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可逆摆运动特性的研究
刘勇( 安庆师范学院物理与电气工程学院 安徽 安庆 246011)
指导老师: 张 杰

摘要: 本文根据可逆摆的物理图象和运动学方程, 建立了可逆摆的目标函数和控制数学模型。经过对目标函数控制物理机理的研究, 寻找目标函数的极值, 然后利用MATLAB的Simulink进行了可逆摆的运动学仿真。在仿真过程中我们应用全维状态观测设计控制器实现了状态反馈, 在此基础上用状态反馈控制配置系统极点, 能够在最短的时间内寻找到系统的平衡位置。仿真结果表明, 该方法可使系统稳定工作并具有良好的动态性能, 并能较好地解释可逆摆实验中一系列物理现象。这为我们提供了一种利用状态反馈进行控制系统优化的手段。
关键词: 可逆摆, 状态反馈, MATLAB, 自动控制, 仿真

1．引言
图1可逆摆
北京大学赵凯华教授指出[1]: ”物理学家对事物是最好穷本极源的, 她们在研究的过程中不段地思考, 凡事总喜欢问个‘为什么’。理论物理学家不能仅仅埋首于公式的推演, 应该询问其物理实质, 从中构想出鲜明的无论图象来; 实验物理学家不应满足于现象和数据的记录, 或某种先进的指标, 而要追究其中的物理机理”。 可逆摆问题在控制理论的研究中是一个很典型的范例[2-3]。本文根据可逆摆运动学方程, 建立可逆摆目标函数的物理图象, 分析( L-x) 图象的形成机理, 研究可逆摆上的大锤对目标函数控制的物理机理, 从而较好地解释了可逆摆实验中一系列物理现象。
2．可逆摆原理及运动方程
2.1可逆摆的振动周期
在大学实验教材中, 可逆摆是一种可倒过来摆动的物理摆[4], 实验原理如图1, 它是均匀钢体C上装有2个均匀且平整的钢盘A和B, 杆C穿过钢盘, 且穿过盘心。O1, O2为杆C的两刀口, 当可逆摆正挂做摆角很小的摆动时, 它做简谐振动, 其周期为
( 1)
式中I1为摆在此时的转动惯量, M为摆的总质量, a为刀口O1到质心O的距离。为了消去难于测量I1与a, 需保持整个摆的结构不变而仅将摆倒过来绕O2( 称作倒摆) 摆动则其周期为
( 2)
式中I2为摆此时的转动惯量, b为刀口O2到摆质心O的距离, 两者也难于侧准, 为了消去I1, I2, a, b, 再用平行轴定理
( 3 )
( 4)
则由(1)、 (2)、 (3)、 (4)可得
( 5)
式中a, b虽然难于测量准, 但a+b是两刀口之间的距离, 可测得足够准确, 因此, 当条件满足T1= T2= T时, 由a+b=L可得[5]
( 6)
L为等值摆长, 即O1, O2之间的距离。
由以上推导可知, 要准确的测量可逆摆的振动周期, 最关键的是确定移动锤B的位置, 即当A在一定范围内移动时, 使其满足T1= T2的要求。我们能够利用可逆摆方程计算出活动锤B的取值范围。
２.2 可逆摆的运动学方程[6-7]
由以上推导可知, 显然当ａ=ｂ=L/2时, 在摆完全对称条件下, 显然有T1=T2=T, 但这样测出的g是无意义的, 那么当E在其它位置时是否有意义呢? 是否有T1=T2存在? 我们要具备什么样的条件才能准确的测定T1=T2?
由( 1) ～( 4) 式以及T1=T2=T; L=ａ+ｂ可得
( 7)
可分解为:
( 8)
对于( 8) 式, 当a= L /2时, 虽有T1=T2, 但因a-b=0而使所得到的g无意义。因此, 本测量能否成功就由方程
( 9)
应具备什么条件才有T1=T2决定了。因此, 我们必须求去I0。设杆总长为Lc, 它与盘E。盘A, B的质量分别为mc, mE, ma, mb=m1( 即M=mc+mE+2m) .当将摆调至上下、 前后、 左右都对称时, 可算得
( 10)
式中L1和L2分别是刀口O1和O2到各自杆正端的距离, x为盘E中心到摆质心O的距离, 根据质心的定义有
( 11)
由L1=L2, b=L-a, Lc=L+2L1, M2=m1.可得
( 12)
将式(12)带入(10), 并简带得
( 13)
将I0带入式(9)便得到可逆摆方程
( 14)
图2可逆摆原理图
方程中除a外其它各量均可精确测定, 故它是关于a的二次方程.其实根必能满足T1=T2的条件。虽然我们从理论上讨论了可逆摆的机理, 但在实际测量中仍存在很多困难, 使得可逆摆实验做起来非常复杂。这里我们仅讨论了系统绕固定点振动的情况, 如果再增加策动力, 系统的运动行为将更加复杂, 实验上难以完成。随着计算机技术的发展, 利用计算机仿真技术进行实验的模拟已经得到广泛应用, 下面我们将利用计算机仿真技术进行可逆摆的运动学仿真。
3．可逆摆运动学仿真模型
3.1可逆摆运动学仿真模型[8]
一般情况下的可逆摆系统原理如图(2)所示。长度为l, 质量为m的可逆摆, 用铰链安装在质量为M的小车上, 小车受执行电机操纵, 在水平方向施加控制力u, 相对参考系产生位移z, 为简化问题并保留实质不变, 忽略摆杆质量, 执行电机惯性以及摆轴 。栊轴。栊与接触面之间的摩擦及风力。若不给小车施加控制力, 倒摆会、 向左或向右倾倒, 是一个不稳定系统。控制的目的是当倒摆出现偏角Q以后能经过小车的水平运动使倒置摆保持在平衡位置。要求建立该系统思想模型, 用状态反馈配置系统极点, 利用维分及降维状态观察实现状态反馈。
设小车瞬时位置为Z, 摆心瞬时位置为( Z+LsinQ) 。在u的作用下, 小车及摆均产生加速运动, 根据牛顿第二定律, 在水平直线运动方向的惯性力应与u平衡, 于是有

