高考数学总复习(讲+练+测)：专题6.5数列的综合应用(测).pdf

小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学第 04 节数列的综合应用一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1.在等比数列na中，若720,2naa，则31112aa的最小值为（）A2 2 B4 C 8 D16【答案】B【解析】因为720,2naa，所以由基本不等式可得，231131171222224aaa aa，故选 B.2将正偶数集合2,4,6，从小到大按第n 组有 2n 个偶数进行分组：2,4，6,8,10,12，14,16,18,20,22,24，.则 2 018 位于第 ()组A.30 B.31 C.32 D.33【答案】C 3【2017 届陕西省黄陵中学高三（重点班）下考前模拟一】若数列na满足115a且1332nnaa，则使10kkaa的k的值为()A.21 B.22 C.23 D.24【答案】C【解析】因为123nnaa，所以na是等差数列，且公差12,153da，则2247151333nann，所以由题设10kkaa可得24724545470333322nnn，则23n，应选答案C.4已知函数afxx的图象过点4,2，令11nafnfn（*nN），记数列na的前n项和为nS，则2017S（）A.20181 B.20181 C.20171 D.20171小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【答案】B【解析】由题意得142,2，所以111nannnn，从而2132111nSnnn，即201720181S，选 B.5已知正项数列na的前n项和为nS，当2n时，211nnnnaSS S，且11a，设21lo g6nnab，则nb等于（）A23n B24nC3n D4n【答案】A 6设各项均为正数的数列na的前n项和为nS，且满足22*2()2342(30)nnnnSnnNSn，则数列na的通项公式是（）A32nan B43nan C2 1nan D21nan【答案】A【解析】由满足22*2()2342(30)nnnnSnnNSn，因式分解可得：22320()()nnSnnS，数列na的各项均为正数，223nSnn，当1n时，1231a，解得11a当2n时，22122232 31132nnnaSSnnnnn，当1n时，上式成立32nan故选：A7.【河南省天一大联考2017 届高三阶段性测试（五）（B卷）】设na是等差数列，nb是等比数列，且小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学111ab，201720172017ab，则下列结论正确的是（）A.10081009aa B.20162016abC.*nN，12017n，nnab D.*nN，12017n，使得nnab【答案】C 8.【2018届 河 南 省 林 州 市 第 一 中 学 高 三8月】已 知 数 列na的 前n项 和 为nS，且15a，11622nnaan，若对任意的*nN，143np Sn恒成立，则实数p的取值范围为（）A.2,3 B.2,3 C.2,4 D.2,4【答案】B【解析】由数列的递推公式可得：11442nnaa，则数列4na是首项为141a，公比为12的等比数列，111141,422nnnnaa，分组求和可得：211432nnSn，题中的不等式即2111332np恒成立，结合恒成立的条件可得实数p的取值范围为2,3本题选择B选项.9.已知23,0,31xfxxx，已知数列na满足03,nanN，且122010670aaa，则122010()()()f af af a()A有最大值6030 B.有最小值6030 C.有最大值6027 D.有最小值6027 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【答案】A 10【2018 届河南省天一大联考高三上10 月联考】已知数列满足，其前项和为，则下列说法正确的个数为（）数列是等差数列；.A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】,所以当时，,因此，故错；当时，当时，因此对，选B.11【2018 届河北省定州中学高三上第二次月考】定义为 个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（）A.B.C.D.【答案】C 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学据此可得：，本题选择C选项.12.已知数列 an（nN*）是各项均为正数且公比不等于1 的等比数列，对于函数y=f（x），若数列 1nf（an）为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”现有定义在（0，+）上的三个函数：f（x）=；f（x）=exf（x）=，则为“保比差数列函数”的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：设数列an的公比为q（q1），利用保比差数列函数的定义，验证数列lnf（an）为等差数列，即可得到结论解：设数列 an的公比为q（q1）由题意，lnf（an）=ln，lnf（an+1）lnf（an）=ln ln=ln=lnq 是常数，数列lnf（an）为等差数列，满足题意；由题意，lnf（an）=ln，lnf（an+1）lnf（an）=lnln=an+1an不是常数，数列lnf（an）不为等差数列，不满足题意；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学由题意，lnf（an）=ln，lnf（an+1）lnf（an）=lnln=lnq 是常数，数列 lnf（an）为等差数列，满足题意；综上，为“保比差数列函数”的所有序号为故选 C二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分.把答案填在题中的横线上.）13.*123.2(nnaaaananN)，222nnnba,则 数 列nb中 最 大 项 的 值 是_【答案】1814.【2017 届江苏省南京师范大学附属中学高三模拟一】设数列na的前n项的和为nS，且1142nna，若对于任意的*nN都有143nx Sn恒成立，则实数x的取值范围是 _.【答案】2,3【解析】由题设可得11221244133212nnnSnn，则2214332nnSn，不等式143nx Sn可化为22113332nx，即319122111122nnx，则问题转化为求12n的最大值和最小值.由于*nN，所以12n的最大值和最小值分别为14和12，则319111221142x，即23x，应填答案2,3.