2019年高考—圆锥曲线知识点总结.pdf

川越教育 第 1 页 2019 年高考专题年高考专题-圆锥曲线的方程与性质圆锥曲线的方程与性质1椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点、的距离的和等于常数 2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆1F2Fa21|FF的焦点，两焦点的距离 2c 叫椭圆的焦距。若为椭圆上任意一点，则有。M21|2MFMFa椭圆的标准方程为：（）（焦点在 x 轴上）或（）（焦点在 y22221xyab0ab12222bxay0ab轴上）。注：以上方程中的大小，其中；,a b0ab222bac在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的22221xyab22221yxab0ab2x2y分母的大小。例如椭圆（，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当221xymn0m 0n mnmnx时表示焦点在轴上的椭圆。mny（2）椭圆的性质范围：由标准方程知，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；22221xyab|xa|ybxa yb 对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，yy(,)x y(,)xy所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。若同时以代替，代替xxxyxxy方程也不变，则曲线关于原点对称。y所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中xy心叫椭圆的中心；顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，xy令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。同理令得，即，0 x yb 1(0,)Bb2(0,)Bby0y xa 1(,0)Aa是椭圆与轴的两个交点。2(,0)A ax所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长21A A21B B2a2bab半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，a22Rt OB F2|OBb2|OFc，且，即；22|B Fa2222222|OFB FOB222cab离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。，且越接近，就cea0ac01ee1c越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时abe0c0ba椭圆越接近于圆。当且仅当时，两焦点重合，图形变为圆，方程为。ab0c 222xya2双曲线（1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。12|2PFPFa注意：式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；1202|aFF12|2PFPFa时为双曲线的另一支（含的一支）；当时，表示两条射21|2PFPFa1F122|aFF12|2PFPFa线；当时，不表示任何图形；两定点叫做双曲线的焦点，叫122|aFF12|2PFPFa12,F F12|FF做焦距。川越教育 第 2 页 椭圆和双曲线比较：椭 圆双 曲 线定义1212|2(2|)PFPFaaFF1212|2(2|)PFPFaaFF方程22221xyab22221xyba22221xyab22221yxab焦点(,0)Fc(0,)Fc(,0)Fc(0,)Fc注意：如何用方程确定焦点的位置！（2）双曲线的性质范围：从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧。即12222byaxax，即双曲线在两条直线的外侧。22ax ax ax对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点12222byax是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。12222byax顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线的方程里，对称轴是轴，所12222byax,x y以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。0yaxx)0,()0,(2aAaA 12222byax令，没有实根，因此双曲线和 y 轴没有交点。0 x1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2）实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段叫做2AA2,a a2BB双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。2,b b渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。12222byax等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：；ab2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直。xy注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。3）注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为：，当时交点在ab)0(22yx0轴，当时焦点在轴上。x0y注意与的区别：三个量中不同（互换）相同，还有焦点所在的坐标191622yx221916yx,a b c,a bc轴也变了。3抛物线（1）抛物线的概念平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上)。定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。方程叫做抛物线的标准方程。022ppxy注意：它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，焦点坐标是 F（,0），它的准线方程是；2p2px 川越教育 第 3 页 （2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方pxy22pyx22pyx22程如下表：标准方程22(0)ypxp22(0)ypxp 22(0)xpyp22(0)xpyp 图形焦点坐标(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2p准线方程2px 2px 2py 2py 范围0 x 0 x 0y 0y 对称性轴x轴x轴y轴y顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率1e 1e 1e 1e 说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调的几何意义：是焦点p到准线的距离。（一）椭圆的定义：1、椭圆的定义：平面内与两个定点、的距离之和等于定长（大于）的点的轨迹叫做椭圆椭圆。这两1F2F12|FF个定点、叫做椭圆的焦点焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距焦距。1F2F12|FF对椭圆定义的几点说明：（1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）；（2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分；（3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于|F1F2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于|F1F2|时，我们得到的是线段 F1F2；当这个“常数”小于|F1F2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。（4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为 A1，A2，B1，B2，于是我们易得|A1A2|的值就是那个“常数”，且|B2F2|+|B2F1|、|B1F2|+|B1F1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。oFxyloxyFlxyoFl 川越教育 第 4 页 （5）中心在原点、焦点分别在 x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：22222222xyyx1(ab0),1(ab0),abab相同点是：形状相同、大小相同；都有 a b 0，。222acb不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（c，0）和（c，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，c）和（0，c）。椭圆的焦点在 x 轴上标准方程中x2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上标准方程中 y2项的分母较大。（二）椭圆的几何性质：椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率对于第一类性质，只要的有关性2222xy1(ab0)ab质中横坐标 x 和纵坐标 y 互换，就可以得出的有关性质。总结如下：2222yx1(ab0)ab几点说明：（1）长轴：线段，长为；短轴：线段，长为；焦点在长轴上。12A A2a12B B2b（2）对于离心率 e，因为 ac0，所以 0e2，解之得 0k0，n0，mn），把P（53，4），Q（54，3）代入得192516116259nmnm解得m1，n251，故椭圆方程为x2252y1。10.解析：设弦的两端点分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），则有4162121yx1，4162222yx1两式相减得4)(16)(21212121yyyyxxxx2121644)(16)(421212121yyxxxxyy 川越教育 第 21 页 即弦所在直线的斜率为21，又弦过（2，1）点，故弦所在直线的方程是x2y40 11.解：设顶点A的坐标为（x，y），由题意得：9466xyxy 顶点A的轨迹方程为：368122yx1（y6）12.解：以直线MN为x轴，以线段MN的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示。设所求椭圆方程为2222byax1（ab0），分别记M、N、P点的坐标为（c，0）、（c，0）和（x0，y0）tantan（N）2由题设知)(21)(210000cxycxy 解得cycx343500即 P)34,35(cc在MNP中，|MN|2c，MN上的高为34c，SMNP34221cc1，解得c23即P（332,635），由此得|PM|3152，|PN|315a21（|PM|PN|）215，从而b2a2c23故所求的椭圆方程为315422yx1