即 ( 15)
绕摆轴旋转运动的惯性力矩应与重力矩平衡, 因而有

即 ( 16)
以上两个方程都是非线性方程, 为求得解析解, 需作线性话处理.由于控制的目的保持倒置摆直立, 在施加合适u的条件下, 假设Q, u接近0是合理的, 此时sinQ=Q, cosQ=1.且可忽略QQ项, 于是有
( 17)
( 18)
联立求解可得
( 19)
( 20)
消去Q可得四阶系统微分方程
( 21)
选取小车的位移Z及其速度U, 摆和角位移Q及其角速度Q’做为状态变量, Q为输出变量, 由恒等式dz/t=Z, dQ/dt=Q及式( 20) 、 ( 21) , 可列出系统的状态空间表示式;
( 22)
( 23)
式中 X= ( 24)
假定系统参数为M=1kg, m=0.1kg, Ｌ=1m, g=9.8m/s²则
, , ( 25)
3.2 系统的状态方程
为设计状态反馈控制器, 选取为状态变量, Z为输出变量。即, 定义状态变量, X=［X1, X2, X3, X4］=［］, 输出y=Z
根据以上的系统运动方程, 可得系统的状态方程为
X=Ax+Bu ( 26)
Y=Cx+Du ( 27)
其中: 　　　　　　　　　　( 2８)
　　　　　　　　( 2９)
4．可逆摆状态仿真结果
4.1 控制器设计
下面我们将利用Matlab建立可逆摆的状态仿真系统。MATLAB软件[9]是一个高级的数学分析与运算软件, 是当前国际上流行的能够用作动态系统的分析与仿真的软件。由于该软件有容易使用距阵功能强和丰富的控制理论工具箱等特点, 已经成为国际控制领域内最流行的控制系统的计算机辅助设计软件。该系统控制的目的是使系统动态稳定, 即保持倒摆在垂直的位置, 使小车在外力作用下其位移以较小的误差跟随输入的变化。由于系统的动态响应主要是由她的极点位置决定的, 而假如系统是状态完全能控制的, 则可经过状态距阵的选取实现极点的任意配置, 即可使系统得到良好的动态性能。本文才取次方法来设计控制器, 并将MATLAB软件应用于系统的闭环极点是: 0, 0, 3.28, -3.28, 系统能控性距阵的轶是4, 由能控性判据知系统完全能控但不稳定, 可采用系统反馈调节系统性能。本文将经过两种方法寻找系统的稳定时间, 一种是利用Simulink建立可逆摆状态反馈系统, 建立后的可逆摆状态反馈系图3 可逆摆状态反馈系统
统结构如图3。另一种方法是利用Matlab语言求解运动学方程, 得到系统到达稳定时的时间。本系统中, 假设期望的闭环极点位置为-1, -1, -1+j, -1-j, 求取状态反馈矩阵及阶跃响应的程序如下:

