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数学问题解决的教学设计应树立五种意识
江苏联合职业技术学院宿迁经贸分院 徐正勇（223602）
20世纪80年代以来，问题解决已成为国际数学教育的一种潮流．数学教学不管采用何种教学方式，都是在不断提出问题、解决问题的过程中展开的，问题是数学教学的中心．因此，数学问题解决的教学设计是数学课堂教学设计中的一种重要形式．新课程理念下，如何进行数学问题解决的教学设计呢？笔者认为，新课程背景下数学问题解决的教学设计应树立以下五种意识．
1．创设问题情境，通过“火热的思考”去欣赏数学的“冰冷的美丽”的意识
数学在生产和生活实际中有广泛的应用，很多数学问题都来自于实践，即数学问题往往对应某种现实模型，是对现实模型的抽象．“数学教学应从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索交流，获得知识，形成技能，发展思维，培养学生应用数学的意识．”因此在数学问题解决的教学设计时，利用数学问题的现实背景，选取一些生动形象的实际例子来引入数学知识，既可以激发学生的学习兴趣和学习动机，沟通数学知识与现实生活的联系，又符合学生从实践到理论、从感性知识到理性知识的认知规律，还可以培养学生从现实生活中抽象出数学问题，并利用数学方法解决问题的意识．
例如，“均值不等式”一节的教学中，可以设计如下两个“问题情境”
（1）有两个商场在节前进行商品降价酬宾销售活动，分别采用两种降价方案：甲商场是第一次打折销售，第二次打折销售；乙商场是两次都打折销售．请问：哪个商场的价格最优惠？
（2）今有一台天平两臂之长略有差异，其他均精确．有人要用它称量物体的重量，只须将物体放在左右两个托盘中各称一次，再将称得结果相加后除以2就是物体的真实重量．你认为这种做法对不对？如果不对的话，你能否找到一种用这台天平称量物体重量的正确方法？
以上两个“问题情境”，一个是经济生活中的问题，一个是物理中的问题，其情境贴近生活，贴近实际，给学生创设了一个观察、联想、抽象、概括、数学化的过程．在这样的“问题情境”下，再注意给学生动手、动脑的空间和时间，往往能取得良好的教学效果．
2． 引导学生对问题进行变更、引申、拓展的意识
数学教学的目的既要使学生掌握基础知识、基本方法、基本技能，又要培养学生的数学能力和创新精神．这要求教师在教学设计时，要将一些毫不起眼的基础题进行横向的拓宽和纵向的深入，即通过引导学生变更问题，帮助学生进行变式探求，如逆向思维探求其逆命题，通过设常量为变量拓展问题，通过弱化或强化条件与结论，揭示出它与某类问题的联系与区别并变更出新的命题．
例如，对于问题：已知，并且．求证：．
现实背景：建筑学规定，民用建筑的采光度等于窗户面积与地面面积之比，但窗户面积必须小于地面面积．采光度越大说明采光条件越好，问：当窗户与地面增加同样的面积后，采光条件是变好，还是变坏了，为什么？
数学背景： 请探究是否所有的矩形都相似．
逻辑延伸问题：1）若，且．则上述结论会变为什么形式？
2）若，且；则．
3）求证：在上是严格单调增函数．
4）已知，且，则．
5）已知，且，则
．
3．设计开放性问题，培养学生提出问题的意识
有人认为我国教育是“去问题教育”——进教室有问题，出教室没问题，不及欧美的学生带问题进教室，带着更多的问题出教室。我们的学生不爱提问，或没有提问的习惯。实际上创新源于问题，没有问题就不可能创新，问题是创新的基础和源泉，教学过程是不断提出问题、解决问题的过程，也是学生进行创新的过程．因此，在数学问题解决的教学设计中，应多设计开放性问题，培养学生提出问题的意识。
例如，直线与抛物线相交与A、B两点，________，求直线AB的直线方程．请学生对直线补充一个恰当的条件，使直线方程得以确定．
此题一出，学生的思维便很活跃，补充上的条件也形形色色．如
（1）；
（2）；
（3）线段AB被轴平分；
（4）线段AB的中点到轴的距离最短．
学生畅所欲言，涉及到的知识有韦达定理、弦长公式、中点坐标公式、两直线相互垂直的充要条件、最值问题、数形结合思想等等，学生进入了主动学习的状态，提出了各种各样的数学问题．
4．从数学文化的角度，设置各类问题的意识
新课程标准指出，“数学课程应适当反应数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神．要让学生在数学学习中增强应用数学的意识，培养实践能力和创新精神．数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展史中的作用，逐步形成正确的数学观．”因此，在数学问题解决的教学设计时，不但要从加强学生基础的角度出发，设计常规题，还要从培养实践能力的角度出发，设计数学实验题；从培养应用意识的角度出发，设计实用性题；从渗透数学文化的角度出发，设计探究性问题．各类问题并举，百花齐放，展现数学生动、有趣的文化价值这一方面．
例如，下图是城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A处走到B处（只能由北到南，由西向东），那么有多少种不同的走法？

教师提出问题后，让学生思考或和附近的同学计讨论．
问题1：转化为到4根横线与4根竖线的排列问题，故从A到B的方法数应为=70．
问题2：一条条的数，用递推法，并进一步和杨辉三角联系起来．
问题3：将上述两种方法统一起来，其统一点就是二项式定理．方法1中的横线可以用字母来表示，而竖线则可以用字母来表示，而从A 到B的方法数即为展开式项的系数．方法2中杨辉三角本身就是二项式展开式的系数．
5．引导学生不断探求更好的解题方案的意识
如果解题者过早地把他的方案确定下来，那么他该是个傻瓜，聪明的解题者不专心致力于固定的方案．即使在后期，虽然那时方案更成熟了，他也还准备着将它修改，努力探求问题解决的最佳方案．
例如，已知二次函数的两个根、都在（0，1）内，求证：．
分析：由条件先得到，然后设法消去、而保留，最后证得所得式小于等于．好象思路很清晰，但是行不通．但是如果消去而保留、，再把、关系变成平方式，最后再利用基本不等式可证明此题．但在解的过程中发现一个推理上的漏洞：虽可以放大为一个平方式，但这个平方式的底数只知其小于等于（当时），而不知其大于等于．问题因此而陷入了僵局．然后又发现只要由，就能推出大于，所以底数就一定为正，至此问题解决．
但总感到这样解决此题不简洁，对照陈省身大师的“数学追求简洁”这句话，我们还可以发现这样的解法：

因的两根为、都在（0，1）内，
于是有，所以

．
进一步反思后，发现还有更简洁的解法：
因有两个根为、，故可设，
于是

总之，数学教学是一门遗憾的艺术，教学设计不可能十全十美，但我们在数学问题解决的教学设计中有意识的树立上述五种意识，可以让它更加完美，这是我们数学教师教学的追求，也是数学新课程标准的追求．

参考文献：
1．贺怀春，浅谈数学新课程的教学设计，高中数学教与学，2005.3
2．周文荣，例说数学问题情境的创设，数学通讯，2005.9
3．喻平，教学设计中教师应具备的几种意识，中学数学教与学，2003.4
4．李昌官，数学“问题发现情境”创设探究，数学通报，2004.5
5．刘元宗，数学问题解决及其教学，课程·教材·教法，2004.2
6．杨建辉，新课程标准下教师教学设计中应具备的几种意识，数学通报，2004.2
7．桂文通，教师应该是教材的开发者，数学教学通讯，2003.9上
8．普通高中数学课程标准，江苏教育出版社，2004.5
9．徐正勇，例说反思性解题，高中数学教与学，2006.4
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