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浅析不等式的特殊证明方法

摘 要：不等式的常规证明方法有多种，但有些不等式题目不能利用常规方法来解决。应利用数学知识的特点，将它们相互联系，在不等式的证明中应将其与几何图形、函数、方程等相互联系，探求出多种证明方法。本文主要对不等式证明的数形结合法、构造法、Lagrange法进行了研究。
关键词：不等式；数形结合；构造思想；Lagrange中值定理
数量上的不等关系要比相等关系更广泛的存在于现实世界里，而不等式理论成为数学基础理论的一个重要的组成部分，不等式的证明就是其中的重点。下文就引例介绍证明不等式的特殊方法。
1、 利用数形结合思想
数形结合，顾名思义就是将富有数学特点的信息转换至几何图形中进行考虑。可以将不等式中许多数量关系等抽象概念和解析式赋予它几何意义，使之关系明朗、简单化，形象直观。
例1：已知为非负实数，求证：。
分析：根据需求证的不等式，联想到（都为正数）（即在三角形中，两边之和大于第三边）。于是就考虑能否将之间的关系转换到三角形中。
证明：在长方形ABCD中，设,

则,由勾股定理有：
在直角三角形AEG中,
在直角三角形ACD中，
在直角三角形EHD中，
在三角形AED中，

当且仅当，即点E在AD上时，“=”成立。
例2：若为实数，求证：
分析：(1) 当为非负实数时，证明如上；
(2) 当为负实数时，如上证明不可行。
根据所求证的不等式，可以把看作向量的模，此时无需分情况讨论。
证明：设，则，
y
B
A
x
O

，由向量模的定义知：
，，
由两边之和大于第三边得：
当且仅当共线且异向时，“=”成立。

2、 利用构造思想
构造思想是一种创造性的思想方法，它连通了数学各个不同的分支，甚至跨学科地将问题进行转化，便于求解。构造思想的关键在于明确构造的方向。常见的方法有：构造方程、构造函数、构造数列等，本文就以例浅析构造方程这一方法。
例3：若，求证：
分析：看到会想到配方，但计算繁琐。从结果入手，需求证的是两个数的和与积与两个数的大小关系，联系所学，会发现一元二次方程中的韦达定理（）涉及两数的和与积。于是想到尝试构造方程求解。
证明：设为方程的两个根，则由韦达定理有：
因为所以且Δ= （1）
从而
所以 （2）
将（2）代入（1）得
由，又，所以，即

3、利用拉格朗日（Lagrange）中值定理
Lagrange中值定理：若函数满足如下条件：
（1）在闭区间上连续
（2）在开区间（）内可导，
则在（）内至少存在一点，使得。
例5：证明：
分析：涉及对数，常规方法无法解决，将不等式变形为： ，考虑用Lagrange中值定理进行证明。
证明：，令，则
因为，所以在上满足Lagrange中值定理的条件，
故至少存在一点，使得
而，于是，由知
因而，即

通过以上例题可见不等式的证明方法灵活多变，只要能敏锐地观察不等式的结构特征，与所学知识加以联系，合理的选择恰当的证明方法，证明过程就会变得简捷，提高解题效率。
参考文献：
[1] 方牡丹. 构造函数证明不等式[J], 数学通讯, 2010.7.
[2] 王大荣 王维新. 用微分学证明不等式的方法.[J], 河南教育学院学报第14卷第1期，2005.3

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