A=[0 1 0 0;10.78 0 0 0;0 0 0 1;-0.98 0 0 0];
B=[0;-1;0;0.5];
C=[0 0 2 0];D=0;t=0:0.05:10;
JA=poly(A);
a1=JA(2);a2=JA(3);a3=JA(4);a4=JA(5);
M=[B A*B A^2*B A^3*B];
Rank(M);
W=[a3 a2 a1 1;a2 a1 1 0;a1 1 0 0;1 0 0 0];
T=M*W;
J=[-2 0 0 0;0 -1+j 0 0;0 0 -1-j 0;0 0 0 -1];
JJ=poly(J);
aa1=JJ(2); aa2=JJ(3); aa3=JJ(4); aa4=JJ(5);
K=[aa4-a4 aa3-a3 aa2-a2 aa1-a1]*(inv(T))
At=A-B*K; Bt=B; Ct=K; Dt=D;
[zT pT gainT]=ss2zp(At,Bt,Ct,Dt);
dcg=dcgain(At,Bt,Ct,Dt);
figure;
yc=step(At,Bt,Ct,Dt,1,t); yc1=yc/dcg;
plot(t,yc1);xlabel('t(s)'),ylabel('z(m)');
grid
F=[1 0 0 0]; [Zt1 Pt1 gainT1]=ss2zp(At,Bt,F,Dt);
figure;
X1=step(At,Bt,F,Dt,1,t); x11=X1/dcg;
plot(t,x11); xlabel('t(s)'),ylabel('z(m)');
grid
end
4.2 仿真结果及讨论
运行上面的程序, 得到状态反馈矩阵K=[-21.2 -6.1 -0.9 -2.3]。图4是小车位移的单位阶跃响应曲线和倒摆倾角的响应曲线在频率; 图5为策动力频率等于0.4Hz时倒摆到达平衡时所须的时间, 图6为策动力频率等于0.8Hz时倒摆到达平衡时所须的时间, 图7为策动力频率等于2.8Hz时倒摆到达平衡时所须的时间。
图4(a) 小车位移的单位阶跃响应曲线 图4(b) 倒摆倾角的响应曲线
图5 策动力频率等于0.4Hz时倒摆到达平衡时所须的时间

图6 策动力频率等于0.8Hz时倒摆到达平衡时所须的时间
图7 策动力频率等于2.8Hz时倒摆到达平衡时所须的时间

由图4我们能够看出, 在闭环控制系统中, 开始时系统处于不稳定状态, 随着时间的推移, 系统很快到达平衡位置, 趋于稳定。从图5、 6、 7我们能够得到外部策动力的频率对系统到达稳定的时间影响很大。
4 结束语
由以上分析可见, 状态反馈系统为稳定闭环系统, 状态向量在初始位置。上述分析设计基于不扰动假设, 即当Q, Q＇均很小时, 在被控制对象线行化条件下进行的。考虑到施加控制后, 一般可满足上述条件, 故该设计是行之有效的。
状态反馈系统的主要优点是极点的任意配置, 无论开环极点和零点在什么位置, 都能够任意配置期望的闭环极点。这为我们提供了控制系统的手段, 假如系统的所有状态都能够被测试和反馈的话, 状态反馈能够提供简单而适用的设计。

参考书目:
[1] 赵凯华, 罗蔚茵. 新概念物理教程·力学. 北京:高等教育出版社,1995.
[2] 胡寿松, 自动控制原理, 北京:科学出版社, .
[3] 黄忠霖, 控制系统matlab计算与仿真, 北京:国际工业出版社 .
[4] 林杼,龚镇雄, 普通物理实验, 北京:人民教育出版社,1981.
[5] 张建飞, 复摆测g 实验的分析, 物理实验,1993 ,13(4) .
[6] 刘俊, 成如山, 可倒摆方程, 大学物理,1998 ,17 (9).
[7] 陈立宏,彭建华,夏彬,等. 倒摆运动的混沌行为, 大学物理, ,24 (9).
[8] 唐新宇, 倒摆问题的研究及控制设计, 微计算机信息, , vol.19, No:4
[9] 楼顺天, 于卫, 阎华梁, matlab程序设计语言, 西安电子科技大学出版社, 1997

Research of the Motion Characteristic of Invert Pendulum

Liu Yong
(School of Physics and Electrical Engineering of Anqing Normal College, Anqing 246011)

Abstract: This paper builds a target function and mathematical model of invert pendulum by its physics image and kinematics equation, Researching physical mechanism of target function, we find its extremum, using Simulink of MATLAB kinematics equation of invert pendulum is simulated. The state feedback is realized in simulation by all dimension state observation design controller. The system pole is configured using state feedback, the position of balance is found in the shortest time ．The result of simulation indicates that system could stabilize work and it have favorable dynamic performance , and preferably explains a series of physical phenomena in invert pendulum experiment .The method of control system optimization by state feedback is provided.
Keywords: Invert pendulum, State feedback , MATLAB , Auto control, Simulation