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学15【2017 届湖北孝感市高三上第一次统考】设nS为数列na的前n项和，且满足112nnnnSa，则2a；1352017SSSS .【答案】14201811-132（）)212121()(20173201731201731aaaSSS)212121()212121(20173201842）（）（）（）（）（1-213121-132-21-13141-141-121-41-141-14120182018201810091009.16.【2017 届江苏泰州中学高三上期中】设数列na首项12a,前n项和为nS，且满足123nnaSnN，则满足234163315nnSS的所有n的和为 _.【答案】4【解析】因nnnSSa11,故代入已知可得321nnSS,即3)3(21nnSS,也即)3(2131nnSS,故数列3nS是公比为21的等比数列,所以1)21)(32(3nnS,即1)21(3nnS.所以122)21(3nnS,则nnnnnnnSS223123)21(3)21(312121122,由此可解得4n,故应填答案4.三、解答题（本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【2017 届浙江省ZDB联盟高三一模】已知数列na满足112a，211nnnaaan n，数列1nnaa的前n项和为nS，证明：当*nN时，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学（1）10nnaa；（2）31nnan；（3）12nSn.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析试题解析：证明：（1）由于2101nnnaaan n，则1nnaa.若1nnaa，则0na，与112a矛盾，从而1nnaa，12312naaaa，又11110121nnnaaan nn n，1na与na同号，又1102a，则10na，即10nnaa.（2）由于10nnaa，则1111nnnnnnaa aaaan nn n.即11111111nnaan nnn，111111nnaann，当2n时，11221111111111nnnnnaaaaaaaa小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学11111111311301212nnnnnann从而31nnan当1n时，112a，从而31nnan.（3）111 111111121nnnaaaan nn nnn，叠加：3121211121nnnaaaSnaaan12n.18【2017 届浙江省杭州高级中学高三2 月模拟】数列na定义为10a，11aa，2112nnnaaa，*nN（1）若1012aaaa，求1210111222aaa的值；（2）当0a时，定义数列nb，112kbak，111 2nnbb，是否存在正整数,i j ij，使得211212ijbbaaa.如果存在，求出一组,i j，如果不存在，说明理由.【答案】(1)2；(2)答案见解析试题解析：(1)11212,22nnnnnnaaaaaa所以11112nnnaaa故11112nnnaaa小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学所以1210111111111212222aaaaaaaa（2）由1112nnbb得1112nnbb，两边平方21112nnbb所以21112nnnbbb当1kba时，由212212bbb知22212kabb又21112kkkaaa，数列na递增，所以21kba类似地，321,ktktbaba又21212aaa21111211212aaaa10121aa1012ijbbaa所以111012k ikjaaaa存在正整数,i j ij，112,110kikj11,9ikjk存在一组,11,9i jkk19.【2017 届浙江省温州市高三二模】设数列满足，为的前项和.证明：对任意，（1）当时，；（2）当时，；（3）当时，.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(2)从而，即，于是，即；（3）当时，由（），故.令，由（1）（2），.由，可得.从而，又，故，即.注意到，故，即，亦即.所以当时，.20【2017 届浙江省台州市高三上期末】已知数列满足：.()求证：；（）求证：；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学（）若求正整数的最小值.【答案】()证明见解析；()证明见解析；().因此所以.()证明:由已知得所以由累加可得当时,由()得所以所以()解:由()得所以所以又因为所以的最小值为.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学21【2017 届浙江省台州市高三4 月调研】已知数列满足：.（1）求证：；（2）求证：.【答案】(1)见解析;(2)见解析.（2）假设存在，由（1）可得当时，根据，而，所以.于是，.累加可得（*）由（1）可得，而当时，显然有，因此有，这显然与（*）矛盾，所以.22【2017 届浙江省杭州市高三4 月二模】已知数列na的各项均为非负数，其前n项和为nS，且对任意小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学的*nN，都有212nnnaaa.（1）若11a，5052017a，求6a的最大值；（2）若对任意*nN，都有1nS，求证：+1201nnaan n.【答案】（1）见解析（2）见解析61125aaddd，便可求出6a的最大值；（2）首先假设1kkaa，根据已知条件212nnnaaa得112kkkkaaaa，于是通过证明对于固定的k值，存在121naaa，由此得出与1nS矛盾，所以得到10nnaa，再设1kkkbaa，则根据121nnnnaaaa可得1,0kkkbbb，接下来通过放缩，可以得到1123nn b，于是可以得出要证的结论.试题解析：（1）由题意知121nnnnaaaa，设1iiidaa1,2,504i，则123504dddd，且1235042016dddd，1255ddd67504409ddd1252016409ddd，所以12520ddd，6112521aaddd.（2）若存在*kN，使得1kkaa，则由212nnnaaa，得112kkkkaaaa，因此，从na项开始，数列na严格递增，故12naaa1kknaaa1knka，对于固定的k，当n足够大时，必有121naaa，与题设矛盾，所以na不可能递增，即只能小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学10nnaa.令1kkkbaa，*kN，由112kkkkaaaa，得1kkbb，0kb，故121naaa122nbaaa12332nbbaaa，122nnbbnbna1122nnn nn bb，所以21nbn n，综上，对一切*nN，都有1201nnaan n.