（2）过点C做CD⊥AB于点D，求所在直线的方程．

16．（本题14分）已知的周长为，且．
（I）求边的长；
（II）若的面积为，求角的度数．
解：（I）由题意及正弦定理，得，
，
两式相减，得．
（II）由的面积，得，
由余弦定理，得
　　，
因此．
17. （本小题满分16分）
如图，三棱锥中，是边长为4的正三角形，，E为AB的中点，.
(Ⅰ) 求证：平面;
(Ⅱ) 求直线和平面CDE所成的角的正切；
(Ⅲ) 求点A到平面BCD的距离.

18．（本题满分14分）已知等比数列，，
（1）求通项；
（2）若，数列的前项的和为，且，求的值.

19．（本题满分16分）在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范畴．
解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，
即 ．得圆的方程为．
（2）不妨设．由即得．设，由成等比数列，得，即 ．

由于点在圆内，故由此得．因此的取值范畴为．

20．（本题满分16分）如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形
（1） 求证：AD^BC
（2） 求二面角B－AC－D的余弦值。
（3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？
若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由